a)

\(F = q v (-B \sin \theta) = - (1,6\cdot 10^{-19} C) \cdot (10 \cdot 10^6 m/s) = 9,0 \cdot 10^{-17} N\)

b)

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = - 1,6 \cdot 10^{-19} \left( \begin{pmatrix}0\\ 10^7\\ 0\end{pmatrix}\ \ m/s \times\begin{pmatrix}0\\ 10 \cdot 10^6 \\ 10 \cdot 10^6 \end{pmatrix}\ \ T\right) =\)\( (- 9,0 \cdot 10^{-17} N) \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N\)

\(\vec{v} = v_y \hat{\vec{y}}\)

\(\vec{B} = B_y \hat{\vec{y}} + B_z \hat{\vec{z}}\)

\({\vec{y}}\)...Einheitsvektor in y Richtung

\({\vec{z}}\)...Einheitsvektor in z Richtung

\(F = q (v x B) = \)\(q (v_y \hat{\vec{y}}) \times (B_y \hat{\vec{y}} + B_z \hat{\vec{z}}) = q v_y B_y (\hat{\vec{\vec{y}}} \times \hat{\vec{y}}) + q v_y B_z (\hat{\vec{y}} \times \hat{\vec{z}}) = q v_y B_z \hat{\ve{x}}\)\(= ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N\)

\({\vec{x}} \)...Einheitsvektor in x Richtung

1. Kreuzprodukt

\(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\)

2. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

3. Lorenzkraft

Bewegt sich eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft:

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\)

der Betrag der Lorenzkraft

\(|{\vec{v} \times \vec{B}| = |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

\(|\vec{F} |= q |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

4.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Die magnetische Kraft zeigt in die Richtung von \((\vec{L} \times \vec{B})\), diese ist die positive z-Richtung.

Die magnetische Kraft ist gegeben durch

\( |\vec{F}| =| I (\vec{L} \times \vec{B})| = I |L| |B| \sin(30) = (5 A) (0,005 m) (0,03 T) (\sin(30)) = 3,75 \cdot 10^{-5} \hat{\vec{z}} N \)
 

\(\hat{\vec{z}}\)...Einheitsvektor in z-Richtung

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiterabschnitt:

\(\vec{F}= I (\vec{L}\times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(\vec{L}\) ... Länge des Leiterabschnittes

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

der Betrag

 \(|{\vec{L} \times \vec{B}| = |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

\(|\vec{F}| = I |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(|\vec{F}|= |I (\vec{L} \times \vec{B})|= I |L| |B| \sin(30)(3,8 A) ((2 \hat{x} + 5 \hat{y}) cm) x (2,4 \hat{x} T) = - (0,45 \hat{z}) N\)

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiterabschnitt:

\(\vec{F}= I (\vec{L}\times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(\vec{L}\) ... Länge des Leiterabschnittes

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

der Betrag

 \(|{\vec{L} \times \vec{B}| = |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

\(|\vec{F}| = I |\vec{L}| |\vec{B}|\sin\theta \)

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(d\vec{L} = -dL \sin \theta \hat{\vec{x}} + dL \cos \theta \hat{\vec{y}}\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})= I (-r \sin \theta \hat{\vec{x}} + r \cos \theta \hat{\vec{y}}) \times B \hat{\vec{z}} =\)\( IrB ( \sin \theta d\theta \hat{\vec{y}} + \cos \theta d\theta \hat{\vec{x}})\)

Integriere nun jede Komponente von \(dF\) von \(\theta = 0\) bis \(\theta = \pi\)

\( F = \int dF = IrB \hat{\vec{x}} \int_0{^\pi} cos \theta d\theta + IrB \hat{\vec{y}} \int_0{^\pi} sin \theta d\theta = IrB \hat{\vec{x}} \cdot (0) + IrB \hat{\vec{y}} \cdot (2) = 2IrB\hat{\vec{y}}\)

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf ein Stromelement

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(d\vec{L}\) ... Länge des Stromelement

