Fragenliste von Einfache Vektoralgebra

Was ist die Summe der Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}2\\3\end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}4\\1\end{array}\right)$ ? Nr. 1606
	In beiden Fällen $5$ .
	$\sqrt{41}$
	$\left(\begin{array}6\\4\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}2\\3\\4\\1\end{array}\right)$
	$10$
Lösungsweg Vektoren werden komponentenweise addiert, dh. $\left( \begin{array}2 \\3 \end{array} \right) + \left(\begin{array}4\\1\end{array}\right)=\left( \begin{array}2+4 \\3+1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}6 \\4 \end{array} \right)$ .

Was ist die Differenz zwischen dem Vektor $\vec{x}=\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)$ und dem Vektor $\vec{y}=\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)$ ? Nr. 1607
	$-2$
	$\left( \begin{array}8\\2\\-7\\-5\end{array} \right)$
	$+2$
	$\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)$
Lösungsweg Vektoren werden komponentenweise subtrahiert, d.h. $\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)=\left( \begin{array}8-7\\2-5\end{array} \right)=\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)$ .

Wir betrachten ein kartesisches Koordinatensystem. Welche Länge hat der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}=\left( \begin{array} 5,3 \frac{m}{s} \\ 2,6 \frac{m}{s} \end{array} \right)$ ? Nr. 1608
	$5,9 m$
	$5,9 \frac{m}{s}$
	$34,9 m$
	$34,9 \frac{m^2}{s^2}$
Lösungsweg Die Länge (oder der Betrag) in einem kartesischen Koordinatensystem ist gegeben durch $\|\vec{v}\|=\sqrt{ (5,3 \frac{m}{s})^2 + (2,6 \frac{m}{s})^2 } =5,9 \frac{m}{s}$ .

Berechne die Summe der Vektoren $\vec{A}= \left(\begin{array}5\\3\end{array}\right)$ , $\vec{B}= \left(\begin{array}-4\\2\end{array}\right)$ und $\vec{C}= \left(\begin{array}2\\-1\end{array}\right)$ ! Nr. 2496
	$\vec{D}= \left(\begin{array}11\\6\end{array}\right)$
	$\vec{D}= \left(\begin{array}3\\4\end{array}\right)$
	$\vec{ABC}= \left(\begin{array}11\\6\end{array}\right)$
	Keine diese Antworten ist richtig, da sich nicht mehr als zwei Vektoren auf einmal summieren lassen.
	Keine dieser Antworten ist richtig, da Vektoren mit negativen Beträgen oder Richtungen nicht summierbar sind.
Lösungsweg $\vec{A}+ \vec{B}+\vec{C}$ $= \left(\begin{array}5\\3\end{array}\right)+ \left(\begin{array}-4\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}2\\-1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}5-4+2\\3+2-1\end{array}\right)$

Markiere die richtigen Aussagen! Nr. 2497
	Der Vektor $-\vec{A}$ hat den gleichen Absolutbetrag und die entgegengesetzte Richtung von Vektor $\vec{A}$ .
	$\vec{A}+ \vec{B} = \vec{B}+ \vec{A}$
	$\vec{A}+ \vec{B} \neq \vec{B}+ \vec{A}$
	$\vec{A}+ \vec{B} = \vec{AB}$
	Die Summe mehrerer Vektoren wird Komponentenweise gebildet, die Differenz Vektorweise.

Berechne die Differenz der Vektoren $\vec{A} - \vec{B}$ mit $\vec{A}= \left(\begin{array}5\\3\\9\end{array}\right)$ und $\vec{B}= \left(\begin{array}4\\6\\7\end{array}\right)$ . Nr. 2502
	$\vec{D}= \left(\begin{array}1\\-3\\2\end{array}\right)$
	$\vec{D}= \left(\begin{array}9\\9\\16\end{array}\right)$
	D = 0
	D = -5
	Der Differenzvektor ist ein Nullvektor.
Lösungsweg $\left(\begin{array}5\\3\\9\end{array}\right) - \left(\begin{array}4\\6\\7\end{array}\right) = \left(\begin{array}5-4\\3-6\\9-7\end{array}\right)$

Zwei Vektoren sind gleich, wenn: Nr. 2503
	sie die gleiche Richtung haben, unabhängig vom Betrag.
	sie den gleichen Betrag haben, unabhängig von der Richtung
	sie die die gleiche Richtung und den gleichen Betrag haben.
	sie aufsummiert Null ergeben.
	ihre Nullvektoren dieselbe Richtung haben.

Die Länge des Vektors $\vec{A}= \left(\begin{array}4\\-4\\0,5\end{array}\right)$ beträgt: Nr. 2540
	0,5
	4,5
	-4,5
	8,5
	5,7
Lösungsweg Die Länge des Vektors ist sein Betrag, daher gilt: $\mid \vec{A}\mid = \sqrt{(A_1)^2+(A_2)^2+(A_3)^2}$

In welchem Verhältnis stehen Zeilen- und Spaltenvektoren? Nr. 2541
	Es handelt sich um unterschiedliche Schreibweisen derselben Vektoren.
	Zeilenvektoren sind die Kehrwerte der Spaltenvektoren und umgekehrt.
	Zeilenvektoren sind Ableitungen von Spaltenvektoren.
	Spaltenvektoren sind Ableitungen von Zeilenvektoren.
	Keine dieser Aussagen trifft zu.

Gib den Betrag $\mid C\mid$ von Vektor $\vec{C}= \left(\begin{array}33\\-42\\9,5\end{array}\right)$ an! Nr. 2549
	$\mid C\mid= 0,5$
	$\mid C\mid= 13.167$
	$\mid C\mid= 54,25$
	$\mid C\mid= 84,5$
	Der Betrag lässt sich nicht berechnen, da die Komponenten des Vektors unterschiedliche Vorzeichen aufweisen.
Lösungsweg $\mid \vec{C}\mid = \sqrt{(C_1)^2+(C_2)^2+(C_3)^2}$

Wenn $\vec{A} \cdot \vec{B}= 0$ ergibt, dann... Nr. 2553
	...ist der Resultierende Vektor $\vec{AB}$ der Nullvektor.
	...gilt $\vec{A}= -\vec{B}$ und umgekehrt.
	...stehen $\vec{A}$ und $\vec{B}$ senkrecht aufeinander.
	...verlaufen $\vec{A}$ und $\vec{B}$ exakt parallel zueinander in entgegengesetzte Richtungen.
	...ist dies ein Sonderfall der Vektoralgebra, mit dem nicht weiter gerechnet werden kann.
Lösungsweg $\vec{A} \cdot \vec{B}= \left(\begin{array} a_1 \cdot b_1 \\ a_2\cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_3 \end{array}\right)$

