Wir lösen die Gleichung \(F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}\) nach \(G\) auf:

\(G=F \frac{r^2}{m_1m_2}\)

Für die zugehörigen Einheiten gilt demnach

\([G]=[F] \frac{[r^2]}{[m_1][m_2]}\)

Mit den SI-Einheiten \([F]=N, \ [r]=m, \ [m_1]=[m_2]=kg\) erhält man

\([G]= \frac{N \cdot m^2}{(kg)^2}\)

Ausserdem gilt \(F = m\cdot a\), und somit \([F]=[m] \cdot [a]=kg \cdot \frac{m}{s^2}=N\).

Durch einsetzen von \(kg \cdot \frac{m}{s^2}\) für \(N\) in die obere Gleichung \([G]= \frac{N \cdot m^2}{(kg)^2}\), erhalten wir also insgesamt \([G]= \frac{m^3}{kg \cdot s^2}\)

Wir lösen \(E_{kin}=\frac{1}{2} m v^2\) nach \(v\) auf:

\(v=\sqrt{\frac{2\cdot E_{kin}}{m}}\)

Durch einsetzen erhält man

\(v= \sqrt{\frac{2 \cdot 2,0 J}{1,0 kg}}=\sqrt{4,0 \frac{J}{kg}}\)

somit

\(v=\sqrt{4,0} \cdot \sqrt{ \frac{J}{kg}}=2,0 \cdot \sqrt{ \frac{\frac{kg \cdot m^2}{s^2}}{kg}}=2,0 \frac{m}{s} \)

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung \(\frac{\sqrt{a} x}{\frac{y}{z}}=b\) mit \(\frac{y}{z}\) und erhalten

\(\sqrt{a} x=b \frac{y}{z}\)

Nun multiplizieren wir mit \(\frac{z}{b}\)  und bekommen dadurch das Endergebnis

\( \frac{\sqrt{a} \cdot x \cdot z}{b}=y\)

Durch umstellen der Formel \(F=G \frac{m_1 m_2}{r^2}\) nach \(r\) erhält man \(r=\sqrt{ G \frac{m_1 m_2}{F}}\). Für die angegebenen Werte ergibt sich dann der Abstand \(r=5,0 \cdot 10^8 m\).

Durch auflösen der Formel \(p V = N k_{B} T\) nach \(N\) erhält man \(N= \frac{pV}{k_B T}\). Für die angegebenen Werte ergibt sich dann (mit Taschenrechner) die Teilchenzahl \(N=1,3 \cdot 10^{26}\).

Für die Berechnung der elektrischen Ladung werden lediglich Stromstärke und Zeit benötigt.

Die Gleichung lautet: \(C= A\cdot s\)

also in diesem Fall \(300A \cdot 5s = ...C\)

1. Umrechnen der Angaben in Basiseinheiten: \(t=1200s\) und \(x=3140m\)

2. Einsetzen in Formel: \(v=\frac{x}{t}=\frac{3140}{1200}\frac{m}{s}=2,61\bar{6}\frac{m}{s}=9,42\frac{km}{h}\)

Durch einfache Umformung von \(V \cdot A = W\) durch auflösen nach \(V\).

\(V \cdot A = W \)    \(\mid \div A\)

\(120cm=1,2m\)

Nun wird die Formel für die potentielle Energie nach m umgeformt

\(m=\frac{E_{pot}}{g\cdot h}\)

und die bekannten Werte eingesetzt

\(m=\frac{700}{9,81\cdot 1,2}=59,5kg\)

Die Kraft \(F=m\cdot a\)

Die Einheit der Kraft \([a]=\frac{m}{s^2}\)

Die Einheit der Masse \([m]=kg\)

Daherist die Einehit der Kraft \([F]=[m]\cdot [a]=kg\cdot \frac{m}{s^2}=\frac{kg\cdot m}{s^2}\)

Die Formel für das Volumen nach \(h\) umformen und die bekannten Werte mit \(r=12\,cm=0,12\,m\) \(h=\frac{V}{r^2\cdot \pi}\rightarrow h=\frac{300}{0,12^2\cdot \pi}=6631,5\,m\)

Die Angaben in nützlichere Einjeiten umgeschrieben, d.h. \(E_{kin}=900kJ=900000J\) und \(v=42\,\frac{km}{h}=11,\dot{6}\,\frac{m}{s}\).

Dannach die Formel für die kinetische Energie nach \(m\) umformen und einsetzen

\(m=\frac{2\cdot E}{v^2}\rightarrow m=\frac{2\cdot 900000}{11,\dot{6}^2}=13224,49\,kg\).

Das Energie-Masse Aqivalent \(E=mc^2\) besteht aus dem Produkt von einer Masse und einer Geschwindigkeit.
Die Einheit der Masse ist \([m]=kg\) und die Einheit der Lichtgeschwindigkeit, so wie von jeder anderen Geschwindigkeit, ist \([c]=[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{m}{s}\). Darauf folgt \([E]=[m]\cdot [v]=kg\cdot \frac{m}{s}=\frac{kg\cdot m}{s}\).

