Fragenliste von Vektoren und Skalare

Addiere die Geschwindigkeitsvektoren \(\vec{v}_1=\left(\begin{array} 3,6 \ \frac{m}{s} \\ 1,8 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\) und \(\vec{v}_2=\left(\begin{array} 1,4 \ \frac{m}{s} \\ 2,2 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\), und bestimme den (Absolut-)Betrag des resultierenden Geschwindigkeitsvektors, d.h. die Gesamtgeschwindigkeit \(v\). Nr. 1536
	Resultiernder (Geschwindigkeits-)Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array} 5 \ \frac{m}{s} \\ 4 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\) mit Gesamtgeschwindigkeit \(v=5,0 \ \frac{m}{s}\).
	Resultiernder (Geschwindigkeits-)Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array} 4 \ \frac{m}{s} \\ 5 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\) mit Gesamtgeschwindigkeit \(v=41 \ \frac{m}{s}\).
	Resultiernder (Geschwindigkeits-)Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array} 5 \ \frac{m}{s} \\ 4 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\) mit Gesamtgeschwindigkeit \(v=6,4 \ \frac{m}{s}\).
	Resultiernder (Geschwindigkeits-)Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array} 2,5 \ \frac{m}{s} \\ 2,0 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\) mit Gesamtgeschwindigkeit \(v=3,2 \ \frac{m}{s}\).
Lösungsweg Die Vektoren addieren sich komponentenweise \(\vec{v}= \vec{v}_1+\vec{v}_2=\left(\begin{array} 3,6 \ \frac{m}{s} \\ 1,8 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)+\left(\begin{array} 1,4 \ \frac{m}{s} \\ 2,2 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\) zu \(\vec{v}=\left(\begin{array} 3,6 + 1,4 \ \frac{m}{s} \\ 1,8 +2,2 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)=\left(\begin{array} 5,0 \ \frac{m}{s} \\4,0 \ \frac{m}{s} \end{array}\right)\). Die Gesamtgeschwindigkeit \(v\) ist gegeben durch den Absolutbetrag (die Länge) des resultierenden Vektors \(\vec{v}\) \(v=\|\vec{v}\|=\sqrt{(5,0 \ \frac{m}{s})^2+4,0 \ \frac{m}{s})^2)}=6,4 \ \frac{m}{s}\)

Welche physikalische Bedeutung hat der Betrag eines Geschwindigkeitsvektors? Nr. 1609
	Er gibt die Gesamtgeschwindigkeit an.
	Er gibt die zurückgelegte Wegstrecke an.
	Seine physikalische Bedeutung ist Gegenstand aktueller Forschung.
	Die Bedeutung fällt in den Bereich der Metaphysik.
	Er gibt die geleistete Arbeit an.

Welche physikalische Bedeutung hat die Länge eines Beschleunigungsvektors? Nr. 1610
	Die Länge des Beschleunigungsvektors gibt den Absolutbetrag der Beschleunigung an.
	Sie gibt den Betrag der Geschwindigkeitsänderung pro Sekunde an.
	Die Länge des Beschleunigungsvektors gibt die Änderungsrate der Beschleunigung an.
	Die Länge des Beschleunigungsvektors gibt den Absolutbetrag des Geschwindigkeitsvektors an.

Welche Aussage(n) über Vektoren und Skalare ist/sind richtig? Nr. 2494
	Physikalische Größen können vektoriell oder skalar sein.
	Ein Vektor ist eine ungerichtete Größe, definiert durch einen Absolutbetrag.
	Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, definiert durch einen Absolutbetrag.
	Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, definiert durch eine Richtung und einen Absolutbetrag.
	Skalare Größen werden durch ihren Absolutbetrag und eine Richtung definiert.

Welche Aussage(n) über Vektoren ist/sind richtig? Nr. 2495
	Der Nullvektor hat einen positiven Richtungswert.
	Der Nullvektor ist richtungslos.
	Ein Beispiel für einen Vektor ist die Temperatur.
	Ein Beispiel für einen Vektor ist die Kraft.
	Einheitsvektoren haben eine Länge von 1 und sind richtungslos.

Das Produkt aus einem Vektor und einem Skalar... Nr. 2504
	ergibt einen Vektor.
	ergibt einen Skalar.
	ergibt einen Vektorskalar.
	ist ein sogenanntes Kreuzprodukt.
	ist nicht sinnvoll zu berechnen.

