\(\left(\begin{array}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right) = a _{1} \cdot b _{1}+ a _{2} \cdot b _{2} + a _{3} \cdot b _{3}\)

\(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) \) 

\(=\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right) \cdot \left (\left(\begin{array}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right) \right)\)

\(= \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} \)

\(= a_1 \cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 + a_1 \cdot c_1 + a_2\cdot c_2 + a_3 \cdot c_3\)

\(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \) \( \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} = a_1 \cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 + a_1 \cdot c_1 + a_2\cdot c_2 + a_3 \cdot c_3\)

\(c=\vec{A}\cdot \vec{B}=\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right) = a _{1} \cdot b _{1} + a _{2} \cdot b _{2}\ + a _{3} \cdot b _{3}\)

\(\vec{D}\cdot \vec{F}= \left(\begin{array}d1\\d2\\d3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}f1\\f2\\f3\end{array}\right) = d _{1} \cdot f _{1} + d _{2} \cdot f _{2}\ + d _{3} \cdot f _{3}\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

 \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden subtrahiert indem sie komponentenw. subtrahiert werden\(\) \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)\). 

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{E}\) und \(\vec{F}\) komponentenweise subtrahieren und dann das Skalarprodukt des Vektors \(\vec{D}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{D}\right.\cdot \left(\vec{E}-\vec{F}\right)= \left( \begin{array}{c}d_1\\d_2\\d_3\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c}e_1-f_1\\e_2-f_2\\e_3-f_3\end{array} \right)\).

d.h. \(d_1\cdot e_1-d_1\cdot f_1+d_2\cdot e_2-d_2\cdot f_2+d_3\cdot e_3-d_3\cdot f_3\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Zuerst berechnet man das Skalarprodukt von \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) und das Ergebnis ist ein Skalar, der einfach mit dem Skalar \(m\) multipliziert werden kann.

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(m=\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(m=\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Für die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) kann das Skalarprodukt sowohl als die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\) berechnet werden, d.h. \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\).

oder als das Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A}\cdot \vec{B}=\mid \vec{A}\mid \cdot \mid \vec{B}\mid \cos \left.\left(\alpha\right)\right.\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(s=\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

\(\left(\begin{array}a1\\a2\\a3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}b1\\b2\\b3\end{array}\right) = a _{1} \cdot b _{1} + a _{2} \cdot b _{2}\ + a _{3} \cdot b _{3}\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

 \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden subtrahiert indem sie komponentenw. subtrahiert werden\(\) \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)\). 

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{E}\) und \(\vec{F}\) komponentenweise subtrahieren und dann das Skalarprodukt des Vektors \(\vec{D}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{D}\right.\cdot \left(\vec{E}-\vec{F}\right)= \left( \begin{array}{c}d_1\\d_2\\d_3\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c}e_1-f_1\\e_2-f_2\\e_3-f_3\end{array} \right)\).

d.h. \(d_1\cdot e_1-d_1\cdot f_1+d_2\cdot e_2-d_2\cdot f_2+d_3\cdot e_3-d_3\cdot f_3\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\3\\-8 \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\\\end{pmatrix} = 0 + 6 + (-8) = -2\)

Unter dem Skalarprodukt\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \)versteht man den Skalar

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |a|\cdot |b| \cdot \cos(\phi)\)

wobei \(\phi\) der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.

Rechengesetze für Skalarprodukte

Die Skalarbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:

Kommutativgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a}\)

Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot\vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)

Ferner gilt für einen beliebigen Skalar \(\lambda\)

\(\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2 \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix} = 0 + 0 + 2 = 2\)

Unter dem Skalarprodukt\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \)versteht man den Skalar

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |a|\cdot |b| \cdot \cos(\phi)\)

wobei \(\phi\) der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.

Rechengesetze für Skalarprodukte

Die Skalarbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:

Kommutativgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a}\)

Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot\vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)

Ferner gilt für einen beliebigen Skalar \(\lambda\)

\(\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})\)

\((\vec{a} -2 \vec{b}) \cdot (2\vec{c}) =\)\( (\begin{pmatrix}1\\3\\-8 \\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\4\\2 \\\end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-5\\\end{pmatrix} =\)\(\begin{pmatrix}1\\1\\-10\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-5\\\end{pmatrix} = 2 + 1 + 50 = 53\)

Unter dem Skalarprodukt\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \)versteht man den Skalar

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |a|\cdot |b| \cdot \cos(\phi)\)

wobei \(\phi\) der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.

