Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die Bedingung \(x=60\,m\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(x(t)=60.\)

D.h. \(60=9\,t^2+24\,\rightarrow\,9\,t^2=36\,\rightarrow\,t^2=4\,\rightarrow\,t=\pm2\). Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(t=2\) und \(t=-2\).Da die Zeit \(t\) keine negativen Werte annehmen kann \((t\,\geq\,0)\), kann nur \(t=2\) die physikalisch richtige Lösung sein.

Diese muss nun in die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Geschwindgkeit zu erhalten.

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 9 t=18\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=2\) ergibt das \(v(2)=18\cdot 2=36\,\frac{m}{s}\).

Die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die zweite Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}\).

Die Bedingung \(v=456\frac ms\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(v(t)=456\).

Zuerst berechnen wir die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=3\cdot 9 t^2+24=27\,t^2+24\).

D.h. \(456=27\,t^2+24\,\rightarrow\,27\,t^2=432\,\rightarrow\,t^2=16\,\rightarrow\,t=\pm4\). Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(t=4\) und \(t=-4\). Da die Zeit \(t\) keine negativen Werte annehmen kann \((t\,\geq\,0)\), kann nur \(t=4\) die physikalisch richtige Lösung sein.

Diese muss nun in die Beschleunigungssfunktion \(a(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Beschleunigung zu erhalten.

Daher berechnen wir nun die Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}=\frac{d\,v(t)}{d\,t}=2\cdot 27t=54t\).

Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=4\) ergibt das \(a(4)=54\cdot 4=216\,\frac{m}{s^2}\).

Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die Bedingung \(x=28\,m\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(x(t)=28.\)

D.h. \(28=4\,t^2+12\,\rightarrow\,4\,t^2=16\,\rightarrow\,t^2=4\,\rightarrow\,t=\pm2\). Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(t=2\) und \(t=-2\).Da die Zeit \(t\) keine negativen Werte annehmen kann \((t\,\geq\,0)\), kann nur \(t=2\) die physikalisch richtige Lösung sein.

Diese muss nun in die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Geschwindgkeit zu erhalten.

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=2\) ergibt das \(v(2)=8\cdot 2=16\,\frac{m}{s}\).

Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die Bedingung \(x=12\,m\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(x(t)=12.\)

D.h. \(12=4\,t^2+12\,\rightarrow\,4\,t^2=0\,\rightarrow\,t^2=0\,\rightarrow\,t=0\). 

Diese muss nun in die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Geschwindgkeit zu erhalten.

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=0\) ergibt das \(v(2)=8\cdot 0=0\,\frac{m}{s}\).

Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=3\) ergibt das \(v(2)=8\cdot 3=24\,\frac{m}{s}\).

Die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die zweite Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}\).

Die Geschwindigkeitsfunktion hat die Form \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\) und deren Ableitung ist die 

Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d\,v(t)}{d\,t}=8\). Wir sehen, dass die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) nicht von \(t\) abhängt,

somit ist sie eine konstante Funktion bzw. die Bewegung eine gleichmässig beschleunigte und deshalb ist für alle Orte \(x(t)\) 

die korrekte Antwort \(a=8\,\frac{m}{s^2}\)

Die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die zweite Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}\).

Die Geschwindigkeitsfunktion hat die Form \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\) und deren Ableitung ist die 

Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d\,v(t)}{d\,t}=8\). Wir sehen, dass die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) nicht von \(t\) abhängt,

somit ist sie eine konstante Funktion bzw. die Bewegung eine gleichmässig beschleunigte und deshalb ist für alle Orte \(x(t)\) 

die korrekte Antwort \(a=8\,\frac{m}{s^2}\)

\(6=-2t^4+8t\)

Die Lösung \(t=1\) kann leicht durch ausprobieren oder mit einem Computeralgebraprogramm gefunden werden.

Durch einmaliges Differenzieren erhält man:

\(v(t)=-8t^3+8\)

\(v(1)=0\)

\(6=-2t^4+8t\)

Die Lösung \(t=1\) kann leicht durch ausprobieren oder mit einem Computeralgebraprogramm gefunden werden.

Durch zweimaliges Differenzieren erhält man:

\(a(t)=-24t^2\)

\(a(1)=-24\)

Gesucht ist das Maximum von \(x(t)\).      Allgemein gilt: Das Maximum bzw. Minimum einer Funktion \(f(t)\) ist

an jener Stelle \(t^\star\), an der die Ableitung \(f'(t)=\frac{df(t)}{dt}\) gleich Null ist, d.h \(f'(t^\star)=0\).

