Fragenliste von Basis und Komponenten

Als "Basis" wird in der Vektorrechnung... Nr. 2543
	... die Menge aller möglichen Vektoren in einem Koordinatensystem bezeichnet, die darstellbar sind.
	...die Menge aller möglichen Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem bezeichnet die darstellbar sind.
	...die Menge von Einheitsvektoren bezeichnet, bezüglich derer es möglich ist einen Vektor darzustellen.
	...die Menge aller Vektoren mit der Länge 0 bezeichnet, bezüglich derer es möglich ist, einen Vektor darzustellen.
	...die Grundfläche bezeichnet, innerhalb der Vektoren dargestellt werden können.

Wie lautet die korrekte Spaltenschreibweise des Vektors \(\vec{A}=A_1 \cdot \vec{e_x} + A_2 \cdot \vec{e_y} + A_3 \cdot \vec{e_z}\)? Nr. 2578
	\( \left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} \vec{e_{A1}} \\ \vec{e_{A2}} \\ \vec{e_{A3}} \end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array} \vec{e_x} \\ \vec{e_y} \\\vec{e_z}\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array} \vec{e_x} \\ \vec{e_y} \\\vec{e_z}\end{array}\right)\)
	Keine dieser Lösungen ist richtig, da in der Aufgabenstellung bereits die korrekte Spaltenschreibweise verwendet wird.

Wie lautet die korrekte Spaltenschreibweise des Vektors \(\vec{A}=A_1 \cdot \vec{e_x} + A_2 \cdot \vec{e_y} + A_3 \cdot \vec{e_z}\) wenn von einer Standardbasis mit Einheitsvektoren ausgegangen wird? Nr. 2579
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} \vec{e_{A1}} \\ \vec{e_{A2}} \\ \vec{e_{A3}} \end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array} \vec{e_1} \\ \vec{e_2} \\\vec{e_3}\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array} \vec{e_x} \\ \vec{e_y} \\\vec{e_z}\end{array}\right)\)
	Keine dieser Lösungen ist richtig, da in der Aufgabenstellung bereits die korrekte Spaltenschreibweise verwendet wird.

Bei welchen Bestandteilen von Vektor \(\vec{A}=A_1 \cdot \vec{e_x} + A_2 \cdot \vec{e_y} + A_3 \cdot \vec{e_z}\) handelt es sich um Komponenten? Nr. 2580
	\(\vec{e_x}\), \(\vec{e_y}\) und \(\vec{e_z}\)
	\(A_1\), \(A_2\) und \(A_3\)
	\(\vec{A}\)
	Alle Bestandteile sind Komponenten, da Komponenten eines Vektors ein Synonym für seine Bestandteile ist.
	Keine dieser Angaben, da es sich bei Komponenten immer nur um ganzzahlige Werte handelt.

Gib die algebraische Schreibweise des Vektors \(\vec{B}=\left(\begin{array} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\) an! Nr. 2581
	\(\vec{B}=3 \cdot 2 \cdot 1\)
	\(\vec{B}= 3\cdot \vec{e_x} + 2 \cdot \vec{e_y} + \vec{e_z}\)
	\(\vec{B}={3+2+1}\)
	\(\vec{B}=[3;2;1]\)
	\(B=[3;2;1]\)

Die Länge eines Vektors wird berechnet aus dem Betrag... Nr. 2634
	seiner Basis.
	seiner Komponenten.
	seiner Basis mal des Betrages seiner Komponenten.
	seiner Basis, seiner Komponenten und der Richtung(en).
	der Einheitsvektoren, die seine Basis bilden.