Das Kommutativgesetz für Vektoren besagt, dass: Nr. 2505
	\(c\cdot(\vec{A} + \vec{B}) =c\cdot\vec{B} +c\cdot \vec{A}\)
	\(\vec{A} + \vec{B} =\vec{B} +\vec{A}\)
	\(\vec{A} - \vec{B} = - \vec{B} +\vec{A}\)
	\(\vec{A}+ \vec{B} = \vec{AB}\)
	\(\vec{A}+ (\vec{B} - \vec{C}) = (\vec{A}+ \vec{B}) - \vec{C}\)

Das Assoziativgesetz für Vektoren besagt, dass: Nr. 2506
	\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\vec{B} \cdot \vec{A}\)
	\(\vec{A} + \vec{B} =\vec{B} +\vec{A}\)
	\(\vec{A} - \vec{B} = - \vec{B} +\vec{A}\)
	\(\vec{A}+ \vec{B} = \vec{AB}\)
	\(\vec{A}+ (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A}+ \vec{B}) + \vec{C}\)

Multipliziere den Vektor \(\vec{A}= \left(\begin{array}1\\2\\3\end{array}\right)\) mit dem Skalar \(b =5\)! Nr. 2510
	\(\left(\begin{array}1\\2\\3\end{array}\right) \cdot 5 = \left(\begin{array}5\\10\\15\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}1\\2\\3\end{array}\right) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 \)
	\(\left(\begin{array}1\\2\\3\end{array}\right) + 5 = 6+5=11\)
	\( \left(\begin{array}1\\2\\3\end{array}\right) + 5 = 5+10+15 =30\)
	Ein Vektor und ein Skalar lassen sich nicht multiplizieren.

Was passiert, wenn ich den Vektor \(\vec{A}\) mit dem Skalar \(-1 \) multipliziere? Nr. 2511
	Ich erhalten den Vektor \(-\vec{A}\), der den negativen Betrag von \(\vec{A}\) besitzt .
	Ich erhalten den Vektor \(-\vec{A}\), der die entgegengesetzte Richtung zu \(\vec{A}\) besitzt .
	Ich erhalten den Nullvektor \(\vec{0}\).
	Der Betrag von \(\vec{A}\) wird um den Faktor \(1\) erweitert.
	Nichts.

Was passiert, wenn ich den Vektor \(\vec{A}\) mit dem Skalar -2 multipliziere? Nr. 2542
	Ich erhalten den Vektor \(-\vec{A}\), der den doppelten Betrag von und die entgegengesetzte Richtung zu \(\vec{A}\) besitzt .
	Ich erhalten den Vektor \(-\vec{A}\), den halben negativen Betrag von \(\vec{A}\) besitzt.
	Ich erhalte den Vektor \(\vec{B}\), der den halben Betrag von und die entgegengesetzte Richtung zu \(\vec{A}\) besitzt.
	Ich erhalte den Vektor \(\vec{B}\), der den doppelten Betrag von und die entgegengesetzte Richtung zu \(\vec{A}\) besitzt.
	Ich erhalten einen Vektor ohne Richtung.

Ein Skalar... Nr. 2544
	hat keine Richtung.
	ist ein eindimensionaler Wert.
	ist ein Vektor ohne Dimension.
	hat immer mindestens zwei Komponenten.
	hat immer mindestens zwei Dimensionen.

Der Nullvektor kann interpretiert werden als: Nr. 2545
	Die Multiplikation mit 0.
	Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst.
	Spezialfall einer Verschiebung, die jeden Punkt dort belässt, wo er ist.
	Ortsvektor des Ursprungs.
	Ausdruck des Skalares Null.

