Fragenliste von Koordinatensysteme

Ein kartesisches Koordinatensystem... Nr. 2539
	ist ein schiefwinkliges Koordinatensystem.
	ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
	kann sowohl schief- als auch rechtwinklig sein.
	hat immer mindestens zwei Achsen.
	hat immer genau zwei Achsen.

Gegeben sei ein Vektor mit Fußpunkt bei (-3\|-7) und Spitze bei (6\|3). In welchen Quadranten befindet er sich (auch nur teilweise)? Hinweis: Es handelt sich um ein zweiachsiges, kartesisches Koordinatensystem. Nr. 3095
	I, III, IV
	III, IV
	II, III, IV
	I, III

Gegeben sei ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten A(4\|1) und B(8\|5). Wie lauten die Koordinaten für Punkt C? Nr. 3096
	C(8\|1)
	C(7\|2)
	C(8\|2)
	C(7\|2)

Gegeben sei ein Parallelogramm mit folgenden Eckpunkten: A(3\|-5), B(5\|-3), C(7\|-3), D(5\|-5) Es wird nun am Koordinatenursprung gespiegelt werden. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte jetzt? Nr. 3097
	A(3\|5), B(5\|3), C(7\|3), D(5\|5)
	A(-3\|5), B(-5\|3), C(-7\|3), D(-5\|5)
	A(-3\|-5), B(-5\|-3), C(-7\|-3), D(-5\|-5)
	A(-3\|5), B(-5\|-3), C(7-\|-3), D(-5\|5)

Gegeben sei ein Dreieck mit folgenden Eckpunkten: A(-6\|-3), B(-4\|-2) und C(-8\|-2). Es wird nun an der y-Achse gespiegelt. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte jetzt? Nr. 3098
	A(-8\|2), B(-6\|3) und C(-4\|2)
	A(8\|-3), B(6\|-2) und C(8\|-2)
	A(-6\|3), B(-4\|2) und C(-8\|2)
	A(-6\|-3), B(-4\|-2) und C(-8\|-2)

Wähle die korrekten Aussagen aus Hinweis: Es handelt sich um ein zweiachsiges, kartesisches Koordinatensystem Nr. 3107
	Im dritten Quadranten sind sowohl die x-Werte als auch die y-Werte negativ.
	Eine lineare Funktion kann durch alle Quadranten gehen.
	Eine lineare Funktion kann höchstens durch drei Quadranten gehen.
	Ein kartesisches Koordinatensystem kann nur zweidimensional sein.
	Wenn man einen Punkt an einer beliebigen Achse spiegelt, ändert sich das Vorzeichen des x-Wertes und des y-Wertes.

Welche lineare Funktion entspricht diesem abgebildeten Funktionsgraphen? Nr. 3147
	$f(x)=3x$
	$f(x)=2x+4$
	$f(x)=3x+4$
	$f(x)=2x+3$

Welche lineare Funktion passt zu diesem Funktionsgraph? Nr. 3148
	$f(x)=2x-5$
	$f(x)=1,5x-5$
	$f(x)=x+5$
	$f(x)=3x-5$

Welche lineare Funktion passt zu diesem Funktionsgraph? Nr. 3149
	$f(x)=-8x+6$
	$f(x)=8x+6$
	$f(x)=-4x+6$
	$f(x)=-8x-6$

Welche Funktion zweiten Grades passt zu folgendem Funktionsgraph? Nr. 3152
	$f(x)=6x^2$
	$f(x)=6x^2+2$
	$f(x)=3x^2$
	$f(x)=3x^2+2$

Welche Funktion zweiten Grades entspricht diesem abgebildeten Funktionsgraphen? Nr. 3153
	$f(x)=4x^2+2$
	$f(x)=2x^2+2$
	$f(x)=2x^2+4$
	$f(x)=x^2+2$

Welche lineare Funktion passt zu diesem Funktionsgraph? Nr. 3159
	$f(x)=3x+5$
	$f(x)=\frac{8}{2}x+5$
	$f(x)=\frac{9}{3}x+5$
	$f(x)=\frac{6}{2}x+5$
	$f(x)=9x$