Gib in algebraischer bzw. Zeilenschreibweise den Vektor \(\vec{A}\) an, der bezogen auf kartesische Koordinaten und Einheitsbasis die Komponenten 3 in x-Richtung, 4 in y-Richtung und 1 in z-Richtung hat. Nr. 2635
	\(\vec{A}= 3x+4y+z\)
	\(\vec{A}=3x \cdot 4y \cdot z\)
	\(\vec{A}= 3 \vec{e_x}+ 4 \vec{e_y} + \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=3 \vec{e_x} \cdot 4 \vec{e_y} \cdot 4 \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=\left(\begin{array} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)\)

Gib den Vektor \(\vec{A}\) in Spaltenform an, der bezogen auf kartesische Koordinaten und Einheitsbasis die Komponenten 8 in x-Richtung, -3 in y-Richtung und 7 in z-Richtung hat. Nr. 2636
	\(\vec{A}=8x-3y+7z\)
	\(\vec{A}=8x \cdot (-3y) \cdot 7z\)
	\(\vec{A}=8 \vec{e_x} -3 \vec{e_y} + 7\vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=8 \vec{e_x} \cdot -3 \vec{e_y} \cdot 7 \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=\left(\begin{array} 8 \\ -3 \\ 7 \end{array}\right)\)

Gib den Absolutbetrag des Vektors \(\vec{A}=3 \cdot \vec{e_x} -4 \cdot \vec{e_y} + 2 \cdot \vec{e_z} \) an! Nr. 2637
	\(1\)
	\(13\)
	\(13\vec{e}_{xyz}\)
	\(5,385\)
	\(5,385\vec{e}_{xyz}\)
Lösungsweg \(\mid A \mid= \sqrt{(A_1)^2+(A_2)^2+(A_3)^2)} \)

Wie lautet die korrekte Spaltenschreibweise des Vektors \(\vec{A}=A_1 \cdot \vec{e_x} + A_2 \cdot \vec{e_y} + A_3 \cdot \vec{e_z}\) wenn NICHT von einer Standardbasis mit Einheitsvektoren ausgegangen wird? Nr. 2638
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} \vec{e_{A1}} \\ \vec{e_{A2}} \\ \vec{e_{A3}} \end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array} \vec{e_x} \\ \vec{e_y} \\\vec{e_z}\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array} \vec{e_x} \\ \vec{e_y} \\\vec{e_z}\end{array}\right)\)
	Keine dieser Lösungen ist richtig, da in der Aufgabenstellung bereits die korrekte Spaltenschreibweise verwendet wird.

Wenn sich die Basis \(\left(\begin{array} \vec{e}_x \\ \vec{e}_y \\ \vec{e}_z \end{array}\right)\) um die Faktoren \(\left(\begin{array} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \)verschiebt, bedeutet dies für \(\vec{B}=\left(\begin{array} 3\\ 8 \\ 5 \end{array}\right)\), der auf der alten Basis liegt: Nr. 2639
	...dass er nun nicht mehr darstellbar ist.
	...das sich sein Absolutbetrag nicht ändert.
	...dass er bezüglich der neuen Basis als \(\vec{B}= \left(\begin{array} 6\\ 10 \\ 4 \end{array}\right)\) dargestellt wird.
	...dass er bezüglich der neuen Basis \(\vec{B}'=\left(\begin{array} 1\\ 4\\ -5 \end{array}\right) \) lautet.
	... nichts hiervon.

Bei welchen Bestandteilen von Vektor \(\vec{A}=A_1 \cdot \vec{e_x} + A_2 \cdot \vec{e_y} + A_3 \cdot \vec{e_z}\) handelt es sich um die Angaben der Basis? Nr. 2658
	\(\vec{e_x}\), \(\vec{e_y}\) und \(\vec{e_z}\)
	\(A_1\), \(A_2\) und \(A_3\)
	\(\vec{A}\)
	Alle Bestandteile sind Angaben zur Basis, da Basis eines Vektors ein Synonym für seine Bestandteile ist.
	Keine dieser Angaben, da es sich bei Komponenten immer nur um ganzzahlige Werte handelt.