Die Differenz $\vec{D}-\vec{E}$ von $\vec{D}=\left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right)$ und $\vec{E}=\left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right)$ ergibt: Nr. 2556
	$\vec{DE}= \left(\begin{array}-11\\-7\\2\end{array}\right)$
	$\vec{F}= \left(\begin{array}-11\\-7\\2\end{array}\right)$
	$\vec{F}=\left(\begin{array}11\\-7\\2\end{array}\right)$
	$\mid\vec{D-E} \mid=20$
	$\mid\vec{F} \mid=20$
Lösungsweg $\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right)$

Gib die Länge des Differenzvektors $\vec{F}$ an, der durch Abzug des Vektors $\vec{E}=\left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right)$ von Vektor $\vec{D}=\left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right)$ entsteht! Nr. 2558
	$\vec{F}=\left(\begin{array}11\\-7\\2\end{array}\right)$
	$\mid\vec{F} \mid=174$
	$\mid\vec{F} \mid= 18$
	$\mid\vec{F} \mid= 13,19$
	$\mid\vec{F} \mid= 4,25$
Lösungsweg 1. Schritt: Errechnen des Differenzvektors $\vec{F}$ : $\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right)$ 2. Schritt: Errechnen des Betrags (=die Länge) des Differenzvektors $\vec{F}$ : $\mid\vec{F} \mid = \sqrt{(8--3)^2+(-3-4)^2+(5-3)^2}$

Berechne $\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}$ mit $\vec{A}=\left(\begin{array}3\\3\\3\end{array}\right)$ , $\vec{B}=\left(\begin{array}8\\-1\\4\end{array}\right)$ und $\vec{C}=\left(\begin{array}4\\2\\6\end{array}\right)$ . Nr. 2559
	$\vec{D}=\left(\begin{array}15\\4\\13\end{array}\right)$
	$\vec{D}=\left(\begin{array}7\\0\\1\end{array}\right)$
	$\vec{D}=\left(\begin{array}7\\2\\1\end{array}\right)$
	$\vec{D}=\left(\begin{array}-7\\2\\1\end{array}\right)$
Lösungsweg $\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}}=\left(\begin{array}3\\3\\3\end{array}\right)+ \left(\begin{array}8\\-1\\4\end{array}\right)- \left(\begin{array}4\\2\\6\end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}3+8-4\\3-1-2\\3+4-6\end{array}\right)$

Berechne $5 \cdot \left(\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)\right)$ Nr. 2562
	$\left(\begin{array}25\\25\\25\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}35\\25\\25\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}10\\5\\15\end{array}\right)+ \left(\begin{array}25\\20\\10\end{array}\right)$
	75
	85
Lösungsweg $5 \cdot (\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right))$ $= 5 \cdot \left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right)+ 5\cdot \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)$

In der Rechnung: $5 \cdot \left(\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)\right)$ ... Nr. 2563
	muss zuerst die Klammer gelöst werden, dann mit dem Skalar multipliziert.
	müssen beide Vektoren mit dem Skalar multipliziert und dann addiert werden.
	führen beide Rechenwege zum gleichen bzw. richtigen Ergebnis.
	greift das Distributivgesetz.
	greift das Assoziativgesetz für Vektoren und Skalare.

Berechne $\vec{A}-\vec{B}$ mit $\vec{A}= \left(\begin{array}23\\42\\63\end{array}\right)$ und $\vec{B}= \left(\begin{array}14\\67\\73\end{array}\right)$ Nr. 2564
	$\vec{AB}=\left(\begin{array}9\\-25\\-10\end{array}\right)$
	$\vec{AB}=\left(\begin{array}9\\25\\10\end{array}\right)$
	$\vec{C}=\left(\begin{array}9\\-25\\10\end{array}\right)$
	$\vec{C}=\left(\begin{array}9\\-25\\-10\end{array}\right)$
	$\vec{D}=\left(\begin{array}-9\\-25\\-10\end{array}\right)$
Lösungsweg Zwei Vektoren $\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ werden subtrahiert indem sie komponentenweise subtrahiert werden $\text{[math]}$ $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)$ .

Für die Rechnung: $\vec{A}+\vec{B}$ mit $\vec{A}= \left(\begin{array}23\\42\\63\end{array}\right)$ und $\vec{B}= \left(\begin{array}-23\\-42\\-63\end{array}\right)$ gilt: Nr. 2565
	$\vec{B}= -\vec{A}$
	$\vec{A}= -\vec{B}$
	Das Ergebnis ist ein Einheitsvektor
	Das Ergebnis ist $\vec{1}$
	Das Ergebnis ist $\vec{0}$

Berechne $\vec{D}-\vec{X}+\vec{Y}$ mit $\vec{D}=\left(\begin{array}25\\12\\63\end{array}\right)$ , $\vec{X}=\left(\begin{array}12\\24\\42\end{array}\right)$ und $\vec{Y}=\left(\begin{array}52\\43\\12\end{array}\right)$ Nr. 2566
	$\left(\begin{array}65\\31\\33\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}65\\79\\11\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}-15\\20\\93\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}65\\63\\33\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}39\\65\\33\end{array}\right)$
Lösungsweg $\vec{D}-\vec{X}+\vec{Y}= \left(\begin{array}25\\12\\63\end{array}\right)- \left(\begin{array}12\\24\\42\end{array}\right)+ \left(\begin{array}52\\43\\12\end{array}\right)$ $= \left(\begin{array}25-12+52\\12-24+43\\63-42+12\end{array}\right)$

Die Summe beliebiger Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ergibt: Nr. 2567
	einen Summenvektor $\vec{AB}$
	einen Vektor $\vec{C}$
	ein Skalarprodukt
	ein Kreuzprodukt
	einen Einheitsvektor.

Eine Masse von m = 4 kg erfahre durch eine Kraft $\vec{F}$ die Beschleunigung $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-1\\4\\\end{pmatrix}$ $\frac{m}{s^2}$ . Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft aus? Nr. 2765
	$\vec{F} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} N$
	$\vec{F} = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\\\end{pmatrix} N$
Lösungsweg $\vec{F} = m \vec{a} = 4 kg \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\4\\\end{pmatrix} \frac{m}{s^2} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} kg\frac{m}{s^2} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} N$ 1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors $\vec{a}$ mit einem Skalar $\lambda$ erfolgt komponentenweise: $\lambda \vec{a} = \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\\lambda a_z\\\end{pmatrix}$

Eine Masse von m = 4 kg erfahre durch eine Kraft $\vec{F}$ die Beschleunigung $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-1\\4\\\end{pmatrix}$ $\frac{m}{s^2}$ .

Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft aus?

Nr. 2765

$\vec{F} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} N$

$\vec{F} = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\\\end{pmatrix} N$

Lösungsweg

Normiere den Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\1\\0\\\end{pmatrix}$ Nr. 2766
	$\vec{a} = \begin{pmatrix}3/10\\1/10\\0\\\end{pmatrix}$
	$\vec{a} = \begin{pmatrix}3/11\\1/11\\0\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg $\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{10}$ $\vec{a} = \sqrt{10}\vec{e_a}$ $\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{10}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix}3\\1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/10\\1/10\\0\\\end{pmatrix}$ 1) Normierung eines Vektors Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet: $\vec{e_a} = \frac{1}{\|\vec{a}\|}\vec{a}$

Normiere den Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix}$ Nr. 2767
	$\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}$
	$\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/5\\1/5\\2/5\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg $\|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ $\vec{a} = \sqrt{6}\vec{e_a}$ $\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}$ 1) Normierung eines Vektors Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet: $\vec{e_a} = \frac{1}{\|\vec{a}\|}\vec{a}$

Normiere den Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\-3\\\end{pmatrix}$ Nr. 2768
	$\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/7\\-1/14\\-3/14\\\end{pmatrix}$
	$\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/7\\1/7\\-3/7\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg $\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$ $\vec{a} = \sqrt{14}\vec{e_a}$ $\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}2\\-1\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/7\\-1/14\\-3/14\\\end{pmatrix}$ 1) Normierung eines Vektors Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet: $\vec{e_a} = \frac{1}{\|\vec{a}\|}\vec{a}$

Gegeben seien folgende Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\3\\5\\\end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\4\\2\\\end{pmatrix}$ , $\vec{c} = \begin{pmatrix}-4\\-2\\0\\\end{pmatrix}$ Berechne $\vec{s} = 3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}$ Nr. 2769
	$\vec{s} = \begin{pmatrix}-2\\-15\\19\\\end{pmatrix}$
	$\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-5\\4\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec{s} = 3 \begin{pmatrix}0\\3\\5\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}1\\4\\2\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\-2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-15\\19\\\end{pmatrix}$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

Gegeben seien folgende Vektoren

$\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\3\\5\\\end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\4\\2\\\end{pmatrix}$ , $\vec{c} = \begin{pmatrix}-4\\-2\\0\\\end{pmatrix}$

Berechne

$\vec{s} = 3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}$

Nr. 2769

$\vec{s} = \begin{pmatrix}-2\\-15\\19\\\end{pmatrix}$

$\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-5\\4\\\end{pmatrix}$

Lösungsweg

Gegeben seien folgende Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\\-2\\\end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\2\\2\\\end{pmatrix}$ , $\vec{c} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\\end{pmatrix}$ Berechne $\vec{s} = 4\vec{a} - \vec{b} + 2\vec{c}$ Nr. 2770
	$\vec{s} = \begin{pmatrix}0\\-16\\6\\\end{pmatrix}$
	$\vec{s} = \begin{pmatrix}0\\-12\\6\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec{s} = 4 \begin{pmatrix}1\\-3\\2\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\2\\2\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-16\\6\\\end{pmatrix}$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

Gegeben seien folgende Vektoren

$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\\-2\\\end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\2\\2\\\end{pmatrix}$ , $\vec{c} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\\end{pmatrix}$

Berechne

$\vec{s} = 4\vec{a} - \vec{b} + 2\vec{c}$

Nr. 2770

$\vec{s} = \begin{pmatrix}0\\-16\\6\\\end{pmatrix}$

$\vec{s} = \begin{pmatrix}0\\-12\\6\\\end{pmatrix}$

Lösungsweg

Gegeben seien folgende Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-2\\5\\\end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\-3\\3\\\end{pmatrix}$ , $\vec{c} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\\\end{pmatrix}$ Berechne $\vec{s} = \vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{c}$ Nr. 2771
	$\vec{s} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}$
	$\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\8\\1\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-2\\5\\\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}0\\-3\\3\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

Gegeben seien folgende Vektoren

$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-2\\5\\\end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\-3\\3\\\end{pmatrix}$ , $\vec{c} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\\\end{pmatrix}$

Berechne

$\vec{s} = \vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{c}$

Nr. 2771

$\vec{s} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}$

$\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\8\\1\\\end{pmatrix}$

Lösungsweg

Bestimme ob die Aussage wahr oder falsch ist: An einem Massenpunkt in dem die angreifenden Kräfte wirken hebt sich die physikalische Wirkung auf: $\vec{F_1} = \begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N,$ $\vec{F_2} = \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N,$ $\vec{F_3} = \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N,$ $\vec{F_4} = \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N$ Nr. 2772
	wahr
	falsch
Lösungsweg Die vier Kräfte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende Kraft \vec{F_R} den Nullvektor ergibt: $\vec{F_R} = \vec{F_1} +\vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} =$ $\begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N =$ $\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix} N$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

Bestimme ob die Aussage wahr oder falsch ist:

An einem Massenpunkt in dem die angreifenden Kräfte wirken hebt sich die physikalische Wirkung auf:

$\vec{F_1} = \begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N,$

$\vec{F_2} = \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N,$

$\vec{F_3} = \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N,$

$\vec{F_4} = \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N$

Nr. 2772

wahr

falsch

Lösungsweg

Wähle $\vec{F_4}$ so, dass die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Kräfte sich gegenseitig aufheben $\vec{F_1} = \begin{pmatrix}2\\5\\0\\\end{pmatrix} N,$ $\vec{F_2} = \begin{pmatrix}1\\-7\\9\\\end{pmatrix} N,$ $\vec{F_3} = \begin{pmatrix}3\\-5\\-3\\\end{pmatrix} N,$ $\vec{F_4} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} N$ Nr. 2773
	$\vec{F_4} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-7\\\end{pmatrix} N$
	$\vec{F_4} = \begin{pmatrix}4\\2\\-7\\\end{pmatrix} N$
Lösungsweg Finde ein x,y,z damit das Gleichungssystem erfüllt ist: 2 + 1 + 3 + x = 0 5 – 7 – 5 + y = 0 0 + 9 – 3 + z = 0 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