Ist die zweite Ableitung \(f''(t)=\frac{d^2f(t)}{dt^2}\) an der Stelle \(t^\star\) kleiner Null  \(f''(t^\star) < 0\), ist \(f(t^\star)\) ein Maximum und wenn \(f''(t^\star)>0\) dann ist \(f(t^\star)\) ein Minimum der Funktion \(f(t)\).

\(\frac{dx(t)}{dt}=-9t^2+36\). Nun suchen wir die Nullstelle der ersten Ableitung

\(0=-9t^2+36\,\rightarrow\,t^2=4\,\rightarrow\,t=\pm 2\,\Rightarrow\, x(2)=-3\cdot 2^3+36\cdot 2+12=60\)

Die zweite Ableitung \(\frac{d^2x(t)}{dt^2}=-18\cdot t\) ist kleiner Null an der Stelle \(t=2\) und somit ist der oben errechnete Ort ein Maximum. 

Gesucht ist das Maximum von \(x(t)\).      Allgemein gilt: Das Maximum bzw. Minimum einer Funktion \(f(t)\) ist

an jener Stelle \(t^\star\), an der die Ableitung \(f'(t)=\frac{df(t)}{dt}\) gleich Null ist, d.h \(f'(t^\star)=0\).

Ist die zweite Ableitung \(f''(t)=\frac{d^2f(t)}{dt^2}\) an der Stelle \(t^\star\) kleiner Null  \(f''(t^\star) < 0\), ist \(f(t^\star)\) ein Maximum und wenn \(f''(t^\star)>0\) dann ist \(f(t^\star)\) ein Minimum der Funktion \(f(t)\).

\(\frac{dx(t)}{dt}=-9t^2+36\). Nun suchen wir die Nullstelle der ersten Ableitung

\(0=-9t^2+36\,\rightarrow\,t^2=4\,\rightarrow\,t=\pm 2\,\Rightarrow\, x(2)=-3\cdot 2^3+36\cdot 2+12=60\)

Die zweite Ableitung \(\frac{d^2x(t)}{dt^2}=-18\cdot t\) ist kleiner Null an der Stelle \(t=2\) ,somit ist der oben errechnete Ort ein Maximum und daher \(t=2\) der gesuchte Zeitpunkt. 

Die Beschleunigung \(a\left(t\right)\) ist die zweite Ableitung der Bewegungsgleichung \(x\left(t\right)\)-

\(a\left(t\right)=\frac{dv\left(t\right)}{dt}=\frac{d^2x\left(t\right)}{dt^2}\)

Die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v\left(t\right)\).

\(a\left(t\right)=\frac{dv\left(t\right)}{dt}\)

Die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{dx(t)}{dt}\).

\(\rightarrow v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}4t^2+\frac{d}{dt}5t+\frac{d}{dt}3=8t+5+0\)

Die Ableitung der Funktion \(v(t)=7t+5\) ist \(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=7\).

Eine konstante Beschleunigung, d.h. \(a(t)\) ist nicht von \(t\) abhängig, führt zu einer gleichmässig beschleunigten Bewegung. Zu jedem Zeitpunkt \(t\) ist die Beschleunigung gleich gross.

Die Beschleunigungfunktion \(a(t)\) ist die zweite Ableitung der Ortsfunktion: \(a(t)=\frac{d^2x(t)}{dt^2}\)

Die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitfunktion \(v(t)\): \(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}\)

\(a(t)=3t^2+8t-4\)

t wird gleich 5 gesetzt.

\(a(5)=3\cdot 5^2+40-4=111\)

Zunächst muss man die Beschleunigungsgleichung berechnen, indem man die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) ableitet.

\(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}\)

\(a(t)=8t-2\)

In diese setzt man nun \(t=9\) ein

\(a(9)=8\cdot 9-2=70\)

Zunächst muss die Funktion abgeleitet werden, \(v(t)=\frac{ds(t)}{dt}\)also

\(v(t)=24t^2+12t-2\).

Nun wird \(t=8 \) gesetzt und das Ergebnis ist \(1630\). 

