Vektoren werden komponentenweise addiert, dh. \(\left( \begin{array}2 \\3 \end{array} \right) + \left(\begin{array}4\\1\end{array}\right)=\left( \begin{array}2+4 \\3+1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}6 \\4 \end{array} \right)\).

Vektoren werden komponentenweise subtrahiert, d.h. \(\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)=\left( \begin{array}8-7\\2-5\end{array} \right)=\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)\).

Die Länge (oder der Betrag) in einem kartesischen Koordinatensystem ist gegeben durch \(|\vec{v}|=\sqrt{ (5,3 \frac{m}{s})^2 + (2,6 \frac{m}{s})^2 } =5,9 \frac{m}{s}\).

\(\vec{A}+ \vec{B}+\vec{C}\)\(= \left(\begin{array}5\\3\end{array}\right)+ \left(\begin{array}-4\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}2\\-1\end{array}\right) \)\(=\left(\begin{array}5-4+2\\3+2-1\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}5\\3\\9\end{array}\right) - \left(\begin{array}4\\6\\7\end{array}\right) = \left(\begin{array}5-4\\3-6\\9-7\end{array}\right)\)

Die Länge des Vektors ist sein Betrag, daher gilt: \( \mid \vec{A}\mid = \sqrt{(A_1)^2+(A_2)^2+(A_3)^2}\)

\(\mid \vec{C}\mid = \sqrt{(C_1)^2+(C_2)^2+(C_3)^2}\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \left(\begin{array} a_1 \cdot b_1 \\ a_2\cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_3 \end{array}\right)\)

\(\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right) \)

1. Schritt: Errechnen des Differenzvektors \(\vec{F}\):

\(\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right) \)

2. Schritt: Errechnen des Betrags (=die Länge) des Differenzvektors \(\vec{F}\):

\(\mid\vec{F} \mid = \sqrt{(8--3)^2+(-3-4)^2+(5-3)^2}\)

\(\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}}=\left(\begin{array}3\\3\\3\end{array}\right)+ \left(\begin{array}8\\-1\\4\end{array}\right)- \left(\begin{array}4\\2\\6\end{array}\right)= \)\(\left(\begin{array}3+8-4\\3-1-2\\3+4-6\end{array}\right)\)

\(5 \cdot (\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)) \)\(= 5 \cdot \left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right)+ 5\cdot \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)\)

Zwei Vektoren \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden subtrahiert indem sie komponentenweise subtrahiert werden\(\)

\(\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)\). 

\(\vec{D}-\vec{X}+\vec{Y}= \left(\begin{array}25\\12\\63\end{array}\right)- \left(\begin{array}12\\24\\42\end{array}\right)+ \left(\begin{array}52\\43\\12\end{array}\right)\)\(= \left(\begin{array}25-12+52\\12-24+43\\63-42+12\end{array}\right)\)

\(\vec{F} = m \vec{a} = 4 kg \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\4\\\end{pmatrix} \frac{m}{s^2} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} kg\frac{m}{s^2} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} N\)

1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{a} \) mit einem Skalar \(\lambda\)  erfolgt komponentenweise:

\(\lambda \vec{a} = \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\\lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{10}\)

\(\vec{a} = \sqrt{10}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{10}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix}3\\1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/10\\1/10\\0\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\)

\(\vec{a} = \sqrt{6}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}\)

\(\vec{a} = \sqrt{14}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}2\\-1\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/7\\-1/14\\-3/14\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

\(\vec{s} = 3 \begin{pmatrix}0\\3\\5\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}1\\4\\2\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\-2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-15\\19\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = 4 \begin{pmatrix}1\\-3\\2\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\2\\2\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-16\\6\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-2\\5\\\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}0\\-3\\3\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Die vier Kräfte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende Kraft \vec{F_R} den Nullvektor ergibt: 

\(\vec{F_R} = \vec{F_1} +\vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \)\(\begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N = \)\(\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix} N\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Finde ein x,y,z damit das Gleichungssystem erfüllt ist:

2 + 1 + 3 + x = 0

5 – 7 – 5 + y = 0

0 + 9 – 3 + z = 0

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Der Vektor \(\vec{P_1Q}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{P_1P_2}\), jedoch nur von halber Länge:\(\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-4)\\3 - 2\\4 - 1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Der Vektor \(\vec{PQ}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{a}\), jedoch um 10 Längeneinheiten länger :\(\vec{PQ} = \vec{a} + 10\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + \vec{PQ} = \vec{r}(P) + 10\vec{e_a}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{e_a}= \frac {\vec{a}}{|\vec{a|}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + 10\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix} + 10\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\-6.67\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Der Vektor \(\vec{P_1Q}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{P_1P_2}\), jedoch nur von halber Länge:\(\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-3)\\-1 - 3\\1 - 3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) mit einem Skalar \(\lambda\) bedeutet:

\(\lambda\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}\lambda\cdot a_1\\\lambda\cdot a_2\\\lambda\cdot a_3\end{array} \right)\)

Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\)

\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

\(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\)

D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\)
Vektoren werden komponentenweise addiert.