Wähle $\vec{F_4}$ so, dass die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Kräfte sich gegenseitig aufheben

$\vec{F_1} = \begin{pmatrix}2\\5\\0\\\end{pmatrix} N,$

$\vec{F_2} = \begin{pmatrix}1\\-7\\9\\\end{pmatrix} N,$

$\vec{F_3} = \begin{pmatrix}3\\-5\\-3\\\end{pmatrix} N,$

$\vec{F_4} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} N$

Nr. 2773

$\vec{F_4} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-7\\\end{pmatrix} N$

$\vec{F_4} = \begin{pmatrix}4\\2\\-7\\\end{pmatrix} N$

Lösungsweg

In einem Raum befinden sich zwei Punkte $P_1 = (-4, 2, 1)$ und $P_2 = (1,3,4)$ . Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, welcher die Strecke zwischen diesen beiden Punkten halbiert? Nr. 2774
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}$ $Q= (-1.5,2.5,2.5)$
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-2,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}$ $Q= (-2.5,2.5,2.5)$
Lösungsweg Der Vektor $\vec{P_1Q}$ ist parallel zum Vektor $\vec{P_1P_2}$ , jedoch nur von halber Länge: $\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}$ Aus einer Skizze folgt, dass $\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}$ Zunächst die benötigten Vektoren berechnen: $\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix}$ $\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-4)\\3 - 2\\4 - 1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix}$ Für den Ortsvektor erhält man: $\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

In einem Raum befinden sich zwei Punkte

$P_1 = (-4, 2, 1)$ und $P_2 = (1,3,4)$ .

Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, welcher die Strecke zwischen diesen beiden Punkten halbiert?

Nr. 2774

$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}$

$Q= (-1.5,2.5,2.5)$

$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-2,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}$

$Q= (-2.5,2.5,2.5)$

Lösungsweg

Bestimme die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P = (3;3;2) in Richtung des Vektors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-2\\\end{pmatrix}$ um 10 Längeneinheiten entfernt liegt. Nr. 2775
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}13\\23\\-18\\\end{pmatrix}$
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}23\\10\\-10\\\end{pmatrix}$
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\-6.67\\\end{pmatrix}$
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\6.67\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg Der Vektor $\vec{PQ}$ ist parallel zum Vektor $\vec{a}$ , jedoch um 10 Längeneinheiten länger : $\vec{PQ} = \vec{a} + 10$ Aus einer Skizze folgt, dass $\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + \vec{PQ} = \vec{r}(P) + 10\vec{e_a}$ Zunächst die benötigten Vektoren berechnen: $\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix}$ $\vec{e_a}= \frac {\vec{a}}{\|\vec{a\|}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix}$ Für den Ortsvektor erhält man: $\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + 10\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix} + 10\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\-6.67\\\end{pmatrix}$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

In einem Raum befinden sich zwei Punkte $P_1 = (-3, 3, 3)$ und $P_2 = (1,-1,1)$ . Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, welcher die Strecke zwischen diesen beiden Punkten halbiert? Nr. 2776
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\\\end{pmatrix}$ $Q= (-2,1,2)$
	$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\\\end{pmatrix}$ $Q= (2,1,-2)$
Lösungsweg Der Vektor $\vec{P_1Q}$ ist parallel zum Vektor $\vec{P_1P_2}$ , jedoch nur von halber Länge: $\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}$ Aus einer Skizze folgt, dass $\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}$ Zunächst die benötigten Vektoren berechnen: $\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix}$ $\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-3)\\-1 - 3\\1 - 3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix}$ Für den Ortsvektor erhält man: $\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\\\end{pmatrix}$ 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert $\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}$

In einem Raum befinden sich zwei Punkte

$P_1 = (-3, 3, 3)$ und $P_2 = (1,-1,1)$ .

Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, welcher die Strecke zwischen diesen beiden Punkten halbiert?

Nr. 2776

$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\\\end{pmatrix}$

$Q= (-2,1,2)$

$\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\\\end{pmatrix}$

$Q= (2,1,-2)$

Lösungsweg

Welche dieser Aussagen ist in diesem Fall korrekt? Nr. 3255
	$\vec{C}=\vec{B}+(-\vec{A)$
	$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B$
	$\vec{B}=\vec{A}+\vec{C}$
	$\vec{C}=\vec{B}-\vec{A}$

Welche Aussage ist in diesem Fall korrekt? Nr. 3256
	$\vec{C}=\vec{A}-\vec{B$
	$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$
	$\vec{A}=\vec{C}-\vec{B$
	$\vec{B}=\vec{A}-\vec{C$

Welche Aussage ist in diesem Fall korrekt? Nr. 3257
	$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v$
	$\vec{u}=\vec{w}-\vec{v$
	$\vec{w}=\vec{v}+(-\vec{u})$
	$\vec{u}=\vec{w}\times \vec{v}$
	Keine dieser Aussagen ist korrekt

Welche Aussage bezüglich des Vektors $\vec{r$ ist korrekt? Nr. 3258
	$\vec{r}=\vec{r_1}-\vec{BD}$
	$\vec{r}=-\vec{DB}+\vec{r_1}$
	$\vec{r}=\vec{r_2}+\vec{CD}$
	$\vec{r}=\vec{r_2}+(-\vec{DC})$

Gegeben seien zwei Vektoren, die die Diagonalen eines Parallelogramms repräsentieren. Was muss berücksichtigt werden, um dieses Paralellogramm zu konstruieren. Nr. 3268
	Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen normal aufeinander, wenn das Parallelogramm eine Raute ist..
	Die Diagonalen müssen nicht unbedingt gleich lang sein
	Die Diagonalen stehen jeweils im 45° Winkel auf jede Seite des Paralellogramms
	Die beiden Diagonalen halbieren sich

Der Vektor $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}14\\3\\9\end{array} \right)$ wird mit dem Skalar $\lambda=0,8$ multipliziert. Was ist das Ergebnis? Nr. 3271
	Der Vektor zeigt nun in die entgegengesetzte Richtung
	Der Vektor wird um das 0,8-fache länger
	Der Vektor beträgt nur noch 80% seiner ursprünglichen Länge.
	Der Vektor behält seine Länge und seine Richtung. Das kann sich nur durch eine Multiplikation mit einem anderen Vektor ändern
Lösungsweg Die Multiplikation eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ mit einem Skalar $\lambda$ bedeutet: $\lambda\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}\lambda\cdot a_1\\\lambda\cdot a_2\\\lambda\cdot a_3\end{array} \right)$

Der Vektor $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}5\\3\\8\end{array} \right)$ wird mit dem Vektor $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-3\\-8\end{array} \right)$ addiert. Was ist das Resultat dieser Addition? Nr. 3273
	Ein Skalar mit dem Wert 0
	Ein Nullvektor
	Das Resultat ist weder ein Vektor, noch ein Skalar.
	Das Resultat ist ein "normaler" Vektor
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$ $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ D.h. $\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)$ Vektoren werden komponentenweise addiert. In diesem Beispiel ist $\vec{C}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right)$ der Nullvektor.