Zunächst muss die Funktion zweimal abgeleitet werden, also:

\(a(t)=18t+18\)

nun wird \(t=3\) gesetzt und das Resultat ist \(72\)

Zuerst muss die Funktion einmal abgeleitet werden, also

\(v(t)=9t^2+18t-12\)

Nun wird \(t=4\) gesetzt und das Ergebnis ist \(204\)

Um auf die Beschleunigung zu kommen, muss die Funktion einmal abgeleitet werden, also:

\(a(t)=15t^2-4t+8\)

Nun wird \(t=6\) gesetzt und das Ergebnis ist \(524\)

Um von der Bewegungsgleichung auf die Geschwindigkeitsgleichung zu kommen, muss sie abgeleitet werden, also:

\(v(t)=42t^2-40t+4\)

Nun wird \(t=7\) gesetzt und das Ergebnis ist \(1782\) 

Um von der Bewegungsgleichung auf die Beschleunigung zu kommen, muss zweimal abgeleitet, also:

\(a(t)=12t-20\)

Nun wird \(t=2 \) gesetzt und das Ergebnis ist \(4\)

Um von der Bewegungsgleichung auf die Geschwindigkeitsgleichung zu kommen muss man diese einmal ableiten, also:

\(v(t)=16t^3-27t^2-16t+5\) 

Nun wird \(t=5\) gesetzt und das Ergebnis ist \(1250\)

Die Tangente ist die Ableitung der Bewegungsfunktion, daher die momentane Änderungsrate.

Weil die erste Ableitung einer Bewegungsfunktion die Geschwindigkeit darstellt, ist hier die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 (Berührungspunkt der beiden Funktionen) dargestellt.

Die Steigung einer Sekante gibt die durchschnittliche Änderungsrate in dem von den beiden Schnittpunkten begrenzten Bereich an. Da es sich hier um eine Geschwindigkeitsfunktion handelt, kann man aus der Sekante die durchschnittliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, also der Beschleunigung, herauslesen.

Das Integral (=die Fläche unter einer Funktion bzw. zwischen zwei Funktionen) einer Geschwindigkeitsfunktion ist die Bewegungsfunktion

\(\int v(t) dt = s(t)\)

Das Integral (=die Fläche unter einer Funktion bzw. zwischen zwei Funktionen) einer Beschleunigungsfunktion ist die Geschwindigkeitsfunktion

\(\int a(t) dt = v(t)\)

Wir machen den Ansatz

\(x=v_{0} t +x_{0}\).

Somit folgt \(\dot{x}=v_{0}\) und \(\ddot{x}=0\). Daher bleibt zu lösen

\(2v_{0}+v_{0}t+x_{0}=2+t\).

Dies liefert die Ergebnisse \(x_0 =0\) und \(v_0 = 1\). Die Lösung der Differentialgleichung lautet folglich

\(x(t)=t\).

Wir machen den Ansatz

\(z(t)=e^{\lambda t}\).

Durch zweimaliges Ableiten nach dem Zeitparameter \(t\) erhält man

\(\ddot{z}=\lambda^{2}z\)

und folglich

\((\lambda^{2}+1)z=0\).

Die Gleichung ist also erfüllt, falls

\(\lambda=\pm i\)

gilt. Aus dem Superpositionsprinzip, das besagt, dass Lösungen linearer Differntialgleichungen zu neuen Lösungen addiert werden können, lässt sich dann folgern, dass die Gesamtlösung der zu lösenden Bewegungsgleichung von der From

\(z(t)=z_{1}e^{it}+z_{2}e^{-it}\)

sein muss. Die Randbedingungen \(z(0)=0\) und \(z(\frac{\pi}{2})=1\) liefern dann die Ergebnisse

\(z_1 + z_2 = 0\) und \(i(z_1 - z_{2})=1\).

Daraus folgt dann aber \(z_1 = \frac{1}{2i}\) und \(z_2 = -\frac{1}{2i}\) und damit

\(z(t)=\sin t\).

Wir machen den Ansatz

\( x(t)=e^{\lambda t}\).

Daraus ergibt sich die Beziehung

\(\ddot{x}=\lambda^{2}x\).

Für die Ausgangsgleichung gilt demnach

\((\lambda^{2}+\omega^{2})x=0\).

Die Gleichung wird demnach gelöst, falls

\(\lambda=\pm i\omega\)

gilt. Aufgrund des Superpositionsprinzips lässt sich die Lösung der Gleichung folglich in der Gestalt

\(x(t)=x_{1}e^{i\omega t}+x_{2}e^{-i\omega t}\)

schreiben. Benutzt man die Eulersche Formel \(e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t\), so erhält man die alternative Form

\(x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t\),

wobei die Definitionen \(A:=x_{1}+x_{2}\) und \(B:=i\left(x_{1}-x_{2}\right)\) benutzt wurden

Die Bewegungsgleichung lautet

\(m\ddot{x}+\alpha \dot{x} + k x = 0\).