Gib die algebraische Schreibweise des Vektors \(\vec{A}=\left(\begin{array} 2,5 \\ -2 \\ 0,7 \end{array}\right)\) an! Nr. 2659
	\( \vec{A}=2,5 \cdot (-2) \cdot 0,7\)
	\(\vec{A}= 2,5\cdot \vec{e_x }+ 2,5 \vec{e_y} + 0,7 \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}= 2,5\cdot \vec{e_x} - 2\cdot \vec{e_y} + 0,7\cdot \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=[2,5;-2;0,7]\)
	Bei \(\vec{A}=\left(\begin{array} 2,5 \\ -2 \\ 0,7 \end{array}\right)\) handelt es sich bereits um die algebraische Schreibweise.

Die Basis eines Vektors \(\vec{C}=\left (\begin{array} 7,5\\ 1,5 \\ -0,7 \end{array}\right)\) verschiebt sich um die Faktoren \(x=3\), \(y=0,5\) und \(z=-1\). Wie lautet der Vektor \(\vec{C}\) hinsichtlich der neuen Basis? Nr. 2660
	\(\vec{C'}=\left(\begin{array} 22,5\\ 0,75 \\ 0,7 \end{array}\right)\)
	\(\vec{C'}=\left (\begin{array} 22,5\\ 0,75 \\ -0,7 \end{array}\right)\)
	\(\vec{C'}=\left (\begin{array} 10,5\\ 4,5 \\-1,7 \end{array}\right)\)
	\(\vec{C'}=\left (\begin{array} 7,5\\ 1,5 \\ 0,7 \end{array}\right)\)
	\(\vec{C'}=\left(\begin{array} 2,5\\ 3 \\ 0,7 \end{array}\right)\)

Welche Informationen über einen Vektor befinden sich in seinen Komponenten? Nr. 2661
	Seine Richtung in den verschiedenen Dimensionen.
	Seine Ausdehnung in die verschiedenen Dimensionen.
	Seine Gesamtlänge.
	Die Beschreibung des Koordinatensystems, in dem er liegt.
	Die Winkel zwischen seinen Teilstrecken.

Bei der Darstellung \(\vec{A}= \left (\begin{array} 1\\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\) eines Vektors... Nr. 2662
	wird von einer "Standardbasis" mit Einheitsvektoren ausgegangen.
	fehlt die Information zur Basis und kann auch nicht gemutmaßt werden.
	kann von einem rechtwinkligen Koordinatensystem als Basis ausgegangen werden.
	ist es sicher, dass er dreidimensional ist.
	ist die Feststellung des Absolutbetrags aufgrund fehlender Informationen zur Basis nicht möglich.

Gib die algebraische Schreibweise des Vektors \(\vec{A}\) an, der bezogen auf kartesische Koordinaten und Einheitsbasis die Komponenten 2,5 in x-Richtung, 3,1 in y-Richtung und -6 in z-Richtung besitzt. Nr. 2663
	\(\vec{A}= 2,5\cdot \vec{e_x }+ 3,1 \cdot \vec{e_y} + 6\cdot \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}= 2,5\cdot \vec{e_x }+ 3,1 \cdot \vec{e_y} - 6\cdot \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=\left (\begin{array} 2,5\\ 3,1 \\ -6 \end{array}\right)\)
	\(\vec{A}=\left (\begin{array} 2,5\vec{e_x} \\ 3,1 \vec{e_y} \\ -6 \vec{e_z} \end{array}\right)\)
	\(\vec{A}=\left (\begin{array} 2,5+\vec{e_x} \\ 3,1 +\vec{e_y} \\ -6 +\vec{e_z} \end{array}\right)\)
Lösungsweg Ein beliebiger Vektor \(\vec{A}=\left (\begin{array} a\\ b\\ c \end{array}\right)\) kann als eine Linearkombination der Basisvekoren \(\vec{e_x}=\left (\begin{array} 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\), \(\vec{e_y}=\left (\begin{array} 0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\vec{e_z}=\left (\begin{array} 0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) des euklidischen Vektorraums dargestellt werden \(\vec{A}=\left (\begin{array} a\\ b\\ c \end{array}\right)=\)\(a\cdot \left (\begin{array} 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+b\cdot \left (\begin{array} 0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c \cdot \left (\begin{array} 0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\)\(= a\cdot \vec{e_x }+ b \cdot \vec{e_y} +c\cdot \vec{e_z}\)