Gegeben sei das Skalarfeld $3x^2z-xy^3+5$ in der Basis $(x,y,z)$ . Welchen Wert hat hat es im Punkt $P(1,-2,2)$ ? Nr. 3291
	$19$
	$15$
	$21$
	$13$
Lösungsweg $3x^2z-xy^3+5$ im Punkt $P(1,-2,2)$ $3\cdot 1^2\cdot 2-1\cdot(-2)^3+5=19$

Gib die Länge des Vektors $\vec{V}= \left( \begin{array}{c}-18\\15\\-11\end{array} \right)$ an Nr. 3292
	$\mid\vec{V}\mid=19,33$
	$\mid\vec{V}\mid=21,69$
	$\mid\vec{V}\mid=25,88$
	$\mid\vec{V}\mid=28,49$
	$\mid\vec{V}\mid=31,45$
Lösungsweg Der Absolutbetrag eines Vektors $\vec{V}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)$ wird folgenermaßen berechnet: $\|\vec{V}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$

Es sei das Skalarfeld $f(x,y,z=2x^2+6yz+9)$ gegeben in der Basis $(x,y,z)$ . Bestimme den Wert am Punkt $P(4,7,2)$ Nr. 3293
	$120$
	$125$
	$130$
	$135$
	$115$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $2\cdot4^2+6\cdot7\cdot2+9=125$

Eine Masse $m=14kg$ erfährt eine Beschleunigung $\vec{a}$ , die durch den Vektor $\vec{a}= \left( \begin{array}{c}5\\-2\\9\end{array} \right)$ ausgedrückt wird. Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft $\vec{F}$ aus? Nr. 3296
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}70\\28\\126\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}70\\-28\\126\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}19\\12\\23\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}-9\\12\\12\end{array} \right)$
Lösungsweg Die Kraft $\vec{F}$ ist definiert wie folgt $\vec{F}=m\cdot \vec{a}$ , wo $\vec{a}$ die Beschleunigung ist. Somit ist $\vec{F}=m\cdot\vec{a}=14\cdot \left( \begin{array}{c}5\\-2\\9\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}14\cdot5\\14\cdot(-2)\\9\cdot14\end{array} \right)$

Gegeben seien die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\-4\\2\end{array} \right)$ , $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\8\\-84\end{array} \right)$ und $\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\1\\3\end{array} \right)$ . Berechne: $\vec{s}= 4\cdot \vec{A}+2\cdot \vec{B}-\frac{1}{2}\cdot \vec{C}$ Nr. 3297
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\0,5\\161,5\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-27\\0,5\\-161,5\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-27\\-0,5\\161,5\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)$
Lösungsweg Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert. $4\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}36\\-16\\8\end{array} \right)\quad,$ $2\cdot \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\16\\-168\end{array} \right)\quad ,$ $-$ $-$ $-$ $0,5\cdot \vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\0,5\\1,5\end{array} \right)$ Nun werden alle drei Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, also: $\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)$

Gegeben seien die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\9\\8\end{array} \right)$ , $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\-5\\7\end{array} \right)$ und $\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\5\\-5\end{array} \right)$ Berechne $\vec{s}= 5\cdot \vec{A}-2\cdot\vec{B}+\vec{C}$ Nr. 3298
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-27\\60\\-21\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-60\\21\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-60\\-21\end{array} \right)$
Lösungsweg Zunächst muss jeder Vektor mit dem angegeben Faktor multipliziert werden. also $5\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\45\\40\end{array} \right)\quad , \quad 2\cdot\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-10\\14\end{array} \right)$ Das Resultat der Addition bzw. Subtraktion aller Vektoren: $\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)$

Gegeben seien die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\6\\-3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\5\\-6\end{array} \right)$ . Berechne $\vec{s}=$ $2\vec{A}-3\vec{B}$ Nr. 3299
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-42\\1\\-12\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}42\\-3\\12\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}42\\-1\\-12\end{array} \right)$
	$\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-42\\1\\12\end{array} \right)$
Lösungsweg Jeder Vektor wird mit seinem Faktor multipliziert und anschließend werden die zwei Vektoren subtrahiert bzw. addiert: $\vec{s}= \left( \begin{array}{c}18\\12\\-6\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c}-24\\15\\-18\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}42\\-3\\12\end{array} \right)$

Eine Masse $m=25kg$ erfährt eine Beschleunigung, die durch den Vektor $\vec{a}= \left( \begin{array}{c}-8\\3\\-2\end{array} \right)$ ausgedrückt wird. Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft $\vec{F}$ aus? Nr. 3307
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}-200\\75\\-50\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}200\\-75\\50\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}17\\28\\23\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}-220\\85\\-40\end{array} \right)$
Lösungsweg Die Kraft $\vec{F}$ ist definiert wie folgt $\vec{F}=m\cdot \vec{a}$ , wo $\vec{a}$ die Beschleunigung ist. Somit ist $\vec{F}= \left( \begin{array}{c}25(-8)\\253\\25*(-2)\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}-200\\75\\-50\end{array} \right)$

Auf die Masse $m=650kg$ wirkt eine Beschleunigung $\vec{a}$ , die durch den Vektor $\vec{a}= \left( \begin{array}{c}20\\5\\35\end{array} \right)$ . Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft $\vec{F}$ aus? Nr. 3308
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}130000\\32500\\227500\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}1300\\325\\2275\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}130\\325\\227\end{array} \right)$
	$\vec{F}= \left( \begin{array}{c}13000\\3250\\22750\end{array} \right)$
Lösungsweg Die Kraft wird folgendermaßen berechnet $\vec{F}=m\cdot\vec{a}$ . Die Masse $m$ wird mit jeder Komponenten des Vektors $\vec{a}$ multipliziert. $\vec{F}= \left( \begin{array}{c}20\cdot 650\\5\cdot 650\\35\cdot 650\end{array} \right)$