Bilde das Vielfache des Vektors \(\vec{A}= \left(\begin{array}23\\46\\57\end{array}\right)\) mit dem Skalar \(b =3\)! Nr. 2546
	\(\left(\begin{array}23\\46\\57\end{array}\right) \cdot 3 = (23+46+57) \cdot 3= 387\)
	\(\left(\begin{array}23\\46\\57\end{array}\right) + 3= (23+46+57)+ 3= 129\)
	\(\left(\begin{array}23\\46\\57\end{array}\right) \cdot 3 = \left(\begin{array}69\\138\\171\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}23\\46\\57\end{array}\right) \cdot 3 = 69+138+171 = 378\)
	\(\left(\begin{array}23\\46\\57\end{array}\right) + 3= (23+3)+(46+3)+(57+3)= 135\)
Lösungsweg Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{A}= \left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\) mit einem Skalar \(\lambda\) wird berechnet in dem man die Komponenten \(a_i\) mit dem Skalar \(\lambda\) multipliziert werden. \(\lambda \cdot\vec{A}= \left(\begin{array}\lambda \cdot a_1\\\lambda \cdot a_2\\\lambda \cdot a_3\end{array}\right)\). Der resultierende Vektor hat die \(\lambda\)-fache Länge des ursprünglichen Vektors \(\vec{A}\).

Multipliziere den Vektor \(\vec{A}=\left(\begin{array}24\\12\\36\end{array}\right)\) mit dem Skalar \(b=0,5\)! Nr. 2547
	\(\left(\begin{array}24\\12\\36\end{array}\right) \cdot 0,5= (24+12+36) \cdot 0,5 = 36\)
	\(\left(\begin{array}24\\12\\36\end{array}\right) \cdot 0,5= \frac{(24+12+36)}{2}= 36\)
	\(\left(\begin{array}24\\12\\36\end{array}\right) +0,5= (24+12+36)+0,5= 72,5\)
	\(\left(\begin{array}24\\12\\36\end{array}\right)+0,5= (24+12+36)+0,5= 73,5\)
	\(\left(\begin{array}24\\12\\36\end{array}\right) \cdot 0,5= \left(\begin{array}12\\6\\18\end{array}\right) \)

Multipliziere den Vektor \(\vec{B}=\left(\begin{array}18\\9\\36\end{array}\right)\) mit dem Skalar \(c=2\)! Nr. 2548
	\(\left(\begin{array}18\\18\\18\end{array}\right)\)
	\( \left(\begin{array}36\\18\\72\end{array}\right)\)
	\( \left(\begin{array}9\\4,5\\18\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}20\\11\\38\end{array}\right)\)
	Keine dieser Lösungen ist richtig.
Lösungsweg \(\left(\begin{array}18\\9\\36\end{array}\right) \cdot2= \left(\begin{array}18 \cdot2\\9 \cdot2 \\36 \cdot2 \end{array}\right)\)

Bei welcher/n dieser physikalischen Größen handelt es sich um einen Vektor? Nr. 2551
	Temperatur
	Geschwindigkeit
	Impuls
	Arbeit
	Kalorie

Bei welcher/n dieser physikalischen Größen handelt es sich um einen Skalar? Nr. 2552
	Volumen
	Last
	Zentrifugalkraft
	Magnetische Feldstärke
	Frequenz

Welche Aussage(n) über den zweidimensionalen Vektor \(\vec{C} = \left(\begin{array}5\\8\end{array}\right) \) ist/sind richtig? Nr. 2554
	Der Schaft des Vektors liegt auf Punkt 5, die Spitze auf Punkt 8 im Koordinatensystem.
	Die erste Angabe m=5 bezeichnet die Länge des Vektors, die zweite Angabe n=8 seine Richtung.
	Die Länge des Vektors ist sein Betrag, nämlich \(5\cdot8=40 \)
	Bei dem Vektor handelt es sich um einen Einheitsvektor.
	Keine dieser Aussagen ist richtig.

Wenn ich den Vektor \(\vec{D}}=\left(\begin{array}25\\33\\19\end{array}\right) \) mit dem Skalar \(m=0,75 \) multipliziere, dann... Nr. 2555
	ist dies ein ungültiger Rechenschritt, denn der Skalar ist kleiner als 1.
	ändert der Vektor seine Richtung.
	wird der Vektor kürzer.
	wird der Vektor länger.
	ist das Ergebnis ein Einheitsvektor.

