Potential \( \phi \) der Ladung des Protons bei \( r=r_0 (q=+e)\):

\(\phi = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r_0}= \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{e}{r_0} = \frac{(8,99\cdot 10^{9})\cdot (1.60 \cdot 10^{-19})}{0.529 \cdot 10^{-10}}= 27,2 V\)

\(E_{el} = q_0 \phi = (-e)(27,2 V) = -27,2 eV\)

1. Elektrisches Potential

\(\phi = \frac{E_{el}}{q}\)

Das Coulomb – Potential

\(\phi = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q}{r}\) \((\phi = 0 \ \ bei \ \ r = \infty)\)

2. Maßeinheiten

Das SI- Einheit des Potentials und der Potentialdifferenz ist das Volt (V)

\(1 V = 1 J/C\)

Elektrisches Feld

\(1 N/C = 1V/m\)

Elektronenvolt

\(1 eV = 1,60 \cdot 10^{-19} C \cdot V = 1,60 \cdot 10^{-19} J\)

\(\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \frac{As}{Vm}\) ... elektrische Feldkonstante

\(e = 1,602177 \cdot 10^{-19} C\) ... Elementarladung

Das Potential einer einzelnen Punktladung Q im Abstand r von ihr berechnet sich zu

\(\phi = \frac{Q}{(4\pi\epsilon_0r)}\).

Das von mehreren Ladungen erzeugte resutierende Potenial an einem beliebigen Ort P ergibt sich durch Addition \(r_i\) von P unabhängig voneinander erzeugt werden.

\(\phi= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^3\frac{Q_i}{r_{1i}}\)

In Bezug auf den Eckpunkt \(P_1\) ist also

\(\phi_1 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^3\frac{Q_i}{r_{1i}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{a\sqrt{2}} + \frac{Q_3}{a}).\)

\(\phi_1 = 46,5 \ \ V\)

In Bezug auf den Mittelpunkt P_2 ist also

\(\phi_2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^3\frac{Q_i}{r_{2i}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{a\sqrt{2}/2} (Q_1 + Q_2 + Q_3)\)

\(\phi_2 = 50,9 \ \ V\)

Die Ladungen \(Q_i \) sind vorzeichenbehaftet einzusetzen.

Die Spannung U zwischen \(P_1\)  und \(P_2\)  ist folglich gleich der Potentialdifferenz 

\(U = \Delta\phi = \phi_2-\phi_1= 4,4 \ \ V\)

1. Elektrisches Potential

Das Potential eines Punktladungssystems

\(\Phi = \sum_{i} \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_i}{r_i}\), \(\left(\phi = 0 \ \ bei \ \ r_i = \infty, i = 1,2,...\right)\)

Die Poisson-Gleichung lautet

\(\bigtriangleup \Phi(\vec{r}) = -\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon}\)

Mit dem elektrischen Potential \(\Phi\), der Ladungsdichte \(\rho\) und der Permittivität \(\epsilon\)

Die Laplace-Gleichung lautet

\(\bigtriangleup \Phi(\vec{r}) = 0\)

\(\bigtriangleup\) ist hier der Laplace-Operator, \(\Phi\) das elektrische Potential.

Ist der Rand eines Gebiets aus einem leitenden Material, dann ist der Rand im statischen Fall eine Äquipotentialfläche und das Potential auf dem Rand überall gleich und konstant mit \(\Phi(\vec{r}) = \Phi_0\).

Im Inneren des Gebiets hat die Gleichung ebenfalls die eindeutige Lösung \(\Phi(\vec{r}) = \Phi_0\), das Potential ist konstant, es gibt keine Potentialdifferenz und somit ist das elektrische Feld im Inneren gleich null, ganz egal welches Feld außen herrscht. Das ist das Prinzip eines Faradayschen Käfigs.

Die Poisson-Gleichung lautet

\(\bigtriangleup \Phi(\vec{r}) = -\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon}\)

Mit dem Potential \(\Phi\), der Ladungsdichte \(\rho\) und der Permittivität \(\epsilon\)

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung hat die Poisson-Gleichung die Lösung

\(\Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon} \iiint \frac{\rho(\vec{r'}) d^3r'}{|\vec{r} - \vec{r'}|}\)

Daraus folgt das elektrische Feld zu

\(\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla\Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon} \iiint \frac{\vec{r} - \vec{r'}}{|\vec{r} - \vec{r'}|^3}\rho(\vec{r'}) d^3r'\)

Die Kraft \(\vec F\), die im elektrischen Feld \(\vec E\) auf ein Teilchen wirkt, ist gegeben durch

\(\vec F = q \vec E\)

Das Feld ist gegeben durch das Potential \(\phi\) durch

\(\vec E = -\vec\nabla\phi\)

Es gilt also, den Gradienten von \(\phi\) zu berechnen, um

\(\vec F = -q\cdot\vec\nabla\phi = -q \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ 0 \end{array} \right)\)

zu erhalten

Die Spannung ist das Integral von \(E\) von Punkt \(R_1\) nach \(R_2\):

\(U = \int_{R_1}^{R_2} E(r)dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{a}{r}dr = a\cdot (ln(R_2) - ln(R_1))\)

Die Spannung beträgt also

\(U = a\cdot ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\)

Betrachtet man zwei Zylindermäntel mit Radien \(R_1\) und \(R_2\), deren Zylinderachsen entlang der z-Achse verlaufen, so haben wir es mit einem Zylinderkondensator zu tun.

\(a\) ist in diesem Fall \(\frac{q}{2\pi l \eps\), mit der im Kondensator gespeicherten Ladung \(q\), der Permittivität \(\eps\) und der Länge der Zylindermäntel \(l\).

Der Ausdruck für die Kraft lautet

\(\vec{F}=-\vec{\nabla}\varphi\).

Unter Ausnützung der Kettenregel erhält man zunächst

\(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}}=\frac{\partial\varphi}{\partial r}\frac{{\partial r}}{\partial x_{i}}\).

Das Bilden der jeweiligen Ableitungen liefert

\(\frac{d}{dr}\frac{e^{-br}}{r}=-\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{b}{r}\right)e^{-br}\)

beziehungsweise

\(\frac{{\partial r}}{\partial x_{i}}=\frac{x_{i}}{r}\).

Somit folgt

\(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}}=-\frac{a(1+br)e^{-br}}{r^{2}}\cdot\frac{x_{i}}{r}\)

und daher

\(\vec{F}=\frac{a(1+br)e^{-br}}{r^{2}}\vec{e_{r}}\).

Unter Ausnützung der Kettenregel erhält man zunächst

\(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}}=\frac{\partial\varphi}{\partial r}\frac{{\partial r}}{\partial x_{i}}\)

und daher

\(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}}=\frac{\partial\varphi}{\partial r}\frac{{\partial r}}{\partial x_{i}}\)

Das Bilden der jeweiligen Ableitungen liefert

\(\frac{d}{dr}\frac{e^{-br}}{r}=-\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{b}{r}\right)e^{-br}\)

beziehungsweise

\(\frac{{\partial r}}{\partial x_{i}}=\frac{x_{i}}{r}\).

Somit folgt

\(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}}=-\frac{a(1+br)e^{-br}}{r^{2}}\cdot\frac{x_{i}}{r}\).

Erneutes Ableiten liefert

\(\text{\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{i}^{2}}}=-ae^{-br}\left[\frac{1+br}{r^{3}}+\frac{bx_{i}x_{i}}{r^{4}}-(1+br)\left(\frac{3x_{i}x_{i}}{r^{5}}+\frac{bx_{i}x_{i}}{r^{4}}\right)\right]\).