In diesem Beispiel ist \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right)\) der Nullvektor.

\(3x^2z-xy^3+5\)  im Punkt \(P(1,-2,2)\)

\(3\cdot 1^2\cdot 2-1\cdot(-2)^3+5=19\)

Der Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\)wird folgenermaßen berechnet:

\(|\vec{V}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(2\cdot4^2+6\cdot7\cdot2+9=125\)

Die Kraft \(\vec{F}\) ist definiert wie folgt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\), wo \(\vec{a}\) die Beschleunigung ist.

Somit ist \(\vec{F}=m\cdot\vec{a}=14\cdot \left( \begin{array}{c}5\\-2\\9\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}14\cdot5\\14\cdot(-2)\\9\cdot14\end{array} \right)\)

Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

\(4\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}36\\-16\\8\end{array} \right)\quad,\)     \(2\cdot \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\16\\-168\end{array} \right)\quad ,\)   \(-\)\(-\)\(-\) \(0,5\cdot \vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\0,5\\1,5\end{array} \right)\)

Nun werden alle drei Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, also:

\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)\)

Zunächst muss jeder Vektor mit dem angegeben Faktor multipliziert werden.

also \(5\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\45\\40\end{array} \right)\quad , \quad 2\cdot\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-10\\14\end{array} \right) \) 

Das Resultat der Addition bzw. Subtraktion aller Vektoren: \(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)\)

Jeder Vektor wird mit seinem Faktor multipliziert und anschließend werden die zwei Vektoren subtrahiert bzw. addiert:

\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}18\\12\\-6\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c}-24\\15\\-18\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}42\\-3\\12\end{array} \right)\)

Die Kraft \(\vec{F}\) ist definiert wie folgt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\), wo \(\vec{a}\) die Beschleunigung ist.

Somit ist \(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}25*(-8)\\25*3\\25*(-2)\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}-200\\75\\-50\end{array} \right)\)

Die Kraft wird folgendermaßen berechnet \(\vec{F}=m\cdot\vec{a}\).

Die Masse \(m\) wird mit jeder Komponenten des Vektors \(\vec{a}\) multipliziert.

\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}20\cdot 650\\5\cdot 650\\35\cdot 650\end{array} \right)\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot6^3\cdot11+2\cdot6^2-4\cdot2=11944\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot 7\cdot 2^3\cdot4+2\cdot7^2-9\cdot\cdot2=1370\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(9\cdot4^3\cdot7+5\cdot3-4\cdot7\cdot3+21=3984\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot8^2-2\cdot3+6\cdot9^4\cdot8+8\cdot9+2=315316\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(2\cdot5^2+4\cdot2+3\cdot3=67\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(4\cdot3^2+9\cdot3\cdot4+2\cdot3=150\)

Die Länge der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array} \right)\) ist der der Absolutbetrag: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Zurückgelegte Strecke: \(s= |\vec{s_1}|+ |\vec{V_2}|=\sqrt{s_1_x^2+s_1_y^2}+\sqrt{s_2_x^2+s_2_y^2}\)

\(s=20+15,8114=35,8114\,km\)

Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km\)

Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=11\quad \Rightarrow v_x=7,78\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\7,78\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\11,78\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{7,78^2+11,78^2}\)=14,12\,km\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(12-5)^2+(7-3)^2}=8,06\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(8-9)^2+(10-14)^2}=4,12\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(-5-1)^2+(8-3)^2}=7,81\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(7-9)^2+(5-5)^2}=2\) 

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(9-17)^2+(11-3)^2}=11,31\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(14+18)^2+(-9+11)^2}=32,06\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(9-17)^2+(16-9)^2}=10,63\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(19+19)^2+(27-21)^2}=38.47\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(57-45)^2+(63-63)^2}=12\)

Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier. \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}3\\-1\end{array} \right)\), deshalb ist \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)\)

Zunächst werden die Komponenten der Vektoren abgelesen. Dabei beginnt man beim Schaft des Pfeiles, der den Vektor repräsentiert. In der Grafik sind die \(y\mathrm{-Komponenten}\) rot und die \(x\mathrm{-Komponenten}\) blau dargestellt. Der Vektor \(\vec b\) ist parallel zur \(y\mathrm{-Achse}\) orientiert, seine \(x\mathrm{-Komponente}\) ist daher \(0\).