Gegeben sei folgender Vektor \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-12\\-3\\16\end{array} \right)\) Berechne den Absolutbetrag dieses Vektors. Nr. 3195
	\(\mid \vec{A}\mid=26,42\)
	\(\mid \vec{A}\mid=20,22\)
	\(\mid \vec{A}\mid=23,65\)
	\(\mid \vec{A}\mid=19,69\)
Lösungsweg Für den Absoultbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Addiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\3\\6\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}14\\3\\7\end{array} \right)\)und berechne anschließend den Absolutbetrag von \(\vec{C}\). Nr. 3204
	\(\mid \vec{C}\mid=23\)
	\(\mid\vec{C}\mid=21,6\)
	\(\mid\vec{C}\mid=27,4\)
	\(\mid\vec{C}\mid=25\)
Lösungsweg Das Resultat der Addition ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}+\vec{B}=\left( \begin{array}{c}18\\6\\13\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{18^2+6^2+13^2}=23\)

Addiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}12\\21\\9\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\7\\9\end{array} \right)\) und berechne den Absolutbetrag des entstandenen Vektors \(\vec{C}\)? Nr. 3205
	\(\mid \vec{C}\mid =34,56\)
	\(\mid \vec{C}\mid =32.76\)
	\(\mid \vec{C}\mid =37,38\)
	\(\mid \vec{C}\mid =29,74\)
Lösungsweg Der entstandene Vektor: \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}17\\28\\18\end{array} \right)\) Dessen Absolutbetrag: \( \mid \vec{C}\mid=\(\sqrt{17^2+28^2+18^2}\)=37,38\)

Addiere die beiden Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}25\\14\\-22\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\13\\4\end{array} \right)\) und ermittle den Absolutbetrag des entstandenen Vektors \(\vec{C}\). Nr. 3206
	\(\mid \vec{C}\mid=42\)
	\(\mid \vec{C}\mid=44\)
	\(\mid \vec{C}\mid=47\)
	\(\mid \vec{C}\mid=38\)
Lösungsweg Das Resultat der Addition ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}34\\27\\-18\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{34^2+27^2+(-18)^2}=47\)

Subtrahiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}75\\21\\18\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\-22\\16\end{array} \right)\) und ermittle den Absolutbetrag des entstandenen Vektors \(\vec{C}\). Nr. 3207
	\( \mid \vec{C}\mid=66,6\)
	\( \mid \vec{C}\mid=51,6\)
	\( \mid \vec{C}\mid=78,8\)
	\( \mid \vec{C}\mid=84.9\)
Lösungsweg Das Resultat der Subtraktion ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}66\\43\\2\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{66^2+43^2+2^2}=78,8\)

Subtrahiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}82\\33\\42\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}50\\32\\19\end{array} \right)\) und berechne den Absolutbetrag des entstandenen Vektors \(\vec{C}\). Nr. 3208
	\(\mid\vec{C}\mid=35,21\)
	\(\mid\vec{C}\mid=39,42\)
	\(\mid\vec{C}\mid=56,73\)
	\(\mid\vec{C}\mid=43,66\)
Lösungsweg Der entstandene Vektor: \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}32\\1\\23\end{array} \right)\) dessen Absolutbetrag: \(\mid\vec{C}\mid=\sqrt{32^2+1^2+23^2}=39,42\)

Subtrahiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}29\\5\\39\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\14\\29\end{array} \right)\) und berechne den Absolutbetrag des enstandenen Vektors \(\vec{C}\). Nr. 3209
	\(\mid \vec{C}\mid=24,1\)
	\(\mid \vec{C}\mid=29,5\)
	\(\mid \vec{C}\mid=21,1\)
	\(\mid \vec{C}\mid=27,3\)
Lösungsweg Das Resultat der Subtraktion ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}20\\-9\\10\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{20^2+(-9)^2+10^2}=24,1\)

Ein Vektor \(\vec{A}\) wird mit dem Skalar \(\lambda=-0,6\) multipliziert. Das bedeutet, dass Nr. 3210
	der Vektor nun in die entgegengesetzte Richtung zeigt
	der Vektor nun die 1,6-fache Länge hat
	die Richtung des Vektors gleich bleibt
	der Vektor nun nur noch 60% der ursprünglichen Länge besitzt
Lösungsweg Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) mit einem Skalar \(\lambda\) bedeutet: \(\lambda\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}\lambda\cdot a_1\\\lambda\cdot a_2\\\lambda\cdot a_3\end{array} \right)\)