Welche lineare Funktion gehört zu diesem Funktionsgraph? Nr. 3160
	$f(x)=0x+8$
	$f(x)=0$
	$f(x)=8$
	$f(x)=8x$

Gegeben sind die zwei Punkte A und B. Wenn man sie beide verbindet, ist das Resultat eine lineare Funktion. Welche? Nr. 3161
	$f(x)=-\frac{4}{4}\ x+10$
	$f(x)=-x-10$
	$f(x)=-10x$
	$f(x)=-x+10$
Lösungsweg Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=y=k\cdot x+d$ . Die Steigung ist $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , d.h für die Punkte $A=(2,8)$ und $B=(6,4)$ ist in Richtung A nach B $\Delta x=-4$ und $\Delta y=4$ und somit $k=\frac{4}{-4}=-1$ . In die Funktionsgleichung eingesetzt $y=-x+d$ Jetzt muss noch $d$ der y-Achsen-Abschnitt ermittelt werden, indem einer der Punkte $A$ oder $B$ eingesetzt wird. Mit $A$ mit $x_A=2, y_A=8\rightarrow 8=-2+d\rightarrow d=10$

Gegeben sind die zwei Punkte $A=(-1,-5)$ und $B=(3,3)$ . Wenn man sie beide verbindet, ist das Resultat eine lineare Funktion. Welche? Nr. 3162
	$f(x)=2x-3$
	$f(x)=2x$
	$f(x)=4x-3$
	$f(x)=2x-4$
Lösungsweg Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=y=k\cdot x+d$ . Die Steigung ist $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , d.h für die Punkte $A=(-1,-5)$ und $B=(3,3)$ ist in Richtung A nach B $\Delta x=4$ und $\Delta y=8$ und somit $k=\frac{8}{4}=2$ . In die Funktionsgleichung eingesetzt $y=2\cdot x+d$ Jetzt muss noch $d$ der y-Achsen-Abschnitt ermittelt werden, indem einer der Punkte $A$ oder $B$ eingesetzt wird. Mit $B$ mit $x_B=3, y_B=3\rightarrow 3=2\cdot 3+d\rightarrow d=-3$

Gegeben ist folgender Funktionsgraph. Welche lineare Funktion beschreibt diesen Graphen? Nr. 3163
	$f(x)=-9x+6$
	$f(x)=-6x$
	$f(x)=-3x+9$
	$f(x)=-6x+9$

Gegeben sei das Skalarfeld $3x^2z-xy^3+5$ in der Basis $(x,y,z)$ . Welchen Wert hat hat es im Punkt $P(1,-2,2)$ ? Nr. 3291
	$19$
	$15$
	$21$
	$13$
Lösungsweg $3x^2z-xy^3+5$ im Punkt $P(1,-2,2)$ $3\cdot 1^2\cdot 2-1\cdot(-2)^3+5=19$

Es sei das Skalarfeld $f(x,y,z=2x^2+6yz+9)$ gegeben in der Basis $(x,y,z)$ . Bestimme den Wert am Punkt $P(4,7,2)$ Nr. 3293
	$120$
	$125$
	$130$
	$135$
	$115$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $2\cdot4^2+6\cdot7\cdot2+9=125$

Welche quadratische Funktion ist hier abgebildet? Nr. 3502
	$f(x)=-x^2+3$
	$f(x)=-4x^2+3$
	$f(x)=x^2-4$
	$f(x)=-2x^2+3$
Lösungsweg Die Funktion ist eine Parabel der Form $f(x) = a \cdot x^2 + b$ Aus der Grafik erkennen wir, dass an der Stelle $x = 0$ gilt: $f(0) = 3$ Durch Vergleich mit der allgemeinen Funktionsgleichung an dieser Stelle erhalten wir $b = 3$ Aus der Grafik erkennen wir, dass an der Stelle $x = 1$ gilt: $f(1) = -1$ Durch Vergleich erhalten wir $a \cdot 1^2 + 3 = -1 \Rightarrow a = -4$