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(v = \frac{r |qB|}{m} = \frac{(0,42 m) (1,6 \cdot 10^{-19} C) (0,600 T)}{2,48 \dot 10^{-27}} = 1,62 \cdot 10^7 m/s\)

1. Geschwindigkeit berechnet man mit dem zweiten Newton’schen Axiom

\(F = m a \rightarrow v |qB| = \frac{mv^2}{r}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(2\pi r = v T\)

also

\(T = \frac{2\pi r }{v} = \frac{2 \pi \cdot (0,42 m)}{ 1,62 \cdot 10^7 m/s} = 1,54 \cdot 10^{-7} s = 154 ns\)

1. Bewegung von Punktladungen

Ein Teilchen mit der Masse m und der Ladung q dass sich mit der Geschwindigkeit v in einer Ebene senkrecht zur Richtung eines homogenen Magnetfelds bewegt, beschreibt eine Kreisbahn. Periode und Frequenz der Kreisbewegung hängen weder vom Radius der Bahn noch von der Geschwindigkeit des Teilchens ab.

Bewegung auf Kreisbahn

\(\frac{q}{m} v B = \frac{v^2}{r}\)

Zyklotronperiode \(T = \frac{2 \pi m}{|q\vec{B}|}\)

Zyklotronfrequenz \(f = \frac{1}{T} = \frac{|q\vec{B}|}{2 \pi m}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(F = ma_n\)

\(v |qB| = m\frac{v^2}{r}\)

\(\omega r |qB| = m\frac{\omega^2r^2}{r}\)

\(\omega = \frac{|qB|}{m} = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} C) \cdot (0,340 T)}{1,67 \cdot 10^{-27} kg} = 3,26 \cdot 10^7 rad/s\)

\(f = \frac{\omega}{2 \pi} = 5,2 \cdot 10^6 Hz\)

1. Das zweite Newton’schen Axiom

\(F = m a \rightarrow v |qB| = \frac{mv^2}{r}\)

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\)

2. Zentripetalbeschleunigung

\(A_n = -a_{ZP} = v^2/r\)

mit

\(\omega = 2 \pi f = \frac{|qB|}{m}\)

3. Tipp

Wende das Zweite Newtonsche Axiom an mit \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\). Berechne dann mithilfe der beziehung \(v = r\omega\) die Frequenz und die Geschwindigkeit

\( E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \omega^2 r^2 = \frac{1}{2} (1,67 \cdot 10^{-27} kg}) (3,26 \cdot 10^7 rad/s)^2 (0,7)^2 = 4,34 \cdot 10^{-13} J\)

\(E_{kin} = 4,34 \cdot 10^{-13} J \cdot \frac{1 eV}{1,60 \cdot 10^{-19} J} = 271 keV\)

1. Kinetische Energie

\(E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2\)

2. Zentripetalbeschleunigung

\(A_n = -a_{ZP} = v^2/r\)

mit

\(\omega = 2 \pi f = \frac{|qB|}{m}\)

3. Maßeinheiten

Elektronenvolt

Das Elektronenvolt (eV) ist die Änderung der elektrischen Energie eines Teilchens mit der Laudung e, das sich einer Potentialdifferenz \Delta \(\phi = \phi_b - \phi_a = 1 \ \ Volt\) von a nach b bewegt:

\(1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} CV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = (- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s) \times (0,45 \hat{\vec{y}} T )] =\)\((- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times (0,45 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} T )] = -0,00726 \hat{\vec{z}} N = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\)

1. Kreuzprodukt

\(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\)

2. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\)

3. Lorenzkraft

Bewegt sich eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft:

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\)

der Betrag der Lorenzkraft

\(|{\vec{v} \times \vec{B}| = |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

\(|\vec{F} |= q |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

4.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19}\)

\(E_{kin} = 5 keV = 8,01 \cdot 10^{-16} J\)