Der Vektor \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}23\\5\\9\end{array} \right)\) wird mit dem Skalar \(3\) multipliziert. Wie sieht der Vektor \(3\cdot\vec{A}\) aus? Nr. 3215
	\(3\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}28\\8\\12\end{array} \right)\)
	\(3\cdot\vec{A}=\left( \begin{array}{c}69\\15\\27\end{array} \right)\)
	\(3\cdot\vec{A}=\left( \begin{array}{c}96\\8\\27\end{array} \right)\)
	\(3\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}20\\5\\7\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) mit einem Skalar \(\lambda\) bedeutet: \(\lambda\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}\lambda\cdot a_1\\\lambda\cdot a_2\\\lambda\cdot a_3\end{array} \right)\)

Addiere die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}14\\34\\9\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\7\\5\end{array} \right)\) und berechne anschließend die Länge des entstandenen Vektors \( \vec{C\) Nr. 3225
	\( \mid \vec{C}\mid=43,05\)
	\( \mid \vec{C}\mid=49,05\)
	\( \mid \vec{C}\mid=52,05\)
	\( \mid \vec{C}\mid=47,05\)
Lösungsweg Das Resultat der Addition ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}+\vec{B}=\left( \begin{array}{c}23\\41\\14\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{23^2+41^2+14^2}=49,05\)

Addiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-5\\18\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-16\\2\\-11\end{array} \right)\) und berechne die Länge des entstandenen Vektors \(\vec{C}\) Nr. 3226
	\( \mid \vec{C}\mid=19,02\)
	\( \mid \vec{C}\mid=27,47\)
	\( \mid \vec{C}\mid=24,27\)
	\( \mid \vec{C}\mid=30,08\)
Lösungsweg Das Resultat der Addition ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-21\\20\\-8\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{(-21)^2+20^2+(-8)^2}=30,08\)

Addiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\2\\7\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\3\\4\end{array} \right)\)und berechne anschließend die Länge des entstandenen Vektors \(\vec{C\) Nr. 3227
	\( \mid \vec{C}\mid=17,7\)
	\( \mid \vec{C}\mid=20,3\)
	\( \mid \vec{C}\mid=16,6\)
	\( \mid \vec{C}\mid=23,8\)
Lösungsweg Das Resultat der Addition ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}13\\5\\11\end{array} \right)\) Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) D.h. der Absolutbetrag \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{13^2+5^2+11^2}=17,7\)

Addiere die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}29\\21\\19\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}12\\27\\16\end{array} \right)\)und gib den entstandenen Vektor \( \vec{C\) an Nr. 3228
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}44\\48\\38\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}31\\48\\36\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}43\\46\\35\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}41\\48\\35\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\) \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\) Vektoren werden komponentenweise addiert.

Addiere die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}124\\223\\334\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}14\\-43\\-64\end{array} \right)\) und bestimme den daraus resultierenden Vektor \( \vec{C\) Nr. 3229
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}132\\170\\260\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}138\\180\\270\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}128\\160\\250\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}136\\175\\264\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\) \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\) Vektoren werden komponentenweise addiert.

Addiere die beiden Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}97\\-82\\56\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-53\\63\\-21\end{array} \right)\) und bestimme den entstandenen Vektor \( \vec{C\) Nr. 3230
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}42\\19\\34\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}35\\19\\-46\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}35\\19\\47\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}44\\-19\\35\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\) \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\) Vektoren werden komponentenweise addiert.

Addiere die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\-13\\-25\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-19\\26\\-17\end{array} \right)\) und bestimme den resultierenden Vektor \( \vec{C\) Nr. 3231
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}11\\-13\\42\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-11\\13\\-42\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}11\\3\\-32\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-42\\23\\-11\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\) \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\) Vektoren werden komponentenweise addiert.

Addiere die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}24\\35\\-41\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-16\\12\\-32\end{array} \right)\) und bestimme den resultierenden Vektor \( \vec{C\) Nr. 3232
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-8\\-47\\73\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\47\\-73\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-8\\37\\-63\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\47\\73\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\) \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\) Vektoren werden komponentenweise addiert.

Addiere die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-127\\34\\-13\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}36\\-74\\-22\end{array} \right)\) und bestimme den resultierenden Vektor \( \vec{C}\) Nr. 3233
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-91\\-40\\-35\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}90\\-30\\-25\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-91\\40\\35\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-91\\-40\\35\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\) \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\) Vektoren werden komponentenweise addiert.