Dies lässt sich auch in der Form

\(\ddot{x}+2\beta \dot{x} + \omega^2 x = 0\)

schreiben, wobei gilt \(\beta = \frac{\alpha}{2m}\).

Zur Lösung der erhaltenen Gleichung machen wir den Ansatz

\( x(t)=x_0 e^{\lambda t}\).

Daraus ergeben sich die Beziehungen

\(\dot{x}=\lambda x\) und \(\ddot{x}=\lambda^{2}x\).

Für die Ausgangsgleichung gilt demnach

\((\lambda^{2}+2\beta\lambda+\omega^{2})x=0\).

Die Gleichung wird demnach gelöst, falls

\(\lambda_{\pm}=\pm i\tilde{\omega} -\beta\)

gilt, wobei \(\tilde{\omega}=\sqrt{\omega ^2 - \beta ^2}\) benutzt wurde. Aufgrund des Superpositionsprinzips lässt sich die Lösung der Gleichung folglich in der Gestalt

\(x(t)=e^{-\beta t}(x_{1}e^{i \tilde{\omega} t}+x_{2}e^{-i \tilde{\omega} t})\)

schreiben. Benutzt man die Eulersche Formel \(e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t\), so erhält man die alternative Form

\(x(t)=e^{-\beta t}(A\cos\tilde{\omega} t+B\sin\tilde{\omega} t)\),

wobei die Definitionen \(A:=x_{1}+x_{2}\) und \(B:=i\left(x_{1}-x_{2}\right)\) benutzt wurden

Ausdrücke der Form

\(\frac{x\,(t_b)-x\,(t_a)}{b-a}\)

sind Differenzenquotienten, die die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b\) beschreiben. Graphisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante, die den Graphen an den Punkten \(P_a = \left( t_a,\, x(t_a) \right)\) und \(P_b = \left( t_b,\, x(t_b) \right)\) schneidet.

Die Differenzenquotienten

\(\frac{x\,(4)-x\,(0)}{4} = \bar v_1\) und \(\frac{x\,(8)-x\,(4)}{4} = \bar v_2\) sind in der Graphik durch die entsprechenden Sekanten dargestellt. Die Differenzen im Divisor sind bereits ausgerechnet (\(4-0 = 8-4=4\)).

Wie zu sehen ist, hat die Sekante durch die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) eine größere Steigung als die, die durch den Ursprung und \(P_1\) geht. Da es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, muss die Geschwindigkeit mit der Zeit zunehmen (das gilt auch für die mittleren Geschwindigkeiten).

Der Differenzenquotient

\(\lim_{b \to a}\frac{x\,(t_b)-x\,(t_a)}{b-a} = \left.\frac{\mathrm{d}x\,(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_a}= \dot x(t_a)\) beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt \(t_a\). Graphisch entspricht er der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion an der Stelle \(t_a\).

Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=14\) ist in der Graphik durch die entsprechende Tangente eingezeichnet. Da die Ortsfunktion an dieser Stelle ein Maximum aufweist, muss \(\dot x(t=14)=0\) gelten.

Ebenso eingezeichnet ist die Sekante, die die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen \(t_a=14\) und \(t_b=16\) beschreibt. Da diese Sekante fallend ist, also einen negativen Anstieg hat, muss  \(\dot x(14)=0\qquad \gt \qquad \frac{x\,(16)-x\,(14)}{2}\) gelten.

Die Ortsfunktion hat den betragsmäßig größten Anstieg an der Stelle \(t=18\). Zwar fällt die Ortsfunktion an dieser Stelle, also \(\dot x(18) \qquad < \qquad 0\), aber sie fällt steiler, als sie bei \(t=8\) ansteigt.

Daher gilt auch \(\left|\dot x(18)\right|\qquad \gt \qquad \left|\dot x(8)\right|\).

Achtung: das gilt nur für die Beträge!

Ohne Beträge gilt \(\dot x(18)\qquad < \qquad \dot x(8)\), da \(\dot x(18)\qquad <\qquad 0\) und \(\dot x(8)\qquad \gt \qquad 0\)!