Gib die Spaltenschreibweise des Vektors \(\vec{A}\) an, der bezogen auf kartesische Koordinaten und Einheitsbasis die Komponenten 2,5 in x-Richtung, 3,1 in y-Richtung und -6 in z-Richtung besitzt. Nr. 2664
	\(\vec{A}= 2,5\cdot \vec{e_x }+ 3,1\cdot \vec{e_y} + 6 \cdot \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}= 2,5\cdot \vec{e_x }+ 3,1 \cdot \vec{e_y} - 6 \cdot \vec{e_z}\)
	\(\vec{A}=\left (\begin{array} 2,5\\ 3,1 \\ -6 \end{array}\right)\)
	\(\vec{A}=\left (\begin{array} 2,5\vec{e_x} \\ 3,1 \vec{e_y} \\ -6 \vec{e_y} \end{array}\right)\)
	\(\vec{A}=\left (\begin{array} 2,5+\vec{e_x} \\ 3,1 +\vec{e_y} \\ -6 +\vec{e_y} \end{array}\right)\)
Lösungsweg Ein beliebiger Vektor \(\vec{A}=\left (\begin{array} a\\ b\\ c \end{array}\right)\) kann als eine Linearkombination der Basisvekoren \(\vec{e_x}=\left (\begin{array} 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\), \(\vec{e_y}=\left (\begin{array} 0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\vec{e_z}=\left (\begin{array} 0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) des euklidischen Vektorraums dargestellt werden \(\vec{A}=\left (\begin{array} a\\ b\\ c \end{array}\right)=\)\(a\cdot \left (\begin{array} 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+b\cdot \left (\begin{array} 0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c \cdot \left (\begin{array} 0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\)\(= a\cdot \vec{e_x }+ b \cdot \vec{e_y} +c\cdot \vec{e_z}\)

Gib den Absolutbetrag des Vektors \(\vec{A}=8 \cdot \vec{e_x} +3,2 \cdot \vec{e_y} + 4,2 \cdot \vec{e_z}\) an! Nr. 2665
	\(\vec{e}_{xyz}\)
	\(9,585\)
	\(15,4\vec{e}_{xyz}\)
	\(15,4\)
	\(237,16\)
Lösungsweg \(\mid A \mid= \sqrt{(A_1)^2+(A_2)^2+(A_3)^2)} \)

Die Gleichung \(\vec{A}=8 \cdot \vec{e_x} +3,2 \cdot \vec{e_y} + 4,2 \cdot \vec{e_z} = \left (\begin{array} 8\\ 3,2 \\ 4,2 \end{array}\right)\) ist... Nr. 2666
	in jedem Fall richtig.
	in jedem Fall falsch.
	richtig, wenn \( \vec{e_x} \), \(\vec{e_y} \) und \(\vec{e_z} \) Einheitsvektoren sind.
	richtig, wenn \( \vec{e_x} \), \(\vec{e_y} \) und \(\vec{e_z} \) Nullvektoren sind.
	falsch, wenn nicht von einer Standardbasis mit Einheitsvektoren ausgegangen wird.
Lösungsweg Ein beliebiger Vektor \(\vec{A}=\left (\begin{array} a\\ b\\ c \end{array}\right)\) kann als eine Linearkombination der Basisvekoren \(\vec{e_x}=\left (\begin{array} 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\), \(\vec{e_y}=\left (\begin{array} 0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\vec{e_z}=\left (\begin{array} 0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) des euklidischen Vektorraums dargestellt werden \(\vec{A}=\left (\begin{array} a\\ b\\ c \end{array}\right)=\)\(a\cdot \left (\begin{array} 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+b\cdot \left (\begin{array} 0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c \cdot \left (\begin{array} 0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\)\(= a\cdot \vec{e_x }+ b \cdot \vec{e_y} +c\cdot \vec{e_z}\)