\(v=a\cdot t\rightarrow t=\frac{v}{a}\)

Daher \( t=\frac{45(-0)}{5}=9\,s\)

Die Geschwindigkeitsformel nach t umgeformt \(v=\frac{s}{t}\rightarrow t=\frac{s}{v}\) und die angegebene Geschwindigkeit in SI-Einheiten umgerechnet \(v=30\,\frac{km}{h}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}\). Eingesetzt ergibt das \(t=\frac{3000}{8,\dot{3}}=360\,s=6\,min\).

\(g=\(\frac{4*\pi^2*l}{t^2}\)\),  daraus folgt, dass
\(l=\(\frac{g*t^2}{4*\Pi^2}\)\) 

Mit den bekannten Werten eingesetzt ergibt das \(l=\(\frac{9,81*2,31^2}{4*\Pi^2}\)=1,325m\)

132,4     42 min

Zuerst rechnet man die angegeben Grössen in SI-Einheiten um:

\(t=42\,min=2520\,s\) und \(s=132,4\,km=132400\,m\)

Daher ist \(v=\,\frac{s}{t}=\,\frac{132400}{2520}=52,54\,\frac{m}{s}\).

Die Geschwindigkeit \(v=153 \,\frac{km}{h} = 42,5\,\frac{m}{s}\) umgerechnet und die Formel für die geschwindikeit \(v=a\cdot t\) nach \(a\)  umgeformt ist \(a=\frac{a}{t}\).

Eingesetzt ergibt das: \(a=\frac{42,5}{4,5}=9,\dot{4}\,\frac{m}{s^2}\)

\(P=\frac{W}{t}=\frac{E_{pot}}{t}=\frac{m\cdot g\cdot h}{t}\) 

Dies jetzt nach \(m\) umformen und einsetzen

\(m=\frac{P\cdot t}{g\cdot h}=138,28\,kg\)

In SI-Basiseinheiten umrechnungen

\(s=23\,cm=0,23\,m\)

\(t=0,5\,min=30\,s\)

 \(v=\frac{0,23}{30}=0,0077\,\frac{m}{s}\)

Der Wirkungsgrad ist definiert als

\(\eta=\(\frac{E_{ab}}{E_{zu}}\)\)

Daraus ergibt sich:

\(0,87=\(\frac{E_{ab}}{109l}\)\) und umgeformt:

\(E_{ab}=0,87*109l=94,83l\)

\(v=\(\frac{s}{t}\)\)

Es ist wichtig, auf die Einheiten zu achten.

Umgerechnet in SI-Basiseinheiten ergibt das  \(v=\(\frac{3800m}{208s}\)=18,27\frac{m}{s}=65,77\frac{km}{h}\)

\(v= a \cdot t\)

Umgeformt und eingesetzt ergibt das (umgeformt auf SI-Einheiten): \(t=\(\frac{36,11m/s}{11,35m/s^2}\)=3,18s\)

\(P=\(\frac{W}{t}\)=\(\frac{m \cdot g \cdot h}{t}\)\)

Umformen nach h:

\(h=\(\frac{P \cdot t}{m \cdot g}\)=\(\frac{95W \cdot 220s}{140kg \cdot 9,81\frac{m}{s^2}}\)=15,22m\)

Für Leistung gilt: \(P=\(\frac{W}{t}\)=\(\frac{m \cdot g \cdot h}{t}\)\)

Eingesetzt ergibt das:  \(P=\(\frac{55kg \cdot 9,81\frac{m}{s^2} \cdot 950m}{4s}\)=128 \;143,125W\)

\(E_{pot}=m \cdot g \cdot h\)

Das bedeutet: \(h=\(\frac{E_{pot}}{m \cdot g}\)\)

\(h=\(\frac{40810J}{1400kg \cdot 9,81\frac{m}{s^2}}\)=2,9714m\)

Zuerst wird die Coulomb-Gleichung nach der elektrischen Feldkonstante \(\epsilon_{0}\) umgeformt. 

\(\epsilon_{0} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{F_{C} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2}\)

Nun ersetzt man alle vorkommenden Größen durch deren Einheiten (ausgedrückt durch SI-Einheiten).

\(\frac{A \cdot s \cdot A \cdot s}{kg\cdot \frac{m}{s^2} \cdot m^2}\)

Jetzt wird soweit wie möglich gekürzt. Das was am Ende rauskommt ist die Einheit der elektrischen Feldkonstante \(\epsilon_{0}\).

\(\frac{A^2 \cdot s^4}{kg\cdot m^3}\)

Daher gilt:

\([\epsilon_{0}] = \frac{A^2 \cdot s^4}{kg\cdot m^3}\)

In abgeleiteten Einheiten würde das \([\epsilon_{0}] = \frac{A\cdot s}{V\cdot m}\) entsprechen.