Es sei das Skalarfeld $5x^3z+2x^2-4y$ in der Basis $(x,y,z)$ gegeben. Bestimme seinen Wert am Punkt $P(6,2,11)$ . Nr. 3310
	$12574$
	$11944$
	$9866$
	$10238$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $5\cdot6^3\cdot11+2\cdot6^2-4\cdot2=11944$

Gegeben sei das Skalarfeld $6xz^3y+2x^2-9yz$ in der Basis $(x,y,z)$ Welchen Wert hat es am Punkt $P(7,4,2)$ ? Nr. 3311
	$1260$
	$1180$
	$1370$
	$1460$
	$1190$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $5\cdot 7\cdot 2^3\cdot4+2\cdot7^2-9\cdot\cdot2=1370$

Gegeben sei das Skalarfeld $9x^3y+5z-xyz+21$ in der Basis $(x,y,z)$ Bestimme seinen Wert beim Punkt $P(4,7,3)$ Nr. 3312
	$3257$
	$3688$
	$3423$
	$3984$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $9\cdot4^3\cdot7+5\cdot3-4\cdot7\cdot3+21=3984$

Gegeben sei das Skalarfeld $5x^2-2y+6z^4x+8z+2$ in der Basis $(x,y,z)$ Bestimme seinen Wert beim Punkt $P(8,3,9)$ . Nr. 3313
	$315316$
	$308641$
	$298647$
	$381245$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $5\cdot8^2-2\cdot3+6\cdot9^4\cdot8+8\cdot9+2=315316$

Gegeben sei das Skalarfeld $2x^2+4y+3z$ Gesucht ist der Wert am Punkt $P(5,2,3)$ Nr. 3314
	$63$
	$72$
	$59$
	$67$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $2\cdot5^2+4\cdot2+3\cdot3=67$

Gegeben sei das Skalarfeld $f(x,y,z)=4x^2+yxz+2x$ in der Basis $(x,y,z)$ . Bestimme seinen Wert am Punkt $P(3,9,4)$ Nr. 3315
	$f(3,9,4)=130$
	$f(3,9,4)=140$
	$f(3,9,4)=150$
	$f(3,9,4)=160$
	$f(3,9,4)=170$
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld $f(x,y,z)$ den x-,y- und z-Wert des Punktes $P$ für de jeweilgen Variablen ein $4\cdot3^2+9\cdot3\cdot4+2\cdot3=150$

Der Weg eines Autos kann durch zwei Vektoren beschrieben werden. Zuerst $\vec{s_1}= \left( \begin{array}{c}12\\16\end{array} \right)$ und anschließend $\vec{s_2}= \left( \begin{array}{c}9\\13\end{array} \right)$ (in km) Wie viele Kilometer hat das Auto insgesamt zurückgelegt? Nr. 3345
	$s=35,81km$
	$s=38,21km$
	$s=30,3km$
	$s=28,67km$
Lösungsweg Die Länge der Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array} \right)$ ist der der Absolutbetrag: $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ Zurückgelegte Strecke: $s= \|\vec{s_1}\|+ \|\vec{V_2}\|=\sqrt{s_1_x^2+s_1_y^2}+\sqrt{s_2_x^2+s_2_y^2}$ $s=20+15,8114=35,8114\,km$

Ein Auto fährt 8km nach Norden und danach 7km nach Nord-Osten. Wie weit ist die Distanz zwischen Ursprungsort und Ziel? Nr. 3349
	$12,74km$
	$14,81km$
	$13,86km$
	$10,96km$
Lösungsweg Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor $\vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)$ beschrieben werden. Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag $\mid \vec{V_2}\mid$ bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind. d.h $\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95$ Somit ist der Vektor $\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)$ die zweite Teilstrecke. Die Summe dieser Vektoren ergibt: $\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)$ und dessen Länge ist $\|\vec{V_3}\|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km$

Ein Auto fährt 4km nach Osten und anschließend 11km nach Nord-Osten. Wie weit hat sich das Auto vom Ausgangspunkt entfernt? Nr. 3350
	$12,33km$
	$13,85km$
	$14,12km$
	$16,43km$
Lösungsweg Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor $\vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)$ beschrieben werden. Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag $\mid \vec{V_2}\mid$ bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind. d.h $\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=11\quad \Rightarrow v_x=7,78$ Somit ist der Vektor $\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\7,78\end{array} \right)$ die zweite Teilstrecke. Die Summe dieser Vektoren ergibt: $\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\11,78\end{array} \right)$ und dessen Länge ist $\|\vec{V_3}\|=\sqrt{7,78^2+11,78^2}\)=14,12\,km$

Gegeben seien die zwei Punkte $P_1(5\|3)$ und $P_2(12\|7)$ . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3378
	$\|\vec{P_1P_2}\|=8,06$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=9,86$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,32$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,54$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(12-5)^2+(7-3)^2}=8,06$

Gegeben seien die Punkte $P_1(9\|14)$ und $P_2(8\|10)$ Wie weit sind sie auseinander entfernt? Nr. 3379
	$\|\vec{P_1P_2}\|=4,12$
	$\|\vec{P_1P_2}\mid=5,36$
	$\|\vec{P_1P_2}\mid=2,96$
	$\|\vec{P_1P_2}\mid=7,03$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(8-9)^2+(10-14)^2}=4,12$

Gegeben seien zwei Punkte $P_1(8\|6)$ und $P_2(6\|6)$ Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3380
	$\|\vec{P_1P_2}\|=5$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=4$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=3$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=2$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2$

Gegeben seien zwei Punkte $P_1(1\|3)$ und $P_2(-5\|8)$ . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3381
	$\|\vec{P_1P_2}\|=7,81$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=9,63$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=8,32$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=6,78$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,53$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(-5-1)^2+(8-3)^2}=7,81$

Gegeben seien die Punkte $P_1(7\|5)$ und $P_2(9\|5)$ . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3382
	$\|\vec{P_1P_2}\|=2$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=5$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=3$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=7$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(7-9)^2+(5-5)^2}=2$

Gegeben seien die Punkte $P_1(9\|11)$ und $P_2(17\|3)$ . Wie weit sind diese Punkte voneinander entfernt? Nr. 3383
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,33$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=12,46$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=11,31$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=14,5$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(9-17)^2+(11-3)^2}=11,31$