Gegeben sei der Punkt P = (2, -1, 0) a) Wie lautet der Ortsvektor an diesem Punkt? b) Wie lautet der Betrag des Vektors? Nr. 2761
	\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\\\end{pmatrix}\) \(\|\vec{r}(P)\| =\sqrt{5}\)
	\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}\) \(\|\vec{r}(P)\| =\sqrt{2}\)
Lösungsweg \(\vec{r}(P) = \vec{OP} = 2 \vec{e_x} - 1 \vec{e_y} + 0 \vec{e_z} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\\\end{pmatrix}\) \(\|\vec{r}(P)\| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{5}\) 1) Komponentendarstellung eines Vektors \(\vec{a} = \vec{a_x} + \vec{a_y} + \vec{a_z} = a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix}\) \(a_x, a_y, a_z\) ... Vektorkomponenten \(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix}\) ... Spaltenvektor 2) Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors \(\vec{a}\) lässt sich aus dem rechtwinkeligen Dreieck unter Verwendung des Satzes von Pythagoras leicht berechnen. \(\|\vec{a}\| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

Gegeben sei der Punkt P = (2, -1, 0)

a) Wie lautet der Ortsvektor an diesem Punkt?

b) Wie lautet der Betrag des Vektors?

Nr. 2761

\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{r}(P)| =\sqrt{5}\)

\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{r}(P)| =\sqrt{2}\)

Lösungsweg

Gegeben sei der Punkt P = (3, 3, 1) a) Wie lautet der Ortsvektor an diesem Punkt? b) Wie lautet der Betrag des Vektors? Nr. 2762
	\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}3\\3\\1\\\end{pmatrix}\) \(\|\vec{r}(P)\| = \sqrt{19}\)
	\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}-3\\3\\1\\\end{pmatrix}\) \(\|\vec{r}(P)\| = \sqrt{19}\)
Lösungsweg \(\vec{r}(P) = \vec{OP} = 3 \vec{e_x} + 3 \vec{e_y} + 1 \vec{e_z} = \begin{pmatrix}3\\3\\1\\\end{pmatrix}\) \(\|\vec{r}(P)\| = \sqrt{(3)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{19}\) 1) Komponentendarstellung eines Vektors \(\vec{a} = \vec{a_x} + \vec{a_y} + \vec{a_z} = a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix}\) \(a_x, a_y, a_z\) ... Vektorkomponenten \(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix}\) ... Spaltenvektor 2) Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors \(\vec{a}\) lässt sich aus dem rechtwinkeligen Dreieck unter Verwendung des Satzes von Pythagoras leicht berechnen. \(\|\vec{a}\| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

Gegeben sei der Punkt P = (3, 3, 1)

a) Wie lautet der Ortsvektor an diesem Punkt?

b) Wie lautet der Betrag des Vektors?

Nr. 2762

\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}3\\3\\1\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{r}(P)| = \sqrt{19}\)

\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}-3\\3\\1\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{r}(P)| = \sqrt{19}\)

Lösungsweg

Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\end{pmatrix}\) wird vom Punkt A = (1,2,3) aus abgetragen. Welche Koordinaten besitzt dann der Endpunkt B dieses Vektors? Nr. 2763
	\( \vec{r}(B) = \begin{pmatrix}2\\1\\3\\\end{pmatrix} \)
	\(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}1\\1\\3\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg Der Ortsvektor des Endpunktes B lässt sich wie folgt als Vektorsumme darstellen: \(\vec{r}(B) = \vec{r}(A) + \vec{AB} = \vec{r}(A) + \vec{a}\) Da A und \(\vec{a} \) bekannt sind erhält man: \(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\\\end{pmatrix}\) 1) Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors \(\vec{a} = \vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1) \vec{e_x} + (y_2 - y_1) \vec{e_y} + (z_2 - z_1) \vec{e_z} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1) \\(y_2 - y_1) \\(z_2 - z_1) \\\end{pmatrix}\) \(P_1 = (x_1,y_1,z_1):\) Anfangspunkt des Vektors \(\vec{P_1P_2}\) \(P_2 = (x_2,y_2,z_2):\) Endpunkt des Vektors \(\vec{P_1P_2}\)

Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\end{pmatrix}\) wird vom Punkt A = (1,2,3) aus abgetragen.

