Diversitas 2018 Preis Gefördert vom MA23 Wien

Fragenliste von Vektorrechnung im 3-dim Raum

Gegeben seien die 4 Vektoren \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -7\\ -3\\ 3 \end{array} \right), \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 3\\ 5 \end{array} \right), \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 3\\ 4\\ -2 \end{array} \right) und \vec{d} = \left( \begin{array}{c} 1\\ -6\\ 7 \end{array} \right). Welcher dieser Vektoren hat den größten Betrag?

Nr. 4067
Lösungsweg

Gegeben sind die beiden Vektoren \vec{v} = \left( \begin{array}{c} -6\\ 7\\ 2 \end{array} \right) und \vec{w} = \left( \begin{array}{c} 7\\ -8\\ 3 \end{array} \right). Welcher der folgenden Vektoren hat den größten Betrag?

Nr. 4068
Lösungsweg

Ein Parallelogramm wird von den Längenvektoren \vec{v} = \left( \begin{array}{c} 6\\ 9\\ 3 \end{array} \right)m und \vec{w} = \left( \begin{array}{c} 3\\ -7\\ 6 \end{array} \right)m aufgespannt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Nr. 4069
Lösungsweg

Ein Parallelepiped wird aufgespannt von den Längenvektoren \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 10\\ 0\\ 0 \end{array} \right)m\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4\\ 4\\ 0 \end{array} \right)m und \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 3\\ 2\\ 7 \end{array} \right)m. Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds.

Nr. 4070
Lösungsweg

Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -5\\ 9\\ 2 \end{array} \right) und \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 8\\ -8\\ -5 \end{array} \right)?

Nr. 4071
Lösungsweg

Welche Bedeutung hat der Gradient eines Skalarfelds?

Nr. 4095
Lösungsweg

Berechnen Sie den Gradienten des Skalarfeldes f = x^2 + 4xy - 2y^3.

Nr. 4096
Lösungsweg

Gegeben sei das Skalarfeld f = 4x - 2yz + 6z^2. Berechnen Sie die größte Steigung des Feldes im Punkt P = (1, 0, 2).

Nr. 4097
Lösungsweg

Gegeben sei das Skalarfeld f = x + y^2z^2. In welche Richtung zeigt der größte Anstieg im Punkt P = (0,0,1)?

Nr. 4098
Lösungsweg

Welche Bedeutung hat die Divergenz eines Vektorfeldes?

Nr. 4099
Lösungsweg

Berechnen Sie die Divergenz des Vektorfelds \vec F = \left( \begin{array}{c} 7x^2 + 9 + 8z^2 \\ 8x^3 - 7 +6z \\ 2z \end{array} \right)

Nr. 4100
Lösungsweg

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfelds \vec F = \left( \begin{array}{c} 7x^2 + 9 + 8z^2 \\ 8x^3 - 7 +6z \\ 2z \end{array} \right)

Nr. 4101
Lösungsweg

Welche der folgenden Aussagen über ein allgemeines Skalarfeld f ist wahr?

Nr. 4102
Lösungsweg

Welche der folgenden Aussagen über ein allgemeines Vektorfeld \vec F = \left( \begin{array}{c} F_x \\ F_y \\ F_z \end{array} \right) ist wahr?

Nr. 4103
Lösungsweg

Gegeben seien die beiden Vektorfelder \vec{F}=\vec{F}(x,y,z) und \vec{G}=\vec{G}(x,y,z). Auf welche Form lässt sich der Ausdruck div(\vec{F}\times\vec{G}) bringen, welcher auch als\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G}) geschrieben werden kann?

Nr. 4156
Lösungsweg

Gegeben seien ein skalares Feld  U=U(x,y,z)  und ein Vektorfeld  \vec{F}=\vec{F}(x,y,z). Auf welche Form lässt sich der Ausdruck rot(U\vec{F}) bringen, welcher auch als \vec{\nabla}\times(U\vec{F}) geschrieben werden kann?

Nr. 4157
Lösungsweg

Sei \vec{F}=\vec{F}(x,y,z) ein allgemeines Vektorfeld. Auf welche Weise lässt sich der Ausdruck  rot(rot \vec{F}), welcher auch als \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}) notiert werden kann, noch schreiben?

Nr. 4158
Lösungsweg

Stimmt die Aussage  \vec{r}(t)\dot{\vec{r}}(t)=\mid\vec{r}(t)\mid\frac{d\mid\vec{r}(t)\mid}{dt}?

Nr. 4165
Lösungsweg

Gegeben sei das Vektorfeld \vec{v}(\vec{r})=\frac{1}{r}(\vec{\omega}\times\vec{r}), wobei gelte \vec{\omega}=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
\omega_{0}
\end{array}\right)mit \omega_{0}=konst. Wie lauten die Werte für Divergenz und Rotation, d.h. für  \vec{\nabla}\vec{v} und \vec{\nabla}\times\vec{v}?

Nr. 4173
Lösungsweg

Bleibt die Länge eines Vektors bei einer Drehung erhalten?

Nr. 4177
Lösungsweg

Zwei Punkte $P_1$ und $P_2$ sind in Kugelkoordinaten gegeben. Berechne den Winkel zwischen den Beiden Ortsvektoren $\vec r_1$ und $\vec r_2$.

 

$$P_1=(r_1=15,\ \theta_1=40^\circ,\ \varphi_1=30^\circ)$$

$$P_2=(r_2=20,\ \theta_2=90^\circ,\ \varphi_2=30^\circ)$$

(Anm.: wie meist üblich bezeichnet \theta den Polarwinkel und \varphi den Azimutwinkel)

Nr. 4384
Lösungsweg

NEWS

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