Gegeben seien 2 Punkte: $P_1(14\|-9)$ und $P_2(-18\|-11)$ . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3384
	$\|\vec{P_1P_2}\|=34,91$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=32,06$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=31,68$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=39,98$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(14+18)^2+(-9+11)^2}=32,06$

Wie weit sind folgende Punkt voneinander entfernt: $P_1(9\|16)$ und $P_2(17\|9)$ Nr. 3385
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,63$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=12,52$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=11,98$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=9,74$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(9-17)^2+(16-9)^2}=10,63$

Gegeben seien folgende Punkte: $P_1(19\|27)$ und $P_2(-19\|21)$ . Wie weit sind diese voneinander entfernt? Nr. 3386
	$\|\vec{P_1P_2}\|=40,5$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=35,6$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=38,5$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=35,9$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(19+19)^2+(27-21)^2}=38.47$

Gegeben seien folgende Punkte: $P_1(45\|63)$ und $P_2(57\|63)$ . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3387
	$\|\vec{P_1P_2}\|=16$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=12$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=22$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(57-45)^2+(63-63)^2}=12$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{u$ und $\vec{v$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{w$ an. Nr. 3463
	$\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)$
	$\vec{w}= \left( \begin{array}{c}3\\4\end{array} \right)$
	$\vec{w}= \left( \begin{array}{c}2\\6\end{array} \right)$
	$\vec{w}= \left( \begin{array}{c}4\\8\end{array} \right)$
Lösungsweg Der Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier. $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}3\\-1\end{array} \right)$ , deshalb ist $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)$

Lies die Komponenten der gegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ab und addiere sie. Gib anschließend die Komponenten des resultierenden Vektors $\vec{c}$ an. Nr. 3464
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)$
	$\vec{c}= -15$
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}2\\2\end{array} \right)$
	$\vec{c}= 4$
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}2\\8\end{array} \right)$
Lösungsweg Zunächst werden die Komponenten der Vektoren abgelesen. Dabei beginnt man beim Schaft des Pfeiles, der den Vektor repräsentiert. In der Grafik sind die $y\mathrm{-Komponenten}$ rot und die $x\mathrm{-Komponenten}$ blau dargestellt. Der Vektor $\vec b$ ist parallel zur $y\mathrm{-Achse}$ orientiert, seine $x\mathrm{-Komponente}$ ist daher $0$ . $\vec{a}= \left( \begin{array}{c}2\\-3\end{array} \right)$ $\vec{b}= \left( \begin{array}{c}0\\5\end{array} \right)$ Die Summe der beiden Vektoren ergibt wieder einen Vektor! Dabei werden die $x\mathrm{-Komponenten}$ und die $y\mathrm{-Komponenten}$ addiert: $\vec{c}= \left( \begin{array}{c}a_x+b_x\\a_y+b_y\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}2+0\\-3+5\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}2\\2\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3465
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}0\\-3\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-3\\-5\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}7\\-3\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-2\\-4\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3466
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-4\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-3\end{array} \right)$ , d.h. $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-6\end{array} \right)$

Ließ die Komponenten der gegebenen Vektoren ab und addiere sie. Gib anschließend die Komponenten des entstandenen Vektors $\vec{C$ an. Nr. 3467
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\5\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\1\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\-1\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)$ und $\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\6\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3468
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}2\\-6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-1\\-5\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-6\\-5\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\-8\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-1\\-5\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3469
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-2\\6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}2\\8\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-6\\2\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3470
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-6\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\-2\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\6\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\4\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3471
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}2\\4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}2\\-4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-6\\4\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\1\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3472
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\5\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\3\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden addiert $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise addiert, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\5\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\0\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3473
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\1\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\0\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}0\\4\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\1\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3474
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\-4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-3\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\6\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\2\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\5\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-3\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3475
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\-8\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-8\\4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\8\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-4\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-2\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-2\\6\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\-8\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3476
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\8\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\-1\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3477
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-3\\-4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\4\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-7\\6\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\-5\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-1\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\-4\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3478
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-10\\-10\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}0\\0\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-10\\0\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}10\\10\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-1\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-10\\0\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den resultierenden Vektor $\vec{c} =\vec a - \vec b$ an. Nr. 3479
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}-7\\-8\end{array} \right)$
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}-5\\-6\end{array} \right)$
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}-10\\8\end{array} \right)$
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}6\\-8\end{array} \right)$
	$\vec{c}= \left( \begin{array}{c}7\\8\end{array} \right)$
Lösungsweg Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, das heißt $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ . In diesem Fall sind die Vektoren $\vec{a}= \left( \begin{array}{c}-6\\-7\end{array} \right)$ und $\vec{b}= \left( \begin{array}{c}1\\1\end{array} \right)$ , wie in der Grafik zu sehen ist. Die $x\mathrm{-Komponenten}$ sind dabei rot und die $y\mathrm{-Komponenten}$ blau eingezeichnet. Die Richtung, in die der Pfeil, der den Vektor repräsentiert, zeigt, legt das Vorzeichen der Komponenten fest. Es ergibt sich also $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}= \left( \begin{array}{c}-6-1\\-7-1\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}-7\\-8\end{array} \right)$ . Graphisch gesehen ergibt das den Vektor, der von der Spitze von $\vec b$ zur Spitze von $\vec a$ zeigt, wenn die beiden Vektoren beim selben Anfangspunkt ansetzen.

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3480
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\3\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-5\\-3\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\-3\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-3\\-5\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\-8\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-5\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-3\end{array} \right)$

Lies die beiden gegebenen Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor $\vec{C}$ an. Nr. 3481
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-6\\1\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\1\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-6\\-1\end{array} \right)$
	$\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-1\end{array} \right)$
Lösungsweg Der beliebige Vektor $\vec{u}$ zwischen dem Anfangspunkt $A=(A_x\mid A_y)$ und dem Endpunkt $B=(B_x\mid B_y)$ errechnet sich folgendermaßen $\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)$ Zwei beliebige Vektoren $\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)$ und $\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)$ werden subtrahiert $\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}$ , indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. $\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)$ Hier sind die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-1\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)$ , das heisst $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\1\end{array} \right)$

Die Rotation $rot \vec{A}$ eines Vektors $\vec{A}$ , welche auch öfters mit $\vec{\nabla}\times\vec{A}$ bezeichnet wird, berechnet sich wie folgt? Nr. 4148
	$\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{y}A_{3}-\partial_{z}A_{2}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{x}A_{2}-\partial_{y}A_{2} \end{array}\right)$
	$\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{y}A_{3}-\partial_{z}A_{2}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{x}A_{2}-\partial_{y}A_{1} \end{array}\right)$
	$\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}A_{3}-\partial_{z}A_{2}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{y}A_{2}-\partial_{y}A_{1} \end{array}\right)$
	$\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{y}A_{3}-\partial_{z}A_{1}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{x}A_{2}-\partial_{y}A_{2} \end{array}\right)$
Lösungsweg Der Defnition nach gilt $\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{array}\right)$ und somit $\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{y}A_{3}-\partial_{z}A_{2}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{x}A_{2}-\partial_{y}A_{1} \end{array}\right)$ .

