aus

\(Q= CU\)

folgt 

\(U= Q/C=\frac{11 \cdot 10^{-9} C}{200 \cdot 10^{-12} F}= 2,2 \cdot 10^{-8} = 55 \ \ V\)

und

\(E = U/d = \frac{55V}{ 0,02 m} = 2750 V/m = 2,8 kV/m\)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2.Elektrisches Feld zwischen den Platten

\(E = \frac{U}{d}\)

Es ist 

\(C_2/C_1 = d_1/d_2\)

\(C_2 = (d_1/d_2) C_1\)

\(U_2=Q/C_2\)

und

\(E_2 = U_2/d_2 = E_1\)

Die Feldstärke bleibt also bei konstanter Aufladung des Kondensators konstant.

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Die Kapazität eines leeren Plattenkondensators

\(C= \frac{\epsilon_0A}{d}\)

mit

A..Plattenfläche

\(\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} C^2/Nm^2\) ... Dielektiskonstante

d ... Abstand der beiden Kondensatorplatten

3. Elektrisches Feld zwischen den Platten

\(E = \frac{U}{d}\)

4. Es gilt

\(C_2/C_1 = d_1/d_2\)

\(C = \frac{\epsilon_0A}{d} = \frac{(8.,85 \cdot 10^{-12} C^2/Nm^2)\cdot (0,01m)}{0,001 m}=89 pF\)

\(A = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01\)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Die Kapazität eines leeren Plattenkondensators

\(C= \frac{\epsilon_0A}{d}\)

mit

\(A\)..Plattenfläche

\(\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} C^2/Nm^2\) ... Dielektiskonstante

\(d\)... Abstand der beiden Kondensatorplatten

\(q = CU = 89 pF \cdot 12 V = 1,1 nC\)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Die Kapazität eines leeren Plattenkondensators

\(C= \frac{\epsilon_0A}{d}\)

mit

A..Plattenfläche

\(\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} C^2/Nm^2\) ... Dielektiskonstante

d ... Abstand der beiden Kondensatorplatten

Die Kapazität eines Körpers, der durch die Ladung Q auf die Spannung U aufgeladen wird, ist

\(C = \frac{q}{U}\)

Dabei st U in unserem Fall die Potentialdifferenz zwischen der Kugeloberfläche, dem Sitz der Ladung, und Unendlich:

\(U = \phi(r)-\phi(\infty)\)

mit

\(\phi(r) = \frac{Q}{(4\pi \epsilon_0 r)}\)

und

\(\phi(\infty) = 0\)

Es ist also

\(U = \frac{Q}{(4\pi \epsilon_0 r)} = \frac{Q}{C} \)

und somit die Kapazität der Kugel

\(C = 4\pi \epsilon_0 r = 4 \pi \cdot (8,85 \cdot 10^{-12}) \cdot ( 0,05) = 5,56 \cdot 10^{-12} \ \ F = 5,56 \ \ pF. \)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Elektrisches Potential

Das Coulomb – Potential

\(\phi = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q}{r}\)

3. Die Potentialdifferenz

 Die Potentialdifferenz \(\phi_b - \phi_a \) ist als das Negative der Arbeit pro Ladungseinheit definiert, die von dem elektrischen Feld verrichtet wird, wenn sich eine Probeladung von einem Punkt a zu einem Punkt b bewegt:

\(\sigma = \frac{CU}{4\pi R^2} = 1,77 \cdot 10^(-6) C/m^2\)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Flächenladungsdichte auf der Kugeloberfläche A beträgt

\(\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{CU}{4\pi R^2} = \frac{\epsilon_0 U}{R}\)

a)    An beiden Kondensatoren liegt die gleiche Spannung U, daher ist

\(Q_1 =C_1U= 24 \ \ nC\)

und

\(Q_2=C_2U = 72\ \ nC \).

Somit ist die Gesamtladung der Parallelschaltung

\(Q = Q_1+Q_2 = 24 \ \ nC+ 72\ \ nC = 96 \ \ nC\)

b) 

\(C_1 = \frac{Q_1}{U}\)

\(C_2 = \frac{Q_2}{U}\)

\(C= C_1+C_2 =800 pF\)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Ersatzkapazität

Parallelschaltung von Kondensatoren

\(C = C_1 + C_2 + C_3 + ...\)

Reihenschaltung von Kondensatoren

\(\frac{1}{C}= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + ...\)

a)    Die Gesamtkapazität C der Reihenschaltung berechnet sich nach

\(\frac{1}{C}= \frac{1}{C_1} +\frac{1}{C_2} = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\)

b)   Es ist Q = CU. Die Ladung ist also auf jedem Kondensator gleich; denn die „inneren“ Platten laden sich durch Influenz auf, so dass beide Kondensatoren jeweils die gleiche Ladung tragen.

c)    An den Kondensatoren liegen die Spannungen

\(U_1 = Q/C_1 \)

und

\(U_2 = Q/C_2.\)

1. Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.

Definition der Kapazität:

\(C = \frac{q}{U}\)

\(q\) ist die Gesamtladung des Leiters, \(U \) die Spannung des Leiters

2. Ersatzkapazität

Parallelschaltung von Kondensatoren

\(C = C_1 + C_2 + C_3 + ...\)

Reihenschaltung von Kondensatoren

\(\frac{1}{C}= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + ...\)

Die elektrische Feldenergie in einem Kondensator ist gegeben durch

\(E_{el} = \frac{CU^2}{2}\)

Die Kapazität eines Zylinderkondensators ist gegeben durch

\(C = 2\pi \epsilon \cdot \frac{l}{ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\)

Die Kapazität ist gegeben durch

\(C = \frac{Q}{U}\)

mit der Ladung \(Q\) und der Spannung \(U\).

