Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(f(x)=y=k\cdot x+d\).

Die Steigung ist  \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\), d.h für die Punkte \(A=(2,8)\) und \(B=(6,4)\) ist in Richtung A nach B \(\Delta x=-4\) und \(\Delta y=4\) und somit \(k=\frac{4}{-4}=-1\). In die Funktionsgleichung eingesetzt \(y=-x+d\)

Jetzt muss noch \(d\) der y-Achsen-Abschnitt ermittelt werden, indem einer der Punkte \(A\) oder \(B\) eingesetzt wird.
Mit \(A\) mit \(x_A=2, y_A=8\rightarrow 8=-2+d\rightarrow d=10\)

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(f(x)=y=k\cdot x+d\).

Die Steigung ist  \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\), d.h für die Punkte \(A=(-1,-5)\) und \(B=(3,3)\) ist in Richtung A nach B \(\Delta x=4\) und \(\Delta y=8\) und somit \(k=\frac{8}{4}=2\). In die Funktionsgleichung eingesetzt \(y=2\cdot x+d\)

Jetzt muss noch \(d\) der y-Achsen-Abschnitt ermittelt werden, indem einer der Punkte \(A\) oder \(B\) eingesetzt wird.
Mit \(B\) mit \(x_B=3, y_B=3\rightarrow 3=2\cdot 3+d\rightarrow d=-3\)

\(3x^2z-xy^3+5\)  im Punkt \(P(1,-2,2)\)

\(3\cdot 1^2\cdot 2-1\cdot(-2)^3+5=19\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(2\cdot4^2+6\cdot7\cdot2+9=125\)

Die Funktion ist eine Parabel der Form

\(f(x) = a \cdot x^2 + b\)

Aus der Grafik erkennen wir, dass an der Stelle \(x = 0\) gilt:

\(f(0) = 3\)

Durch Vergleich mit der allgemeinen Funktionsgleichung an dieser Stelle erhalten wir

\(b = 3\)

Aus der Grafik erkennen wir, dass an der Stelle \(x = 1\) gilt:

\(f(1) = -1\)

Durch Vergleich erhalten wir

\(a \cdot 1^2 + 3 = -1 \Rightarrow a = -4\)

Die Zielmenge der Sinusfunktion \(sin(x)\) ist \([-1,1]\). Die Zielmenge der abgebildeten Funktion ist offensichtlich \([-4,4]\), daher hat die gesuchte Sinusfunktion einen Vorfaktor von \(4\).

Die Periode der gewöhnlichen Sinusfunktion ist \(2\pi\). Die Periode der abgebildeten Funktion beträgt \(\pi\), hat also die doppelte Frequenz, weshalb das Argument der gesuchten Sinusfunktion einen Vorfaktor \(2\) besitzen muss.

Die Umrechnung von Polar- zu kartesischen Koordinaten erfolgt durch

\(x = r\cdot cos(\varphi)\)

\(y = r\cdot sin(\varphi)\)

\(r\) ist hierbei der Abstand des Punktes vom Ursprung und \(\varphi\) der Polarwinkel (auch Azimutwinkel genannt).

Die Umrechnung von Zylinder- in kartesische Koordinaten lautet

\(x = r\cdot cos(\varphi)\)

\(y = r\cdot sin(\varphi)\)

\(z = z\)

\(r\) ist hierbei der Abstand des Punktes von der \(z\)-Achse. \(\varphi\) ist der Polarwinkel, wobei auf die Einheit des Winkels geachtet werden muss (Grad vs. Radiant)

Die Umrechnung von Kugel- in kartesische Koordinaten lautet

\(x = r \cdot sin(\theta) \cdot cos(\varphi)\)

\(y = r \cdot sin(\theta) \cdot sin(\varphi)\)

\(z = r \cdot cos(\theta)\)

\(r\) ist der Abstand des Punktes \(P\) vom Ursprung \(O\).

\(\theta\) ist der Polarwinkel, der den Winkel zwischen \(z\)-Achse und der Strecke \(OP\) angibt.

\(\varphi\) ist der Azimutwinkel, der den Winkel zwischen der \(x\)-Achse und der Orthogonalprojektion der Strecke \(OP\) in die \(x\)-\(y\)-Ebene angibt.

Einerseits lassen sich die Koordinaten \(x\prime_A\) und \(y\prime_A\) direkt aus dem Diagramm ablesen. Vom Ursprung des Koordinatensystems \(S2\) aus sind es \(3\mathrm{\ Einheiten}\) nach links \(\Rightarrow \qquad x\prime_A=-3\) und \(1\mathrm{\ Einheit}\) nach oben \(\Rightarrow \qquad y\prime_A=1\).

Aus geometrischen Überlegungen ist ersichtlich, dass gelten muss (siehe Grafik):

\(x\prime = x - 5\)

\(y\prime=y-2\)

Einerseits lassen sich die Koordinaten \(x\prime_A\) und \(y\prime_A\) direkt aus dem Diagramm ablesen. Vom Ursprung des Koordinatensystems \(S2\) aus sind es \(9\mathrm{\ Einheiten}\) nach rechts \(\Rightarrow \qquad x\prime_A=9\) und \(2\mathrm{\ Einheiten}\) nach unten \(\Rightarrow \qquad y\prime_A=-2\).

Aus geometrischen Überlegungen ist ersichtlich, dass gelten muss (siehe Grafik):

\(x\prime = x +4\)

\(y\prime=y+2\)