Rechengesetze für Skalarprodukte

Die Skalarbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:

Kommutativgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a}\)

Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot\vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)

Ferner gilt für einen beliebigen Skalar \(\lambda\)

\(\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\-6\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\1\\\end{pmatrix} = 2\cdot 4 + 1\cdot (-2) + 1\cdot (-6) = 0\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}8\\-4\\-4\\\end{pmatrix} = 2\cdot 8 + (-1)\cdot (-4) + 5\cdot (-4) = 0\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}3\\1\\2\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2\\\end{pmatrix} = 3\cdot 3 + 1\cdot 2 + \cdot (-2) = 4\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}3\\0\\-1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix} = 6 + 0 - 1 = 5\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\)

\(\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right) = \frac{5}{3\sqrt{10}} = 0,53\)

\(\phi = \arccos(0,53) = 58,2^\circ\)

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) eingeschlossene Winkel \( \phi\)  lässt sich wie folgt berechnen

\(\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right)\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\-2\\3\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\3\\1\\\end{pmatrix} = 0 - 6 + 3 = -3\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{9} = \sqrt{10}\)

\(\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right) = \frac{(-3)}{\sqrt{14}\sqrt{10}} = -0,25\)

\(\phi = \arccos(-0,25) = 104,7^\circ\)

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) eingeschlossene Winkel \( \phi\)  lässt sich wie folgt berechnen

\(\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right)\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix} = - 2 - 9 - 48 = -59\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{48}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{74}\)

\(\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right) = \frac{-59}{\sqrt{48}\sqrt{74}} = -0,99\)

\(\phi = \arccos(-0,99) = 171,9^\circ\)

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) eingeschlossene Winkel \( \phi\)  lässt sich wie folgt berechnen

\(\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right)\)

Der Betrag

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}\)

daraus folgt

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = -\frac{1}{\sqrt{11}} \rightarrow \alpha = 107,5^\circ\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{11}} \rightarrow \beta = 72,45^\circ\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{3}{\sqrt{11}} \rightarrow \gamma = 25,24^\circ\)

Richtungswinkel zwischen einem Vektor und der Koordinatenachse

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung

\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

miteinander verknüpft.

Der Betrag

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)

daraus folgt

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \alpha = 109,5^\circ\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \beta = 70,1^\circ\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \gamma = 70,1^\circ\)

Richtungswinkel zwischen einem Vektor und der Koordinatenachse

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung

\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

miteinander verknüpft.

Der Betrag

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{38}\)

daraus folgt

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = -\frac{2}{\sqrt{38}} \rightarrow \alpha = 108,9^\circ\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{5}{\sqrt{38}} \rightarrow \beta = 35,8^\circ\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{(-3)}{\sqrt{38}} \rightarrow \gamma = 119,1^\circ\)

Richtungswinkel zwischen einem Vektor und der Koordinatenachse

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung

\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

miteinander verknüpft.

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen  \(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\), \( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\) und \(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\).

  Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft.

Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\)  berechnet.

Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 70^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(70) - \cos^2(70)} = 0,88 \rightarrow \gamma = 29^\circ\).

 Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind

\(a_x = |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha) = 3 \cdot \cos(70) = 1\)         \(a_y = |\vec{a}| \cdot \cos(\beta) = 3 \cdot \cos(70) = 1\)

\(a_z = |\vec{a}| \cdot \cos(\gamma) = 3 \cdot \cos(29) = 2,6\)

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\),\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\) ,\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\).

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\)  berechnet.

Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 60^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(60) - \cos^2(60)} = 0,7 \rightarrow \gamma = 45^\circ\)

Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind

\(a_x = |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(60) = 3\)          \(a_y = |\vec{a}| \cdot \cos(\beta) = 6 \cdot \cos(60) = 3\)

\(a_z = |\vec{a}| \cdot \cos(\gamma) = 6 \cdot \cos(45) = 4,2\)

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen \(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\),\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\),\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\)  berechnet.

Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 80^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(80) - \cos^2(80)} = 0,97 \rightarrow \gamma =14,22^\circ\)

Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind

\(a_x = |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(80) = 0,35\)            \(a_y = |\vec{a}| \cdot \cos(\beta) = 2 \cdot \cos(80) = 0,35\)

\(a_z = |\vec{a}| \cdot \cos(\gamma) = 2 \cdot \cos(14,22) = 1,94\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3\\1\\3\\\end{pmatrix} = 6 + (-1) + 0 = 5\)

\(|\vec{a}|^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 5\)

Die Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \(\vec{a}\) lautet dann

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a} = \frac{5}{5} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\3\\\end{pmatrix} = 1 - 2 - 9 = 8\)

\(|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (3)^2 = 14\)

Die Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \(\vec{a}\) lautet dann

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a} = \frac{8}{14} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/7\\8/7\\12/7\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}4\\2\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\0\\-2\\\end{pmatrix} = 20 + 0 + 0 = 20\)

\(|\vec{a}|^2 = (4)^2 + (2)^2 + 0^2 = 20\)

Die Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \(\vec{a}\) lautet dann

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a} = \frac{20}{20} \cdot \begin{pmatrix}4\\2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\2\\0\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Winkeln eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=c\) ergibt einen Skalar.

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(c=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=c\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=c\) ergibt einen Skalar.