\(v = \sqrt{\frac{2E_{kin}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot (8,01 \cdot 10^{-16} J)}{ 1,67 \cdot 10^{-27}}} = 9,7\cdot 10^5 m/s\)

\(r= \frac{mv}{|qB|} = \frac{(1,67 \cdot 10^{-27}) (9,7\cdot 10^5 m/s)}{|(-1,602 \cdot 10^{-19} * 0,487 T)} = 0,02 m = 2 mm\)

1. Geschwindigkeit berechnet man mit dem zweiten Newton’schen Axiom

\(F = m a \rightarrow v |qB| = \frac{mv^2}{r}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

3. Maßeinheiten

\(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\)... Elementarladung

\(1,67 \cdot 10^{-27}\)... Masse des Elektrons

\( 1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

\(\omega = \frac{|qB|}{m} = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} C) \cdot (0,487 T)}{1,67 \cdot 10^{-27} kg} = 4,66 \cdot 10^7 rad/s\)

\(f = \frac{\omega}{2 \pi} = 7,4 \cdot 10^6 Hz = 7,4 MHz\)

\(T = \frac{1}{f} = \frac{1}{7,4 \cdot 10^6 Hz} = 3,4 10^{-9}\)

1. Bewegung von Punktladungen

Ein Teilchen mit der Masse m und der Ladung q dass sich mit der Geschwindigkeit v in einer Ebene senkrecht zur Richtung eines homogenen Magnetfelds bewegt, beschreibt eine Kreisbahn. Periode und Frequenz der Kreisbewegung hängen weder vom Radius der Bahn noch von der Geschwindigkeit des Teilchens ab.

Bewegung auf Kreisbahn

\(\frac{q}{m} v B = \frac{v^2}{r}\)

Zyklotronperiode \(T = \frac{2 \pi m}{|q\vec{B}|}\)

Zyklotronfrequenz \(f = \frac{1}{T} = \frac{|q\vec{B}|}{2 \pi m}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

3. Maßeinheiten

\(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\)... Elementarladung

\(1,67 \cdot 10^{-27}\)... Masse des Elektrons

\( 1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Mit

\(\vec{v} =v\hat{\vec{x}}\)

Berechnung von r und |r|

\(\vec{r} = (4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) m\)

\(|\vec{r}| = \sqrt{4^2+3^2} m = 5m\)

\(\hat{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{|r|} = \frac{(4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) m}{5 m} = 0,8 \hat{\vec{x}} - 0,6 \hat{\vec{y}}\)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2} = \)\(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3,5 \cdot 10^{-6} (4 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}} \times (4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) ) }{5^2 } \ \ \frac{N}{A^2} \ \ \frac{C m/s^2}{m^2} \) \(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(12000 \hat{\vec{z}}) ) }{5^2} \ \ \frac{N}{Am} =3,36 \cdot 10^{-11} \hat{\vec{z}} T\)

1. Das Magnetfeld einer bewegten Ladung

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(\hat{\vec{r}}\)ist der Einheitsvektor, der von der Laudung q zum Punkt P des Felds zeigt; q bewegt sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}, der Proportionalitätsfaktor \mu_0 heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums):

\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} Tm/A = 4 \pi \cdot 10^{-7} N/A^2\)

Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz)  

\(d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I (d\vec{L} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Im Inneren einer dicht gewickelten Ringspule

\(\vec{B} = \frac{\mu_0}{2 \pi}\frac{nI}{r}\)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Mit

\(\vec{v} =v\hat{\vec{x}}\)

Berechnung von r und |r|

\(\vec{r} = (-5 \hat{\vec{x}} + 5 \hat{\vec{y}}) m\)

\(|\vec{r}| = \sqrt{5^2+5^2} m = 5\sqrt{2}m\)