Gegeben seien 4 Vektoren. Jeder Vektor hat seinen Ursprung am Endpunkt eines anderen Vektors, so dass sie eine abgegrenzte Fläche bilden. Was sagt das aus? Nr. 3252
	Die Addition aller Vektoren einen Nullvektor ergibt
	Die Subtraktion aller Vektoren einen Nullvektor ergibt
	4 Vektoren können nur nicht miteinander addiert/subtrahiert werden
	Keine dieser Aussagen trifft zu

Gegeben sei der Punkt \(P(3\|12)\). Wie weit ist dieser Punkt vom Koordinatenursprung entfernt? Hinweis: Karthesisches Koordinatensystem in Meter Nr. 3377
	\(14,21m\)
	\(12,37m\)
	\(15,8\,m\)
	\(9,62\,m\)
Lösungsweg Man subtrahiert die Punkte P und den Koordinatenurpsrung \(U=(0\|0)\) . Vom Vektor \(\vec{OP}\) wird der Absolutbetrag berechnt: \(\|\vec{PO}\|=\sqrt{3^2+12^2}=12,37\,m\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3455
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\6\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}7\\3\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}7\\-3\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\7\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(1\,\mid\, 6)\) und \(B=(8\,\mid\,9)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}7\\3\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3456
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-3\\-6\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-3\\6\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\6\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\-6\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(2\,\mid\, 7)\) und \(B=(5\,\mid\,1)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\-6\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3457
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\2\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(5\,\mid\, 1)\) und \(B=(1\,\mid\,3)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\2\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3458
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}1\\7\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}1\\-7\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-1\\7\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-1\\-7\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(2\,\mid\, 1)\) und \(B=(3\,\mid\,8)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}1\\7\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3459
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-9\\-5\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}9\\5\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}9\\-5\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-9\\5\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(0\,\mid\, 9)\) und \(B=(9\,\mid\,4)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}9\\-5\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3460
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-9\\1\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-9\\-1\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}9\\1\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}9\\-1\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(9\,\mid\, 4)\) und \(B=(0\,\mid\,5)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-9\\1\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3461
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-3\\4\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-3\\-4\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\4\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\-4\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(3\,\mid\, 0)\) und \(B=(0\,\mid\,4)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-3\\4\end{array} \right)\)

Bestimme den Vektor \(\vec{u}\), der durch die Punkte \(A\) und \(B\) gegeben ist. Nr. 3462
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}4\\1\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\1\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}4\\-1\end{array} \right)\)
	\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\-1\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Hier \(A=(4\,\mid\, 2)\) und \(B=(0\,\mid\,1)\) Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\-1\end{array} \right)\)

Addiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\-13\\4\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\9\\11\end{array} \right)\) und ermittle den Absolutbetrag des resultierenden Vektors \(\vec{C}\) Nr. 3505
	\(\|\vec{C}\|=15,34\)
	\(\|\vec{C}\|=19,21\)
	\(\|\vec{C}\|=18,47\)
	\(\|\vec{C}\|=11,96\)
Lösungsweg \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8+2\\-13+9\\4+11\end{array} \right) \) \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}10\\-4\\15\end{array} \right)\) \(\|\vec{C}\|=\sqrt{10^2+4^2+15^2}=18,47\)

Gegeben seien vier beliebige Vektoren \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\) und \(\vec{D}\). Wie lautet das Ergebnis der Rechnung \((\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})\) ? Hinweis: Benutze zum Auffinden des Ergebnisses die Formel \(\vec{U}(\vec{V}\times\vec{W})=\vec{V}(\vec{W}\times\vec{U})\) beziehungsweise den sogennaten Grassmannschen Entwicklungssatz \(\vec{D}\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{D}\cdot\vec{B})\vec{A}-(\vec{D}\cdot\vec{A})\vec{B}\). Nr. 4141
	\((\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D}) - (\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\)
	\((\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{C}\cdot\vec{D}) - (\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\)
	\((\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}) - (\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})\)
Lösungsweg Wir setzten \(\vec{U}:=\vec{A}\times\vec{B}\), \(\vec{V}:=\vec{C}\) und \(\vec{W}:=\vec{D}\). Damit folgt aber: \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=\vec{C}(\vec{D}\times(\vec{A}\times\vec{B}))\) und somit \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=\vec{C}\left((\vec{D}\cdot\vec{B})\vec{A}-(\vec{D}\cdot\vec{A})\vec{B}\right)\) und daher \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\) Anmerkung: Das erhaltene Ergebnis wird als Lagrange Identität bezeichnet.