Welche Koordinaten besitzt dann der Endpunkt B dieses Vektors?

Nr. 2763

\( \vec{r}(B) = \begin{pmatrix}2\\1\\3\\\end{pmatrix} \)

\(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}1\\1\\3\\\end{pmatrix}\)

Lösungsweg

Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix}\) wird vom Punkt A = (1,1,1) aus abgetragen. Welche Koordinaten besitzt dann der Endpunkt B dieses Vektors? Nr. 2764
	\(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}3\\5\\2\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg Der Ortsvektor des Endpunktes B lässt sich wie folgt als Vektorsumme darstellen: \(\vec{r}(B) = \vec{r}(A) + \vec{AB} = \vec{r}(A) + \vec{a}\) Da A und \(\vec{a}\) bekannt sind erhält man: \(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\5\\2\\\end{pmatrix}\) 1) Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors \(\vec{a} = \vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1) \vec{e_x} + (y_2 - y_1) \vec{e_y} + (z_2 - z_1) \vec{e_z} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1) \\(y_2 - y_1) \\(z_2 - z_1) \\\end{pmatrix}\) \(P_1 = (x_1,y_1,z_1):\) Anfangspunkt des Vektors \(\vec{P_1P_2}\) \(P_2 = (x_2,y_2,z_2):\) Endpunkt des Vektors \(\vec{P_1P_2}\)

Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix}\) wird vom Punkt A = (1,1,1) aus abgetragen.

Welche Koordinaten besitzt dann der Endpunkt B dieses Vektors?

Nr. 2764

\(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}3\\5\\2\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{r}(B) = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix}\)

Lösungsweg

Gegeben sei der Vektor \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\3\\9\end{array} \right) \) . Berechne den Absolutbetrag \(\mid \vec{A}\mid\). Nr. 3192
	\(\mid \vec{A}\mid=13,41\)
	\(\mid \vec{A}\mid=12,41\)
	\(\mid \vec{A}\mid=12,6\)
	\(\mid \vec{A}\mid=17,23\)
	\(\mid \vec{A}\mid=9,73\)
Lösungsweg Der Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)ist definiert als: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).

Gegeben sei folgender Vektor: \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}12\\23\\24\end{array} \right)\) Welchen Absolutbetrag hat dieser Vektor? Nr. 3193
	\(\mid \vec{A}\mid=36,59\)
	\(\mid \vec{A}\mid=29,84\)
	\(\mid \vec{A}\mid=32,51\)
	\(\mid \vec{A}\mid=35,34\)
	\(\mid \vec{A}\mid=41,43\)
Lösungsweg Der Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) ist definiert als \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).

Gegeben sei folgender Vektor \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}124\\-23\\-4\end{array} \right)\) Welche Länge hat dieser Vektor? Nr. 3194
	\(\mid \vec{A}\mid=142,53\)
	\(\mid \vec{A}\mid=130,42\)
	\(\mid \vec{A}\mid=126,18\)
	\(\mid \vec{A}\mid=156,22\)
Lösungsweg Der Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)entspricht dessen Absolutbetrag und dieser wird folgendermassen berechnet \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).

