Bei der partiellen Ableitung werden alle Größen nach denen nicht abgeleitet wird als Konstanten behandelt.

Bei der partiellen Ableitung werden alle Größen nach denen nicht abgeleitet wird als Konstanten behandelt.

Bei der partiellen Ableitung werden alle Größen nach denen nicht abgeleitet wird als Konstanten behandelt.

Wenn die von den Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) abhängige Funktion\(F\left(x,y,z\right)=\frac{3xy}{z^2}\) partiell nach \(z\) abgeleiten werden soll, müssen wir die anderen Variablen \(x\) und \(y\) während des Ableitens als Konstanten ansehen, d.h. \(F\left(x,y,z\right)\rightarrow F \left.\left(z\right)\right.\).

\(\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial \frac{3xy}{z^2}}{\partial z}=3xy\frac{\partial \frac{1}{z^2}}{\partial z}=3xy\frac{\partial z^{-2}}{\partial z}\)\(=3xy\cdot(-2)\cdot z^{-3}=3xy\cdot(-2)\cdot \frac{1}{z^{3}}=-\frac{6xy}{z^{3}}\)

Da \(x\) und \(y\) "Konstanten" sind, können wir sie vor die Ableitung ziehen und alles was für die Ableitung übrig bleibt ist \(\frac{1}{z^2}\).

Wenn die von den Variablen \(x\) und \(y\) abhängige Funktion\(R\left(x,y\right)=\frac{y^3}{3x^2}\) partiell nach \(x\) abgeleiten werden soll, müssen wir die andere Variable \(y\) während des Ableitens als Konstante ansehen, d.h. \(R\left(x,y\right)\rightarrow R \left.\left(x\right)\right.\).

\(\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial \frac{y^3}{3x^2}}{\partial x}=\frac{y^3}{3}\frac{\partial \frac{1}{x^2}}{\partial x}=\frac{y^3}{3}\frac{\partial x^{-2}}{\partial x}\)\(=\frac{y^3}{3}\cdot(-2)\cdot x^{-3}=\frac{y^3}{3}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{x^{3}}=-\frac{2y^3}{3x^{3}}\)

Da \(y\) eine "Konstante" ist, können wir sie vor die Ableitung ziehen und alles was für die Ableitung übrig bleibt ist \(\frac{1}{x^2}\).

Soll eine beliebige Funktion \(f\left(x_1,x_2,x_3,\, ...)\), die von mindestens zwei Variablen abhängig ist, partiell nach einer dieser Variablen abgeleitet werden, können die übrigen Variablen als Konstanten angesehen werden, z.B. \(\frac{\partial f\left(x_1,x_2,x_3\right)}{\partial x_2}=\frac{\partial f\left(x_2\right)}{\partial x_2}\)

D.h. \(\frac{\partial \frac{3x^2}{4yz^2}}{\partial x}=\frac{3}{4yz^2}\frac{\partial x^2}{\partial x}=\frac{3}{4yz^2}\cdot 2x=\frac{6x}{4yz^2}=\frac{3x}{2yz^2}\)

Soll eine beliebige Funktion \(f\left(x_1,x_2,x_3,\, ...)\), die von mindestens zwei Variablen abhängig ist, partiell nach einer dieser Variablen abgeleitet werden, können die übrigen Variablen als Konstanten angesehen werden, z.B. \(\frac{\partial f\left(x_1,x_2,x_3\right)}{\partial x_2}=\frac{\partial f\left(x_2\right)}{\partial x_2}\)

D.h. \(\frac{\partial \frac{3x^2}{4yz^2}}{\partial y}=\frac{3x^2}{4z^2}\frac{\partial y^{-1}}{\partial y}=\frac{3x^2}{4z^2}\cdot (-1)y^{-2}=-\frac{3 x^2}{4y^2z^2}\)

Soll eine beliebige Funktion \(f\left(x_1,x_2,x_3,\, ...)\), die von mindestens zwei Variablen abhängig ist, partiell nach einer dieser Variablen abgeleitet werden, können die übrigen Variablen als Konstanten angesehen werden, z.B. \(\frac{\partial f\left(x_1,x_2,x_3\right)}{\partial x_2}=\frac{\partial f\left(x_2\right)}{\partial x_2}\)

D.h. \(\frac{\partial \frac{3x^2}{4yz^2}}{\partial z}=\frac{3x^2}{4y}\frac{\partial z^{-2}}{\partial z}=\frac{3x^2}{4y}\cdot (-2)z^{-3}=-\frac{6 x^2}{4yz^3}=-\frac{3 x^2}{2yz^3}\)

Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) werden die anderen Variablen (in diesem Fall also \(y\)) als Konstanten behandelt. Formal lässt sich das schreiben als:

\({\frac {\partial f(x,\ y)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y)-f(x,\ y)}{\Delta x}}\)

Es wird also nur die Abhängigkeit der Funktion in \(x\mathrm{-Richtung}\) betrachtet.

Da die Funktion \(F(x,y)=cos(x)+sin(yx)\) als Summe von zwei Funktionen \(g(x,\ y)=cos(x)\) und \(h(x,\ y)=sin(yx)\) aufgefasst werden kann, ist die Summenregel anzuwenden:

\(\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x} = \frac{\partial g\, (x,\ y)}{\partial x} + \frac{\partial h(x,\ y)}{\partial x}\).

Da \(g(x,y)=cos(x)\) nicht von \(y\) abhängt, ergibt die Ableitung nach \(x\) den bekannten Ableitungsregeln entsprechend \(-sin(x)\).