Die Spannung ist gleich dem Wegintegral des elektrischen Feldes \(E\) von der inneren zur äußeren Kugelfläche. Das Feld kann gemäß des Coulombschen Gesetzes beschrieben werden:

\(U = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr =\int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4\pi\vareps_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi\vareps_0} \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\)

Oben eingesetzt erhalten wir

\(C = 4\pi\vareps_0 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)^{-1}\)

mit der elektrischen Feldkonstante \(\vareps_0 = 8,85\cdot10^{-12}\frac{As}{Vm}\)

Die Kapazität eines Plattenkondensators ist gegeben durch:

\(C=\epsilon_0\cdot \,\frac{A}{d}\)

mit der Fläche \(A\), dem Abstand \(d\) und der Elektrischen Feldkonstante \(\epsilon_0\), der Dielektrizitätszahl des Vakuums (dort ist die relative Dielektrizitätszahl \(\epsilon_r=1\))

\(C=\epsilon_0\cdot \frac{10\, cm^2}{10\mu m}= \epsilon_0\cdot \frac{10 \, \cdot\, (0,01\,m)^2}{10\cdot 10^{-6}\,m}\) \(=8,9\,\cdot\, 10^{-12}\, \frac{F}{m}\cdot \frac{10^{-3}\, m^2}{1\cdot 10^{-5}\,m}\)

\(C=8,9 \cdot 10^{-10}\, F\)

\(C=890\,pF\)

Zunächst werden die Kondensatoren in Reihe geschalten. Dabei teilt sich die Gesamtspannung an den Kondensatoren bei Reihenschaltung auf, also:

\(U_{ges}=U_1 + U_2 = 24\,V\)

Außerdem gilt, dass die Ladungen an den Kondensatoren gleich sein muss:

\(Q_1=Q_2=Q\)

Mit dem Zusammenhang

\(U=\frac{Q}{C}\)

können nun die Teilspannungen ermittelt werden. Einsetzen der Kapazitäten ergibt:

\(U_{ges}=\underbrace{\frac{Q}{1\,\mu F}}_{U_1}+\underbrace{\frac{Q}{3\,\mu F}}_{U_2}=24\,V\)

Man sieht also, dass \(U_1 = 3\cdot U_2\) gelten muss. Das ergibt also

\(U_{ges}= 24\,V=3\cdot U_2 + U_2 \quad\Rightarrow\quad U_2=6\, V \)

und \(U_1=3\cdot U_2=18\,V\)

Damit lassen sich die Ladungen bestimmen:

\(Q_1=U_1\cdot C_1=18\, V\cdot 1\, \mu F\)

\(Q_2=U_2\cdot C_2=6\, V\cdot 3\, \mu F\)

Und man sieht, dass auch \(Q_1=Q_2\) erfüllt ist.

Nun werden die Kondensatoren parallel geschalten.

Die Gesamtkapazität bei Parallelschaltung ist die Summe der einzelnen Kapazitäten:

\(C=C_1+C_2 =4\,\mu F\)

Die Gesamtladung bei gleichpoliger Parallelschaltung ist gleich der Summe der Teilladungen, also  \(Q_{ges}=2Q\).

Somit ist die Gesamtspannung \(U_{ges}=\frac{2Q}{C}=\frac{2\cdot 18\,V\cdot 1\,\mu F}{4\,\mu F} = 9\, V\).

Bei gegenpoliger Parallelschaltung kompensieren sich die Ladungen, es ist \(Q_{ges,\ \mathrm{entgegen}}=Q_1 - Q_2=0\, C\).

Somit wird \(U_{\mathrm{entgegen}}=0\, V\).

Für die Ladungen an den Kondensatoren gilt:

\(Q_1=C_1\cdot U_0\) und \(Q_2=C_2\cdot U_0\) (wobei \(U_1=U_2=U_0\) benutzt wurde).

Bei Parallelschaltung werden die Ladungen der einzelnen Kondensatoren addiert. Da die Kondensatoren aber entgegengesetzt gepolt werden, entspricht die resultierende Ladung der Differenz (bzw. deren Betrag) der beiden Ladungen.

\(Q=\left| Q_2-Q_1\right| =\left(C_2-C_1\right)\cdot U_0=330*10^{-6}\,C\)

Bei Parallelschaltung von Kondensatoren werden weiters die Kapazitäten addiert:

\(C=C_1+C_2 = 5\cdot 10^{-6}\ F\)

Damit lässt sich schließlich die resultierende Spannung berechnen:

\(U=\frac{Q}{C}=\frac{330\cdot 10^{-6}\, C}{5\cdot 10^{-6}\, F}=\frac{330}{5}\,\frac{C}{F}=66\,V\)

Die Kapazität ist allgemein definiert als Ladungsmenge pro Spannung:

\(C=\frac{Q}{U}\)

Für den Plattenkondensator mit zwei planparallelen Platten der Fläche \(A\) und dem Abstand \(d\) ergibt sich speziell (Herleitung siehe Vorlesungsunterlagen o.a.):

\(C=\epsilon\,\cdot\, \frac{A}{d}\)

Dabei bezeichnet \(\epsilon=\epsilon_0 \cdot \epsilon_r\) die Permittivität (oder auch dielektrische Leitfähigkeit). \(\epsilon_0\) ist die elektrische Feldkonstante (auch Permittivität des Vakuums) und \(\epsilon_r\) die materialabhängige relative Permittivität.