\( \vec{a}= \left( \begin{array}{c}2\\-3\end{array} \right)\)
 

\( \vec{b}= \left( \begin{array}{c}0\\5\end{array} \right)\)

Die Summe der beiden Vektoren ergibt wieder einen Vektor! Dabei werden die \(x\mathrm{-Komponenten}\) und die \(y\mathrm{-Komponenten}\) addiert:

\( \vec{c}= \left( \begin{array}{c}a_x+b_x\\a_y+b_y\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}2+0\\-3+5\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}2\\2\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-2\\-4\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren  \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-3\end{array} \right)\), d.h. \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-6\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\-8\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-1\\-5\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\-2\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\4\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\5\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\0\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}0\\4\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\1\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\2\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\5\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-3\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-2\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\-8\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-3\end{array} \right)\) und\( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\-5\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\-4\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-10\\0\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, das heißt \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\).

In diesem Fall sind die Vektoren \(\vec{a}= \left( \begin{array}{c}-6\\-7\end{array} \right)\) und \(\vec{b}= \left( \begin{array}{c}1\\1\end{array} \right)\), wie in der Grafik zu sehen ist. Die \(x\mathrm{-Komponenten}\) sind dabei rot und die \(y\mathrm{-Komponenten}\) blau eingezeichnet. Die Richtung, in die der Pfeil, der den Vektor repräsentiert, zeigt, legt das Vorzeichen der Komponenten fest.

Es ergibt sich also \( \vec{c}=\vec{a}-\vec{b}= \left( \begin{array}{c}-6-1\\-7-1\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}-7\\-8\end{array} \right)\).

Graphisch gesehen ergibt das den Vektor, der von der Spitze von \(\vec b\) zur Spitze von \(\vec a\) zeigt, wenn die beiden Vektoren beim selben Anfangspunkt ansetzen.

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\-8\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-5\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-3\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-1\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\) , das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\1\end{array} \right)\)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

Daraus folgt: \(F=\sqrt{(4000N)^2+(6000N)^2+2\cdot 4000N \cdot 6000N \cdot cos(38,99)}=9450,3N\)

Der Defnition nach gilt

\(\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{array}\right)\)

und somit

\(\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{y}A_{3}-\partial_{z}A_{2}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{x}A_{2}-\partial_{y}A_{1} \end{array}\right)\).

In Komponentenschreibweise gilt

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}\),

wobei der total antisymmetrische Ausdruck \(\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{ikj}\) gemeinhin als \(\varepsilon\)-Tensor bezeichnet wird. Da nach dem Satz von Schwarz für jede Komponente \(F_{k}\) des Vektors \(\vec{F}\) gilt \(\partial_{i}\partial_{j}F_{k}=\partial_{j}\partial_{i}F_{k}\), lässt sich demnach folgern

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{jik}\partial_{j}\partial_{i}F_{k}.\)

Da die Bennenung von Summationsindizes jedoch völlig beliebig ist, lässt sich der gefundene Ausdruck auch als

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}.\)

schreiben. Somit muss aber zwingend gelten 

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0.\)

Ein solcher Widerspruch lässt sich ferner für beliebige Ausdrücke aus der Beobachtung folgern, dass das Produkt eines symmetrischen und eines total antisymmetrischen Ausdrucks stets null ist.

Der Defnition nach gilt

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} UF_{x}\\ UF_{y}\\ UF_{z} \end{array}\right)\)

und daher

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\partial_{x}(UF_{x})+\partial_{y}(UF_{y})+\partial_{z}(UF_{z})\)

was in Komponentenschreibweise kompakt in der Form 

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\left\{ F_{k}\partial_{k}U+U\partial_{k}F_{k}\right\} \)

notiert werden kann. Dies bedeutet aber, dass

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\vec{\nabla}U\cdot\vec{F}+U\cdot\vec{\nabla}\vec{F}\)

gilt.

Verwendet man den Entwicklungssatz 

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B)}\)

und setzt \(\vec{B} := \vec{v}\), \(\vec{A} , \vec{C} := \vec{u}\), so erhält man das Resultat

\( \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})=u^{2}\vec{v}-(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\).

Infolgedessen gilt aber auch

\(\vec{v}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}+\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})\).

Hierbei berechnet man 

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =(\vec{A}-\vec{B})\left\{ \vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\right\} \)\(=\vec{A}(\vec{A}\times\vec{C})+\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{A}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{B}\times\vec{C})\).

Benützt man nun die Identitäten

\(\vec{X}(\vec{Y}\times\vec{Z})=\vec{Z}(\vec{X}\times\vec{Y})=\vec{Y}(\vec{Z}\times\vec{X})\)

beziehungsweise 

\(\vec{X}\times\vec{Y}=-\vec{Y}\times\vec{X}\),

die für beliebige Vektorfelder\(\vec{X}\), \(\vec{Y}\) und \(\vec{Z}\) gelten, so erhält man

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})\)\(=2\vec{C}(\vec{A}\times\vec{B})\)\(=2\vec{B}(\vec{C}\times\vec{A})\).