\(\hat{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{|r|} = \frac{(-5 \hat{\vec{x}} +5 \hat{\vec{y}}) m}{5 \sqrt{2}m} \)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2} = \)\(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3,5 \cdot 10^{-6} (2,5 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}} \times (-5 \hat{\vec{x}} +5 \hat{\vec{y}}) }{(5\sqrt{2})^2 } \ \ \frac{N}{A^2} \ \ \frac{C m/s^2}{m^2} \) \(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(12500 \hat{\vec{z}}) ) }{(5\sqrt{2})^2} \ \ \frac{N}{Am} =0,000025 \hat{\vec{z}} T = 25 \hat{\vec{z}} \mu T\)

1. Das Magnetfeld einer bewegten Ladung

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(\hat{\vec{r}}\)ist der Einheitsvektor, der von der Laudung q zum Punkt P des Felds zeigt; q bewegt sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}, der Proportionalitätsfaktor \mu_0 heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums):

\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} Tm/A = 4 \pi \cdot 10^{-7} N/A^2\)

Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz)  

\(d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I (d\vec{L} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(v_d = \frac{L}{\Delta t}\)

mit

\(L = n2\pi r_{LS}= 5 \cdot 2 \pi (0,06 m) = 1,8 m\)

und

\(\Delta t = \frac{L}{v_d} = \frac{1,8 m}{1,4 \cdot 10^{-4} m/s } = 1,3 \cdot 10^4 s\)

\(q = I \Delta t = (6 A) \cdot (1,3 \cdot 10^4 s) = 7,8 \cdot 10^5 C\)

1. Elektrischer Strom

Der elektrische Strom ist definiert als die Rate des Flusses elektrischer Ladungen durch eine Querschnittsfläche, wobei \Delta t gegen null geht:

\(I = \frac{\Delta q}{\Delta t}=q(n/V)A v_d \)

Mit

\(q = -e\);

\((n/V)\)...Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen

\(A\)...Querschnittsfläche

\(v_d\)...Driftgeschwindigkeit.

\(I\)...Strom

\(\Delta q \)... gesamte freie Ladung

\(\Delta t\)...Zeit

2. Bewegte Ladung ergibt sich aus

\(q = I \Delta t\)

\(\rightarrow v_d = \frac{L}{\Delta t}\)

\(L\)...Länge des Leiters

mit

\(L = n2\pi r_{LS}\)

3. Driftgeschwindigkeit

Ein elektrischer Strom I in einem Leiter kommt dadurch zustande, dass negative Ladungsträger (Elektronen), ständig beschleunigt von einem elektrischen Feld im Leiter und wieder abgebremst durch Zusammenstöße mit Gitterionen, langsam den Leiter entlang driften. Typische Driftgeschwindigkeiten \(v_d\) von Elektronen in Metalldrähten liegen bei wenigen Millimetern pro Sekunde. Für Ladungsträger, die sich in Positiver Richtung bewegen gilt

\(v_d = \frac{I}{Aq(n/v)}\)

Mit \(q = -e\); \((n/V)\) ist die Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen, \(A\) die Querschnittsfläche und \(v_d\) die Driftgeschwindigkeit.

\(B_S = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{1/2 L} (\sin(45) - \sin(-45))\)\( = \frac{1,2 \cdot 10^{-6}}{(4\pi)} \frac{2,5}{(1/2) (0,04 m)} (\sin(45) - \sin(-45)) = 1,7 \cdot 10^{-5} T\)

\(B = 4B_S = 4 \cdot (1,7 \cdot 10^{-5} T) = 6,8 \cdot 10^{-5} T\)

1. Summe der Beträge

Das Magnetfeld im Mittelpunkt der Leiterschleife ist gleich der Summe der Beträge der vier Seitenabschintte.

Annahme: alle vier Felder sind gleich und alle Felder zeigen aus der Papierebene heraus.

2. Magnetfeld eines geraden Leiterabschnitts (siehe Abbildung)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\cos\phi_2 - \cos\phi_1)\)

Mithilfe des Feldstärke einer einzelnen Seite und multipliziert mit 4, ergibt das Gesamtfeld.

