Vektorrechnung

In der Vektorrechnung werden Objekte mit einer Richtung und einer Größe (Betrag) innerhalb eines definierten Raumes mit anderen Vektoren oder Kräften in Bezug gesetzt.

Vektoren und Skalare

In diesem Bereich werden die Elemente der Vektorrechnung eingeführt und zueinander in Bezug gesetzt:

Die mehrdimensionalen Elemente, die Vektoren, bestehend aus Richtung und Größe (Betrag) können mit eindimensionalen Elementen, den Skalaren multipliziert werden. Ein Skalar ist in der Regel eine reelle Zahl.

Einfache Vektoralgebra

Dieser Bereich trainiert die Grundlagen der Vektorrechnung. Neben den Gesetzen wird ein Grundverständnis für den Bereich der Vektorrechnung und ihrer Begriffe geboten.

Skalarprodukt

Multipliziert man zwei Vektoren miteinander, erhält man das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt. Es wird definiert durch die die Länge der Vektoren sowie den Winkel zwischen ihnen.

Kreuzprodukt

Von einem Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt) spricht man, wenn bei der Multiplikation von zwei Vektoren ein weiterer Vektor entsteht.

Dieser steht senkrecht auf der von den beiden Ausgangsvektoren aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, welches die Ursprungsvektoren aufspannen.

Anwendungsbeispiele

In diesem Bereiche geht es um praxisnahe Beispiele auf Basis der bisher trainierten Bereiche.

Basis und Komponenten

Dieser Bereich befasst sich mit den "Bausteinen" von Vektoren und Vektorräumen:

Die Basis bezeichnet die Menge von Einheitsvektoren, bezüglich derer es möglich ist einen Vektor darzustellen. Die Komponenten eines Vektors ermöglichen, ihn in Bezug auf eine Basis vollständig darzustellen.

Dies ermöglicht unter Anderem die Darstellung von Vektoren in Nicht-Rechtwinkligen Koordinatensystemen.

Vektorrechnung im 3-dim Raum

Dreidimensionale Vektoren folgen den gleichen Regeln wie Vektoren jeder anderen Dimensionlität und werden in praktischen Bereichen verwendet.

Anwendung in der Geometrie

Praktische Beispiele der Vektorrechnung um Punkte im Raum, Vektorstrecken und Vektoren durch bestimmte Punkte zu berechnen.

Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation

Um die Differentialrechnung auch auf den dreidimensionalen Raum anwenden zu können, werden Differentialoperatoren benötigt. Vor allem bei der Beschreibung von Feldern sind diese von großer Bedeutung. Man unterscheidet zwischen Skalarfeldern, bei denen jedem Punkt im Raum eine skalare Größe (beispielsweise die Temperatur) zugeordnet wird, und Vektorfeldern, die die räumliche Verteilung von vektoriellen Größen (etwa der Kraft) darstellen.

Laplaceoperator

Der Laplace-Operator entspricht mathematisch gesehen der Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes, \Delta f = \operatorname{div}\left( \operatorname{grad}\, f\right). Er ist Teil vieler wichtiger Differentialgleichungen in der Physik, beispielsweise der Poisson-Gleichung der Elektrostatik, der Navier-Stokes-Gleichungen für strömende Flüssigkeiten oder der Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

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