Bestimme die Funktionsgleichung, die zu folgender Sinusfunktion gehört: Nr. 3504
	$f(x)=4 \cdot sin(2x)$
	$f(x)=2 \cdot sin(x)$
	$f(x)=sin(2x)$
	$f(x)= sin(4x)+2$
Lösungsweg Die Zielmenge der Sinusfunktion $sin(x)$ ist $[-1,1]$ . Die Zielmenge der abgebildeten Funktion ist offensichtlich $[-4,4]$ , daher hat die gesuchte Sinusfunktion einen Vorfaktor von $4$ . Die Periode der gewöhnlichen Sinusfunktion ist $2\pi$ . Die Periode der abgebildeten Funktion beträgt $\pi$ , hat also die doppelte Frequenz, weshalb das Argument der gesuchten Sinusfunktion einen Vorfaktor $2$ besitzen muss.

Gegeben sei der Punkt $P$ in Polarkoordinaten mit $r = 5$ und $\varphi = 25^\circ$ . Wie lauten die kartesischen Koordinaten des Punktes? Nr. 4115
	$x = 5$ $y = 25$
	$x = 2,03$ $y = 0,95$
	$x = 2,11$ $y = 4,53$
	$x = 4,53$ $y = 2,11$
Lösungsweg Die Umrechnung von Polar- zu kartesischen Koordinaten erfolgt durch $x = r\cdot cos(\varphi)$ $y = r\cdot sin(\varphi)$ $r$ ist hierbei der Abstand des Punktes vom Ursprung und $\varphi$ der Polarwinkel (auch Azimutwinkel genannt).

Gegeben sei ein Punkt $P$ in Zylinderkoordinaten, mit $r = 7$ $\varphi = 2rad$ $z = 4$ Wie lauten die kartesischen Koordinaten dieses Punktes? Nr. 4116
	$x = 6,37$ $y = -2,91$ $z = 4$
	$x = -2,91$ $y = 6,37$ $z = 4$
	$x = -2,91$ $y = 6,37$ $z = 3,64$
	$x = -1,66$ $y = 3,64$ $z = 4$
Lösungsweg Die Umrechnung von Zylinder- in kartesische Koordinaten lautet $x = r\cdot cos(\varphi)$ $y = r\cdot sin(\varphi)$ $z = z$ $r$ ist hierbei der Abstand des Punktes von der $z$ -Achse. $\varphi$ ist der Polarwinkel, wobei auf die Einheit des Winkels geachtet werden muss (Grad vs. Radiant)

Gegeben sei ein Punkt $P$ in Kugelkoordinaten: $r = 12$ $\theta = 30^\circ$ $\varphi = 180^\circ$ Wie lauten die kartesischen Koordinaten dieses Punktes? Nr. 4117
	$x = -6,00$ $y = 0$ $z = 10,39$
	$x = 0$ $y = 0$ $z = -12$
	$x = 0$ $y = -6,00$ $z = 10,39$
	$x = -6,00$ $y = 0$ $z = 6$
Lösungsweg Die Umrechnung von Kugel- in kartesische Koordinaten lautet $x = r \cdot sin(\theta) \cdot cos(\varphi)$ $y = r \cdot sin(\theta) \cdot sin(\varphi)$ $z = r \cdot cos(\theta)$ $r$ ist der Abstand des Punktes $P$ vom Ursprung $O$ . $\theta$ ist der Polarwinkel, der den Winkel zwischen $z$ -Achse und der Strecke $OP$ angibt. $\varphi$ ist der Azimutwinkel, der den Winkel zwischen der $x$ -Achse und der Orthogonalprojektion der Strecke $OP$ in die $x$ - $y$ -Ebene angibt.