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(c=\sum_i a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=c\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{-38}{\sqrt{277}\cdot \sqrt{20}})=120,7^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

mit \( \cos(90^{\circ})=0 \rightarrow\vec{A} \cdot \vec{B}=0\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

\(|\vec{AB}|=7,21 \) und \(|\vec{AC}|=6\) 

\(\alpha=360-303,69=56,31^\circ\) 

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 7,21\cdot 6\cdot cos(56,31^\circ)=23,996\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}=0\), weil \(cos(90)=0\) 

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

mit \(\vec{A} = \vec{B}= a\)

deshalb

\(23=a^2\cdot cos(74)\) 

folglich: \(a=\sqrt{ \frac{23}{cos(74)}}=9,13\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}=2\cdot 7,07 \cdot cos(180)=-14,14\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

mit \(\mid\vec{B}\mid =a\) und \(\mid\vec{A} \mid= \frac{a}{2}\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\frac{a}{2}\cdot a\cos(80,36)=\frac{a^2}{2}\cos(80,36)=12,06\)

Also: \(a=\sqrt{\frac{2\cdot 12,06}{cos(80,36)}}}=9,89\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Orthogonal sind Vektoren, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. 

Das Produkt der Vektoren muss also Null sein:

\(0=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z\) 

Nun muss man nur noch jeden Vektor mit jedem multiplizieren und schauen, ob das Ergebnis 0 ist. 

als Beispiel

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=4\cdot7,92+(-4)\cdot 7,92=0\)

Zuerst erstellen wir zwei Vektoren nach \(P_1\) bzw. \(P_2\) und zwar beide ausgehend vom Schnittpunkt \(S\). Mithilfe imaginärer Steigungsdreiecke kann man leicht ablesen, dass der Vektor \(\vec{SP_2} =\left( \begin{array}{c}-3\\3\end{array} \right)\) ist und \(\vec{SP_1}\left( \begin{array}{c}-3\\-3\end{array} \right)\) ist. 

Nun muss man sie nur noch mulitplizieren: \(\vec{SP_1}\cdot \vec{SP_2} = -3\cdot(-3)+3\cdot(-3)=0\)

Tipp: Um die Vektoren abzulesen hilft es, wenn man S als Ursprung sieht (Vektoren haben ja keine fixe Position)

Da die Absolutbeträge der Vektoren bekannt sind, fehlen nur noch die Winkel zwischen ihnen. 
Der Winkel \(\gamma\) zwischen \(\vec{AD} \) und \(\vec{AC}\) ist \(\gamma=180-53,13=126,87^\circ\)
Das Skalarprodukt \(\vec{AD} \cdot \vec{AC}=5\cdot5\cdot cos(126,87)=8.91\)

Der Winkel \(\rho\) zwischen \(\vec{AB} \) und \(\vec{AE}\) ist \(\rho=180-45=135^\circ\) 

Das Skalarprodukt \(\vec{AB}\cdot \vec{AE}=4\cdot4,24\cdot cos(135)=-11.99\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:

\(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{-111}{\sqrt{126}\cdot \sqrt{186}})=136,5^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:

\(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{117}{\sqrt{149}\cdot \sqrt{105}})=20,71^\circ\)

 Der Einheitsvektor entlang der x-Achse ist definiert als\(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\end{array} \right)\)

Somit ist das Skalarprodukt \(\vec{A}\cdot\vec{e_x}=8\cdot 1+9\cdot 0=8\).
Also gilt: \(\alpha=cos^{-1}\(\frac{8}{12,04}\)=48,37^\circ\)

Man multipliziert die Vektoren \( \vec{V}= \left( \begin{array}{c}5\\9\end{array} \right)\) mit \( \vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\\1\end{array} \right)\).

Daraus ergibt sich das Skalarprodukt \(\vec{V}\cdot\vec{e_y}=5\cdot 0+9\cdot 1=9\). 

\(\vec{V}\cdot\vec{e_y}=\mid\vec{V}\mid\cdot\mid\vec{e_y}\mid\cos\(\alpha\)\) also \(\alpha=cos^{-1}\(\frac{9}{\sqrt{106}}\)=29,05^\circ\)

Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\\a_z\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_x\\b_y\\b_z\end{array} \right)\) wird folgendermaßen berechnet:

\(\vec{A}\cdot \vec{B}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=c\) ergibt einen Skalar.

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(c=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=c\)

Anschliessend muss noch \(s=m\cdot c\) berechnet werden

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{33}{\sqrt{385}\cdot \sqrt{134}})=81,65^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{-22}{\sqrt{475}\cdot \sqrt{244}}\)=93,71^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{443}{\sqrt{882}\cdot \sqrt{718}}\)=56,26^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{-558}{\sqrt{1081}\cdot \sqrt{353}}\)=154,596^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{-241}{\sqrt{2189}\cdot \sqrt{1106}}\)=98,91^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{14717}{\sqrt{54971}\cdot \sqrt{26883}}\)=67,49^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{-1369}{\sqrt{1234}\cdot \sqrt{5694}}\)=121,095^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos\( \frac{-321}{\sqrt{681}\cdot \sqrt{173}}\)=159,26^\circ\)

Der Definition nach gilt

 \(\vec{\nabla}\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{array}\right)\), 

sodass sofort folgt, dass

\(\vec{\nabla}\vec{A}=\partial_{x}A_{1}+\partial_{y}A_{2}+\partial_{z}A_{3}\).