Gegeben sei folgender Vektor:\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}14\\13\\-8\end{array} \right)\) Berechne den Absolutbetrag dieses Vektors. Nr. 3196
	\(\mid \vec{A}\mid=21,21\)
	\(\mid \vec{A}\mid=24,83\)
	\(\mid \vec{A}\mid=20,71\)
	\(\mid \vec{A}\mid=27,12\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gegeben sei folgender Vektor \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}83\\24\\37\end{array} \right)\) Berechne dessen Absolutbetrag Nr. 3197
	\(\mid \vec{A}\mid=93,99\)
	\(\mid \vec{A}\mid=86,79\)
	\(\mid \vec{A}\mid=96,43\)
	\(\mid \vec{A}\mid=88,53\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gesucht ist der Absolutbetrag dieses Vektors: \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}20\\16\\-21\end{array} \right)\) Nr. 3198
	\(\mid \vec{A}\mid=25,41\)
	\(\mid \vec{A}\mid=39,29\)
	\(\mid \vec{A}\mid=24,62\)
	\(\mid \vec{A}\mid=33,12\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gesucht ist der Absolutbetrag des folgenden Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}11\\2\\-5\end{array} \right)\) Nr. 3199
	\(\mid \vec{A}\mid=12,25\)
	\(\mid \vec{A}\mid=14,35\)
	\(\mid \vec{A}\mid=10,63\)
	\(\mid \vec{A}\mid=11,89\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gesucht ist der Absolutbetrag des folgenden Vektors \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\10\\10\end{array} \right)\) Nr. 3200
	\(\mid \vec{A}\mid=11,82\)
	\(\mid \vec{A}\mid=19,43\)
	\(\mid \vec{A}\mid=15,85\)
	\(\mid \vec{A}\mid=17,32\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gesucht ist der Absolutbetrag des folgenden Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}3\\-4\\-8\end{array} \right) \) Nr. 3201
	\(\mid \vec{A}\mid=9,43\)
	\(\mid \vec{A}\mid=10,55\)
	\(\mid \vec{A}\mid=8,32\)
	\(\mid \vec{A}\mid=7,33\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gib den Absolutbetrag des folgenden Vektors an \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-23\\3\\14\end{array} \right)\) Nr. 3202
	\(\mid \vec{A}\mid=23,87\)
	\(\mid \vec{A}\mid=21,69\)
	\(\mid \vec{A}\mid=27,09\)
	\(\mid \vec{A}\mid=31,3\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gesucht ist der Absolutbetrag des folgenden Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\0\\3\end{array} \right)\) Nr. 3203
	\(\mid \vec{A}\mid=6,31\)
	\(\mid \vec{A}\mid=2,85\)
	\(\mid \vec{A}\mid=5,23\)
	\(\mid \vec{A}\mid=3,16\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gib die Länge des Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}68\\23\\34\end{array} \right)\) an Nr. 3220
	\(\mid \vec{A}\mid=75,3\)
	\(\mid \vec{A}\mid=62,9\)
	\(\mid \vec{A}\mid=79,4\)
	\(\mid \vec{A}\mid=81,3\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gib die Länge des Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}54\\62\\21\end{array} \right)\) an Nr. 3221
	\(\mid \vec{A}\mid=71,61\)
	\(\mid \vec{A}\mid=76,51\)
	\(\mid \vec{A}\mid=84,86\)
	\(\mid \vec{A}\mid=68,09\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gib die Länge des Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}23\\34\\62\end{array} \right)\) an. Nr. 3222
	\(\mid\vec{A}\mid=70,3\)
	\(\mid\vec{A}\mid=80,4\)
	\(\mid\vec{A}\mid=74,4\)
	\(\mid\vec{A}\mid=87,7\)
Lösungsweg Die Länge eines Vektors \(\vec{A}\) berechnet sich aus der Quadratwurzel von der Summe der quadrierten Komponenten des Vektors. \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}A_x\\A_y\\A_z\end{array} \right)\qquad \rightarrow \qquad \mid\vec{A}\mid=\left(A_x^2+A_y^2+A_z^2\right)^{1/2}\)

Gib die Länge des Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}12\\31\\26\end{array} \right)\) an Nr. 3223
	\(\mid \vec{A}\mid=49,3\)
	\(\mid \vec{A}\mid=37,5\)
	\(\mid \vec{A}\mid=42,2\)
	\(\mid \vec{A}\mid=34,6\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Gib den Absolutbetrag des Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}156\\242\\334\end{array} \right)\) an Nr. 3224
	\(\mid \vec{A}\mid=440,97\)
	\(\mid \vec{A}\mid=428,36\)
	\(\mid \vec{A}\mid=457,89\)
	\(\mid \vec{A}\mid=476,21\)
Lösungsweg Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

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