\(h(x,y)=sin(yx)\) hängt von \(x\) und \(y\) ab, wobei es sich außerdem um eine Verkettung von zwei Funktionen handelt. Das Argument der Sinus-Funktion stellt wiederum eine Funktion in \(x\) dar, es muss also die Kettenregel angewandt werden.

\(\frac{\partial h(x,\ y)}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}sin(y\cdot x) = \underbrace{cos(y\cdot x)}_{\textit{Ableitung au\ss en}} \cdot \underbrace{y}_{\textit{Ableitung innen}}\)

Somit ergibt sich \(\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=y\cdot cos(xy)-sin(x)\)

Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) werden die anderen Variablen (in diesem Fall also \(y\) und \(\omega\) ) als Konstanten behandelt. Formal lässt sich das schreiben als:

\({\frac {\partial f(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y,\ \omega)-f(x,\ y,\ \omega)}{\Delta x}}\)

Es wird also nur die Abhängigkeit der Funktion in \(x\mathrm{-Richtung}\) betrachtet.

Da die Funktion \(F(x,\ y,\ \omega)\) als Produkt der Funktionen \(g(x,\ y,\ \omega)=\e^{-xy}\) und \(h(x,\ y,\ \omega) = sin(\omega \cdot x)\) aufgefasst werden kann, muss die Produktregel angewandt werden:

\(F'=g' \cdot h + g \cdot h'\)

Um die partielle Ableitung zu bilden, muss außerdem berücksichtigt werden, dass es sich bei \(g(x,\ y,\ \omega)\) und \(h(x,\ y,\ \omega)\) um Verkettungen von Funktionen handelt. Die partiellen Ableitungen ergeben somit:

\(\frac{\partial g(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{\e^{-y\cdot x}}_{\textit{Ableitung au\ss en}}\cdot \underbrace{ \left(\, -y\right)}_{\textit{Ableitung innen}}\) und

\(\frac{\partial h(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{cos(\omega\cdot x)}_{\textit{Ableitung au\ss en}} \cdot \underbrace{\omega}_{\textit{Ableitung innen}}\)

Somit ergibt sich

\(g' \cdot h=y\cdot \e^{-xy}\ \cdot \ sin(\omega x)\)

und in analoger Weise

\(g\cdot h'=- \e^{-xy}\cdot \omega\cdot cos({\omega x})\)

Das kann man noch schön zusammen fassen zu

\(\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\, \left[\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)\right] \)

Für die erste Ableitung nach \(x\): Hier wird einmal die ganze Funktion nach \(x\) und die anderen Variablen (in diesem Fall \(y\)) als Konstanten behandelt.

\(\frac{\partial f}{\partial x}=y^2+20x^4y+16\)

Für die zweite Ableitung nach \(x\): Hier wird das Ergebnis (1. Ableitung) wieder nach \(x\) abgeleitet, wobei wiederum \(y=\mathrm{const.}\)

 angenommen wird. Nur mehr im mittleren Term des obigen Ausdrucks für die 1. Ableitung kommt \(x\) als Variable vor, die anderen Terme sind unabhängig von \(x\) und fallen daher weg:

\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=20\cdot 4\cdot x^3y = 80x^3\)

Für die erste Ableitung nach \(y\): Hier wird einmal die ganze Funktion nach \(y\) abgeleitet und \(x = \mathrm{const.}\) angenommen:

\(\frac{\partial f}{\partial y}=2xy+4x^5\)

Für die zweite Ableitung nach \(y\): Hier wird das Ergebnis (1. Ableitung) wieder nach \(y\) abgeleitet. Da der Term \(4x^5\) nicht von \(y\) abhängt, ist dieser konstant und fällt bei Differentiation nach \(y\) weg:

\(\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=2x\)

Der Gradient eines Skalarfeldes \(u(x,y)\) ist definiert als

\(\vec{\nabla} u(x,y)=\left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{array}\right)\)

\(\vec \nabla u(x,y) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\,(2x+y^2) \\ \frac{\partial}{\partial y}\,(2x+y^2) \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2y \end{array}\right)\)

Mit \(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}\), der partiellen Ableitung der Funktion \(u(x,y)\) nach der Variable \(x\). Dabei werden alle anderen auftretenden Variablen, in diesem Fall \(y\), als Konstanten angesehen. Für die partielle (teilweise) Ableitung nach \(x\) ergibt sich:

\(\frac{\partial}{\partial x}u(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \,2x+ \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\,y^2}_{=0\, (y=const.)} = 2\)

Und analog für die partielle Ableitung nach \(y\):

\(\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = \,\dots = 2y\).

Durch Einsetzen in die Formel erhält man 

\(g=8.70048 \frac{m}{s^2}\)

Die Unsicherheit muss aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ermittelt werden.

\(\Delta g= \sqrt{\left ( \frac{\partial g}{\partial l} \Delta l \right)^2 + \left ( \frac{\partial g}{\partial T} \Delta T \right )^2 }=\)

\(=\sqrt{\left ( 4 \pi^2 \frac{1}{T^2} \Delta l \right )^2+ \left ( -2 \cdot 4 \pi^2 \frac{l}{T^3} \Delta T \right )^2}=\)

\(=4 \pi^2 \sqrt{\left ( \frac{\Delta l}{T^2} \right )^2 + \left ( -2 \cdot \frac{l \cdot \Delta T}{T^3} \right )^2}=\)

\(=0.2 \, \frac{m}{s^2}\)