Gegeben seien drei beliebige Vektoren \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\). Welche der unten angeführten Aussagen ist korrekt? Nr. 4147
	\((\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}\neq\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C})\)
	\((\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C})\)
Lösungsweg Man hat \((\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}=\left(\begin{array}{c} (A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})C_{1}\\ (A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})C_{2}\\ (A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})C_{3} \end{array}\right)\) beziehungsweise \(\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C})=\left(\begin{array}{c} A_{1}(B_{1}C_{1}+B_{2}C_{2}+B_{2}C_{2})\\ A_{2}(B_{1}C_{1}+B_{2}C_{2}+B_{2}C_{2})\\ A_{3}(B_{1}C_{1}+B_{2}C_{2}+B_{2}C_{2}) \end{array}\right)\). Somit folgt aber sogleich \((\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}\neq\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C})\). Anmerkung: Da man also nicht beliebig Klammern setzen darf, bezeichnet man das Skalarprodukt zwischen Vektoren als nicht-assoziatives Produkt.

Sei \(U=U(x,y,z) \) eine skalare Funktion. Was ist das Ergebnis der Rechnung \(rot(grad U)\), oftmals auch geschrieben als \(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)\)? Nr. 4151
	\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)=0\)
	\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)= \vec{\nabla}\times \vec{\nabla} \times U\)
	\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)=\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \times U\)
	\(\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla} \cdot U)=0\)
Lösungsweg Man hat \(\vec{\nabla}U=\left(\begin{array}{c} \partial_{x} U \\ \partial_{y} U \\ \partial_{z} U \end{array}\right)\) und daher \(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)=\) \(\left(\begin{array}{c} \partial_{y}\partial_{z}U\\ \partial_{z}\partial_{x}U\\ \partial_{x}\partial_{y}U \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} \partial_{z}\partial_{y}U\\ \partial_{x}\partial_{z}U\\ \partial_{y}\partial_{x}U \end{array}\right)\), was aber aufgrund der Austauschbarkeit partieller Ableitungen gleich null ist. Daher gilt \(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)=0\).

Seien \(U=U(x,y,z) \) und \(V=V(x,y,z)\) skalare Funktionen. Was ist das Ergebnis der Rechnung \(grad(UV)\), oftmals auch geschrieben als \(\vec{\nabla}(UV)\)? Nr. 4152
	\(\vec{\nabla}(UV)=\vec{\nabla}U\cdot V-U\vec{\nabla}V\)
	\(\vec{\nabla}(UV)=U\vec{\nabla}V\)
	\(\vec{\nabla}(UV)=\vec{\nabla}U\cdot V\)
	\(\vec{\nabla}(UV)=\vec{\nabla}U\cdot V+U\vec{\nabla}V\)
Lösungsweg Hier gilt der Definition nach \(\vec{\nabla}(UV)=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}(UV)\\ \partial_{y}(UV)\\ \partial_{z}(UV) \end{array}\right)\). Infolgedessen ergibt sich nach Anwendung der Leibnizregel (alias Produktregel) für partielle Ableitungen \(\left(\begin{array}{c} \partial_{x}(UV)\\ \partial_{y}(UV)\\ \partial_{z}(UV) \end{array}\right)=\)\(\left(\begin{array}{c} U\partial_{x}V\\ U\partial_{y}V\\ U\partial_{z}V \end{array}\right)\)\(+\left(\begin{array}{c} V\partial_{x}U\\ V\partial_{y}U\\ V\partial_{z}U \end{array}\right)\) und somit \(\vec{\nabla}(UV)=\vec{\nabla}U\cdot V+U\vec{\nabla}V\).

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Addiere die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\-13\\4\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\9\\11\end{array} \right)\) und ermittle den Absolutbetrag des resultierenden Vektors \(\vec{C}\) Nr. 3505
	\(\|\vec{C}\|=15,34\)
	\(\|\vec{C}\|=19,21\)
	\(\|\vec{C}\|=18,47\)
	\(\|\vec{C}\|=11,96\)
Lösungsweg \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8+2\\-13+9\\4+11\end{array} \right) \) \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}10\\-4\\15\end{array} \right)\) \(\|\vec{C}\|=\sqrt{10^2+4^2+15^2}=18,47\)

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