\(\vec{B} = \vec{B_L} + \vec{B_R}\)

\(\vec{B} = - 2 |B_L| \cos (\theta \hat{\vec{x}})\)

\(|B_L| = |B_R| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2I}{r}\)

\(r = \sqrt{(3 cm)^2 + (6 cm)^2} = 6,7 cm\)

also

\(|B_L| = |B_R| = (10^{-7} Tm/A) \cdot \frac{2 \cdot (1,7 A)}{0,067 m} = 5,07 \cdot 10^{-6} T\)

\(\cos(\theta) = \frac{6 cm}{r} = \frac{6 cm}{6,7 cm} = 0,894\)

\(\vec{B} = -2 \cdot (5,07 \cdot 10^{-6} T) \cdot (0,894) \hat{\vec{x}} = (- 9,1 \cdot 10^{-6} \hat{\vec{x}} T)\)

1. Magnetisches Feld eines geraden Leiterabschnittes

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\cos\phi_2 - \cos\phi_1)\)

2. Superposition von Magnetfeldern

Magnetfeld in einem Punkt P

\(B (P) = B_L + B_R\)

Annahme: Durch beide Leiter fließt der gleiche Strom, und beide sind gleich weitg vom Punkt P entfernt. Deshalb müssen die Feldstärken |B_L| und |B_R| ebenfalls gleich sind.

Aus dem Energieerhaltungssatz können wir folgern, dass die durch die Spannung verrichtete elektrische Arbeit in die kinetische Energie des Moleküls umgewandelt wird:

\(E_{kin} = W_{el}\)

\(\frac{mv^2}{2} = qU\)

So erhalten wir die Geschwindigkeit des Moleküls

\(v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}\)

Um auf die gewünscht Kreisbahn zu gelangen, muss die Lorentzkraft der Zentripetalkraft dieser Kreisbahn entsprechen:

\(F_L = F_Z\)

\(qvB = \frac{mv^2}{r}\)

Aufgelöst nach der magnetischen Flussdichte \(B\) erhalten wir

\(B = \frac{mv}{qr}\)

Nun kann man die oben erhaltene Geschwindigkeit in den Ausdruck für die magnetische Flussdichte einsetzen und erhält

\(B = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2mU}{q}}\)

Einsetzen der Werte ergibt dann

\(B = 7,31\cdot10^{-1}T\)

Der hier beschrieben Prozess ist die Funktionsweise eines Massenspektrometers.

Wir bezeichnen den Leiterabstand als \(x\). Nun kann nach dem Ampère'schen Kraftgesetz die Kraft \(F\) zwischen den beiden Leitern der Länge \(l=35\ m\) durch folgende Formel beschrieben werden:

\(F=\frac{\mu_0*I^2*l}{2*\pi*x}\)

Somit ergibt sich daraus die Arbeit W:

\(W=\int_{x_1}^{x_2} F(x) dx\)

wobei hier \(x_1=10 \ cm\) und \(x_2=30\ cm\) ist.

Jetzt muss nur noch integriert werden.

\(W=\frac{\mu_0*I^2*l}{2*\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}\)

\(W=\frac{\mu_0*I^2*l}{2*\pi}ln\frac{x_2}{x_1}\)

Einsetzen der Werte liefert mit der magnetischen Feldkonstante \(\mu_0 = 1,2566\ldots \cdot 10^{-6}\ \frac{N}{A^2} \ \approx \ 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{N}{A^2}\) eine Arbeit von etwa \(0,0123 \ J = 12,3\ mJ\)

Die SI-Einheit der magnetischen Feldstärke ist

\(\left[H\right]=\frac{A}{m}\),

also Ampere pro Meter.

Das Gauß'sche Gesetz für Magnetfelder besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte quellenfrei ist. Eine andere Formulierung ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt.

Die quellfreiheit wird mathematisch durch die Divergenz ausgedrückt:

\(\mathrm{div}\vec B=\vec\nabla\cdot \vec B=0\)