Gegeben ist ein Punkt $A\, (2\|3)$ im kartesischen Koordinatensystem $S1$ mit den Achsen $x$ und $y$ . Welche Koordinaten hat der Punkt $A$ in einem kartesischen Koordinatensystem $S2$ mit den Achsen $x\prime$ und $y\prime$ , dessen Ursprung in $(5\|2)$ des Systems $S1$ liegt? Die Koordinatenachsen der beiden Systeme sind parallel zueinander, siehe Grafik. Nr. 4443
	$x\prime_A=7$ $y\prime_A=5$
	$x\prime_A=3$ $y\prime_A=-1$
	$x\prime_A=-3$ $y\prime_A=1$
	$x\prime_A=-1$ $y\prime_A=3$
	$x\prime_A=7$ $y\prime_A=-5$
Lösungsweg Einerseits lassen sich die Koordinaten $x\prime_A$ und $y\prime_A$ direkt aus dem Diagramm ablesen. Vom Ursprung des Koordinatensystems $S2$ aus sind es $3\mathrm{\ Einheiten}$ nach links $\Rightarrow \qquad x\prime_A=-3$ und $1\mathrm{\ Einheit}$ nach oben $\Rightarrow \qquad y\prime_A=1$ . Aus geometrischen Überlegungen ist ersichtlich, dass gelten muss (siehe Grafik): $x\prime = x - 5$ $y\prime=y-2$

Gegeben ist ein Punkt $A\, (5\|-4)$ im kartesischen Koordinatensystem $S1$ mit den Achsen $x$ und $y$ . Welche Koordinaten hat der Punkt $A$ in einem kartesischen Koordinatensystem $S2$ mit den Achsen $x\prime$ und $y\prime$ , dessen Ursprung in $(-4\|-2)$ des Systems $S1$ liegt? Die Koordinatenachsen der beiden Systeme sind parallel zueinander, siehe Grafik. Nr. 4444
	$x\prime_A=-9$ $y\prime_A=2$
	$x\prime_A=-20$ $y\prime_A=8$
	$x\prime_A=-2$ $y\prime_A=9$
	$x\prime_A=9$ $y\prime_A=-2$
	$x\prime_A=1$ $y\prime_A=-6$
Lösungsweg Einerseits lassen sich die Koordinaten $x\prime_A$ und $y\prime_A$ direkt aus dem Diagramm ablesen. Vom Ursprung des Koordinatensystems $S2$ aus sind es $9\mathrm{\ Einheiten}$ nach rechts $\Rightarrow \qquad x\prime_A=9$ und $2\mathrm{\ Einheiten}$ nach unten $\Rightarrow \qquad y\prime_A=-2$ . Aus geometrischen Überlegungen ist ersichtlich, dass gelten muss (siehe Grafik): $x\prime = x +4$ $y\prime=y+2$

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Gegeben sei ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten A(4\|1) und B(8\|5). Wie lauten die Koordinaten für Punkt C? Nr. 3096
	C(8\|1)
	C(7\|2)
	C(8\|2)
	C(7\|2)

Gegeben sei ein Parallelogramm mit folgenden Eckpunkten: A(3\|-5), B(5\|-3), C(7\|-3), D(5\|-5) Es wird nun am Koordinatenursprung gespiegelt werden. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte jetzt? Nr. 3097
	A(3\|5), B(5\|3), C(7\|3), D(5\|5)
	A(-3\|5), B(-5\|3), C(-7\|3), D(-5\|5)
	A(-3\|-5), B(-5\|-3), C(-7\|-3), D(-5\|-5)
	A(-3\|5), B(-5\|-3), C(7-\|-3), D(-5\|5)

Gegeben sei ein Dreieck mit folgenden Eckpunkten: A(-6\|-3), B(-4\|-2) und C(-8\|-2). Es wird nun an der y-Achse gespiegelt. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte jetzt? Nr. 3098
	A(-8\|2), B(-6\|3) und C(-4\|2)
	A(8\|-3), B(6\|-2) und C(8\|-2)
	A(-6\|3), B(-4\|2) und C(-8\|2)
	A(-6\|-3), B(-4\|-2) und C(-8\|-2)

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