Diversitas 2018 Preis Gefördert vom MA23 Wien

Fragenliste von Anwendung in der Geometrie

Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P_1, parallel zum Vektor \vec{a}? Welche Punkte gehören zu den Parameterwerten \lambda_1 = 1?

P_1 = (2;1;-4)

\vec{a} = \begin{pmatrix}-2\\0\\1\\\end{pmatrix}

Nr. 2745
Lösungsweg

Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g  durch den Punkt P_1 , parallel zum Vektor \vec{a}? Welche Punkte gehören zu den Parameterwerten \lambda_1 = 2?

P_1 = (1;0;-1)

\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\2\\1\\\end{pmatrix}

Nr. 2746
Lösungsweg

Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P_1, parallel zum Vektor \vec{a}? Welche Punkte gehören zu den Parameterwerten \lambda = -5?

P_1 = (5;1;-2)  

\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}

Nr. 2747
Lösungsweg

Bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P_1 und P_2.

Welcher Punkt ergibt sich für \lambda = -2?

P_1 = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix} P_2 = \begin{pmatrix}-2\\1\\3\\\end{pmatrix}

Nr. 2748
Lösungsweg

Bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P_1 und P_2.

Welcher Punkt ergibt sich für \lambda = -2?

P_1 = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\\end{pmatrix} P_2 = \begin{pmatrix}-1\\1\\-3\\\end{pmatrix}

Nr. 2749
Lösungsweg

Bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P_1 und P_2.

Welcher Punkt ergibt sich für \lambda = -2?

P_1 = \begin{pmatrix}5\\2\\1\\\end{pmatrix}
 P_2 = \begin{pmatrix}-3\\1\\-2\\\end{pmatrix}

Nr. 2750
Lösungsweg

Von einer Geraden g ist der Punkt P_1 = (3,2,1) und der Richtungsvektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}

bekannt. Berechne den Abstand des Punktes Q = (1,1,0) von dieser Geraden.

Nr. 2751
Lösungsweg

Von einer Geraden g ist der Punkt P_1 = (2,-1,3) und der Richtungsvektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}

bekannt. Berechne den Abstand des Punktes Q = (2,1,0) von dieser Geraden.

Nr. 2752
Lösungsweg

Von einer Geraden g ist der Punkt P_1 = (2,1,1) und der Richtungsvektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}

bekannt. Berechne den Abstand des Punktes Q = (-4,1,0) von dieser Geraden.

Nr. 2753
Lösungsweg

Sei P_1 = (1;2;3) ein Punkt der Geraden g_1 und P_2 = (3;4;1) ein solcher der Geraden g_2.

Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum Vektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}.
Welchen Abstand haben diese beiden Geraden voneinander?

Nr. 2754
Lösungsweg

Sei P_1 = (2;0;1) ein Punkt der Geraden g_1 und P_2 = (1;1;1) ein solcher der Geraden g_2.

Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum VektoR

\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\1\\4\\\end{pmatrix}..
Welchen Abstand haben diese beiden Geraden voneinander?

Nr. 2755
Lösungsweg

Sei P_1 = (5;1;0) ein Punkt der Geraden g_1 und P_2 = (1;3;6) ein solcher der Geraden g_2.

Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum Vektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}.
Welchen Abstand haben diese beiden Geraden voneinander?

Nr. 2756
Lösungsweg

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden g_1 und g_2

g_1 durch P_1 = (2;4;5) und P_2 = (1;-3;2)

g_2 durch P_3 = (2;2;1) und P_4 = (0;-6;4)

Nr. 2757
Lösungsweg

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden g_1 und g_2

g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\\end{pmatrix}
g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}0\\2\\3\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}4\\2\\-3\\\end{pmatrix}

Nr. 2758
Lösungsweg

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden g_1 und g_2

 

g_1 durch P_1 = (2;3;1) mit dem Richtungsvektor \vec{a_1} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}

 

g_2 durch P_2 = (6;0;1) mit dem Richtungsvektor \vec{a_2} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}

Nr. 2759
Lösungsweg

Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden g_1 und g_2

g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix}

 g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\\end{pmatrix} + \lambda_2

\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}

Nr. 2760
Lösungsweg

Gegeben sei ein Vektor mit Fußpunkt bei (-3|-7) und Spitze bei (6|3). In welchen Quadranten befindet er sich (auch nur teilweise)?

Hinweis: Es handelt sich um ein zweiachsiges, kartesisches Koordinatensystem.

Nr. 3095

Gegeben sei die Parameterform einer Ebene:

E: \vec x = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 8 \\ 2  \end{array}\right) + 

s\cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4  \end{array}\right) +
t\cdot \left(\begin{array}{c}  2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)

Welche der folgenden Darstellungen ist eine Normalform dieser Ebene?

Nr. 4105
Lösungsweg

Gegeben sei die Normalform einer Ebene

E: \left[\left(\begin{array}{c} x\\y\\z  \end{array}\right)

-\left(\begin{array}{c} 8\\-2\\5  \end{array}\right)\right] \cdot

\left(\begin{array}{c} 0\\1\\2  \end{array}\right) = 0

Berechnen Sie die Koordinatenform der Ebene.

Nr. 4106
Lösungsweg

Gegeben seien zwei Ebenen

E_1:\qquad 5x-y-5z = 8

und

E_2: \vec r = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5  \end{array}\right) + 

s\cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0  \end{array}\right) +
t\cdot \left(\begin{array}{c}  6 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)

Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Nr. 4107
Lösungsweg

Handelt es sich bei \cos (x) \sin (y) \; dx + \sin (x) \cos (y) \; dy um ein totales Differential?

Nr. 4155
Lösungsweg

Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?

P_1=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0\\4 \end{array}\right) \qquad  P_2=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1\\1 \end{array}\right) \qquad  P_3=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2\\-2 \end{array}\right) \qquad

Nr. 4400
Lösungsweg

Wie groß ist der Winkel, den die beiden Vektoren \vec{x}_1 und \vec{x}_2 miteinander einschließen?

\vec{x}_1=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3\\6 \end{array}\right) \qquad , \qquad\vec{x}_2=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2\\5 \end{array}\right)

Nr. 4401
Lösungsweg

Wie groß ist der Winkel, den die beiden Vektoren \vec{x}_1 und \vec{x}_2 miteinander einschließen?

\vec{x}_1=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 0\\3 \end{array}\right) \qquad ,\qquad \vec{x}_2=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1\\0 \end{array}\right) \qquad

Nr. 4402
Lösungsweg

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