Für ein allgemeines Vektorfeld des Typs $\vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$ wurde bereits in einem frühreren Beispiel die Gültigkeit der Identität $div(rot\vec{F})=0$ , welche oftmals auch als $\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0$ notiert wird, aufgezeigt. Basierend auf welcher allgemeinen Beobachtung kommt man - unter Benützung der Komponentendarstellung für Vektoren - zu dem selben Ergebnis? Nr. 4153
	Das Produkt zweier total antisymmetrischer Ausdrücke ist stets null.
	Das Produkt zweier symmetrischer Ausdrücke ist stets null.
	Das Produkt eines symmetrischen und eines total antisymmetrischen Ausdrucks ist stets null.
Lösungsweg In Komponentenschreibweise gilt $\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}$ , wobei der total antisymmetrische Ausdruck $\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{ikj}$ gemeinhin als $\varepsilon$ -Tensor bezeichnet wird. Da nach dem Satz von Schwarz für jede Komponente $F_{k}$ des Vektors $\vec{F}$ gilt $\partial_{i}\partial_{j}F_{k}=\partial_{j}\partial_{i}F_{k}$ , lässt sich demnach folgern $\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{jik}\partial_{j}\partial_{i}F_{k}.$ Da die Bennenung von Summationsindizes jedoch völlig beliebig ist, lässt sich der gefundene Ausdruck auch als $\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}.$ schreiben. Somit muss aber zwingend gelten $\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0.$ Ein solcher Widerspruch lässt sich ferner für beliebige Ausdrücke aus der Beobachtung folgern, dass das Produkt eines symmetrischen und eines total antisymmetrischen Ausdrucks stets null ist.

Sei $U=U(x,y,z)$ ein skalares Feld und $\vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$ ein Vektorfeld. Was ist das Ergebnis der Rechnung $div(U\vec{F})$ , welche auch in der Form $\vec{\nabla}(U\vec{F})$ notiert werden kann? Nr. 4154
	$\vec{\nabla}(U\vec{F})=U\vec{\nabla}\vec{F}$
	$\vec{\nabla}(U\vec{F})=\vec{\nabla}U\cdot\vec{F}$
	$\vec{\nabla}(U\vec{F})=\vec{\nabla}U\cdot\vec{F}-U\cdot\vec{\nabla}\vec{F}$
	$\vec{\nabla}(U\vec{F})=\vec{\nabla}U\cdot\vec{F}+U\cdot\vec{\nabla}\vec{F}$
Lösungsweg Der Defnition nach gilt $\vec{\nabla}(U\vec{F})=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} UF_{x}\\ UF_{y}\\ UF_{z} \end{array}\right)$ und daher $\vec{\nabla}(U\vec{F})=\partial_{x}(UF_{x})+\partial_{y}(UF_{y})+\partial_{z}(UF_{z})$ was in Komponentenschreibweise kompakt in der Form $\vec{\nabla}(U\vec{F})=\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\left\{ F_{k}\partial_{k}U+U\partial_{k}F_{k}\right\}$ notiert werden kann. Dies bedeutet aber, dass $\vec{\nabla}(U\vec{F})=\vec{\nabla}U\cdot\vec{F}+U\cdot\vec{\nabla}\vec{F}$ gilt.

Gegeben sei ein Vektorfeld $\vec{v}=\vec{v}(x,y,z)$ . WIe lautet seine Zerlegung $\vec{v}=\vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_{\perp}$ bezüglich eines Referrenzvektorfeldes $\vec{u}=\vec{u}(x,y,z)$ ? Nr. 4159
	$\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u} \times \vec{v})\times \vec{u}$ und $\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}$
	$\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}$ und $\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{v^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})$
	$\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}$ und $\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{u}$
	$\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}$ und $\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})$
Lösungsweg Verwendet man den Entwicklungssatz $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B)}$ und setzt $\vec{B} := \vec{v}$ , $\vec{A} , \vec{C} := \vec{u}$ , so erhält man das Resultat $\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})=u^{2}\vec{v}-(\vec{u}\vec{v})\vec{u}$ . Infolgedessen gilt aber auch $\vec{v}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}+\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})$ .

Gegeben seien drei Vektoren $\vec{A}$ , $\vec{B}$ und $\vec{C}$ . Wie lautet das Ergebnis der Rechnung $(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =...$ ? Nr. 4160
	$(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})$
	$(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2 \vec{C} (\vec{A}\times\vec{B})$
	$(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{B}(\vec{C}\times\vec{A})$
	$(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{A}\times\vec{A})$
Lösungsweg Hierbei berechnet man $(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =(\vec{A}-\vec{B})\left\{ \vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\right\}$ $=\vec{A}(\vec{A}\times\vec{C})+\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{A}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{B}\times\vec{C})$ . Benützt man nun die Identitäten $\vec{X}(\vec{Y}\times\vec{Z})=\vec{Z}(\vec{X}\times\vec{Y})=\vec{Y}(\vec{Z}\times\vec{X})$ beziehungsweise $\vec{X}\times\vec{Y}=-\vec{Y}\times\vec{X}$ , die für beliebige Vektorfelder $\vec{X}$ , $\vec{Y}$ und $\vec{Z}$ gelten, so erhält man $(\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})$ $=2\vec{C}(\vec{A}\times\vec{B})$ $=2\vec{B}(\vec{C}\times\vec{A})$ .

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Gegeben seien die zwei Punkte $P_1(5\|3)$ und $P_2(12\|7)$ . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3378
	$\|\vec{P_1P_2}\|=8,06$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=9,86$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,32$
	$\|\vec{P_1P_2}\|=10,54$
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert $\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)$ der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)$ berechnet sich folgendermaßen $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ $\|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(12-5)^2+(7-3)^2}=8,06$

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