Fragenliste von Kreuzprodukt

Berechne das Vektorprodukt der Vektoren \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\)! Nr. 2106
	\(\begin{pmatrix} 8 \\ 27 \\ 7 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -8 \\ 22 \\ 7 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -8 \\ -22 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Welche Aussage(n) zum Kreuzprodukt ist/sind richtig? Nr. 2501
	Das Kommutativgesetz gilt.
	Das Distributivgesetz gilt.
	Das Assoziativgesetz gilt.
	Das Kreuzprodukt ist das Produkt zweier Skalare.
	Das Kreuzprodukt ist eine Sonderform des Skalarprodukts.

Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{A}\times (\vec{B} + \vec{C})\) mit den Vektoren: \(\vec{A}=\left(\begin{array}11\\23\\15\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}0,5\\2\\0,7\end{array}\right)\) und \(\vec{C}=\left(\begin{array}0,9\\0,2\\3\end{array}\right)\) Nr. 2560
	\(\left(\begin{array}4,95\\9,2\\31,5\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}52,1\\-19,7\\-8\end{array}\right)\)
	\(121\)
	\(131\)
	keine dieser Lösungen ist richtig.
Lösungsweg Zwei Vektoren \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden addiert indem sie komponentenweise addiert werden\(\)\(\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\). Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\) komponentenweise addieren und dann das Kreuzprodukt des Vektors \(\vec{A}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{A}\right.\left.\times\right. \left(\vec{B}+\vec{C}\right)= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1+c_1\\b_2+c_2\\b_3+c_3\end{array} \right)\).

Berechne das Kreuzprodukt von \( \vec{A} \times\vec{B} \) mit den Vektoren \(\vec{A}=\left(\begin{array}4\\3\\-5\end{array}\right)\) und \(\vec{B}=\left(\begin{array}-6\\2\\7\end{array}\right)\) Nr. 2561
	\(\vec{C}=\left(\begin{array}35\\74,8\\25\end{array}\right)\)
	\(\vec{C}=\left(\begin{array}16,6\\7,69\\12,5\end{array}\right)\)
	\(\vec{C}=\left(\begin{array}44\\12\\-28\end{array}\right)\)
	\(\vec{C}=\left(\begin{array}31\\2\\26\end{array}\right)\)
	\(c=491,2\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{D}=\left(\begin{array}6\\3\\2\end{array}\right) \)und \(\vec{F}=\left(\begin{array}2\\5\\-4\end{array}\right)\) Nr. 2569
	19
	\(\left(\begin{array}8\\8\\-2\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}8\\8\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}12\\15\\8\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}-22\\-28\\24\end{array}\right)\)
Lösungsweg \(\vec{D}\cdot\vec{F}=\left(\begin{array}d1\\d2\\d3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}f1\\f2\\f3\end{array}\right) = \left(\begin{array}d1\cdot f1\\d2\cdot f2\\d2 \cdot f3\end{array}\right) \)

Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{C}=\left(\begin{array}0,75\\0,25\\0,33\end{array}\right)\) und \(\vec{G}=\left(\begin{array}28\\54\\66\end{array}\right)\) Nr. 2570
	\(\vec{K}=\left(\begin{array}28,75\\54,25\\66,33\end{array}\right)\)
	\(k=\left(\begin{array}28,75\\54,25\\66,33\end{array}\right)\)
	\(\vec{K}=\left(\begin{array}-1,32\\-40,26\\33,5\end{array}\right)\)
	\(k=56,28\)
	\(cg=196,84\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\).

Berechne des Kreuzprodukt von \(\vec{A} \) und \(-\vec{A} \) mit \(\vec{A}=\left(\begin{array}14\\-9\\13\end{array}\right)\) Nr. 2575
	\(0\)
	\(\left(\begin{array}0\\0\\0\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}196\\-81\\169\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}-196\\-81\\-169\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}-196\\81\\-169\end{array}\right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Wenn \(\vec{A}=\left(\begin{array}14\\-9\\13\end{array}\right)\) gilt \(-\vec{A}=\left(\begin{array}-14\\9\\-13\end{array}\right)\). D.h. die Vektoren sind antiparallel zuseinander und so wie bei parallelen Vektoren ist deren Kreuzprodukt der Nullvektor \(\ve{A}\times(-\vec{A})=\left(\begin{array}0\\0\\0\end{array}\right)\)

Das Kreuzprodukt \(\left(\begin{array}6\\-15\\9\end{array}\right)\) kann durch die Kombination welcher zwei Vektoren erzeugt werden? Nr. 2586
	\(\left(\begin{array}5\\4\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5\\6\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}3\\3\\3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}3\\6\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5\\8\\10\end{array}\right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt \(\left(\begin{array}-16\\-8\\28\end{array}\right)\) kann durch die Kombination welcher zwei Vektoren erzeugt werden? Nr. 2588
	\(\left(\begin{array}16\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}2\\1\\2\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4\\-1\\2\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}8\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}8\\5\\5\end{array}\right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt \(\left(\begin{array}5\\-32\\20\end{array}\right)\) kann durch die Kombination welcher zwei Vektoren erzeugt werden? Nr. 2589
	\(\left(\begin{array}8\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}2\\2,5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}16\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4\\5\\7\end{array}\right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

In welchem Verhältnis stehen das Vektorprodukt und das Kreuzprodukt? Nr. 2590
	Das Kreuzprodukt ist ein Sonderfall des Vektorprodukts.
	Das Vektorprodukt ist ein Sonderfall des Kreuzprodukts.
	Beide Begriffe sind Synonyme.
	Das Vektorprodukt ist die Darstellung des Kreuzrproduktes als Skalar.
	Ein Kreuzprodukt hat eine Standardbasis, ein Vektorprodukt nicht; ansonsten bezeichnen sie Dasselbe.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B} \) ist definiert als: Nr. 2593
	\(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \)
	\(\vec{A} \times\vec{B} = \vec{A} \cdot \vec{B} \cdot sin(\alpha)\)
	\(\vec{A} \times\vec{B} = \mid\vec{A}\mid \cdot \mid\vec{B} \mid\cdot sin(\alpha)\)
	\(\vec{A} \times\vec{B} = \vec{A} \cdot \vec{B} \cdot sin(\alpha) \cdot \vec{u}\)
	\(\vec{A} \times\vec{B} = \mid\vec{A}\mid \cdot \mid\vec{B} \mid\cdot sin(\alpha) \cdot \vec{u}\)

Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{D} \times(\vec{E} - \vec{F})\) mit den Vektoren \(\vec{D}=\left(\begin{array}0,4\\3,1\\2,5\end{array}\right)\), \(\vec{E}=\left(\begin{array}9,4\\4,2\\8,3\end{array}\right)\) und \(\vec{F}=\left(\begin{array}2,1\\6,3\\1,2\end{array}\right)\) Nr. 2597
	\(\left(\begin{array}3,16\\32,55\\23,75\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}1,66\\6,72\\19,55\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}2,92\\6,72\\23,75\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}2,92\\6,51\\17,75\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}27,26\\15,41\\-23,47\end{array}\right)\)
Lösungsweg \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden subtrahiert indem sie komponentenw. subtrahiert werden\(\) \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)\). Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{E}\) und \(\vec{F}\) komponentenweise subtrahieren und dann das Kreuzprodukt des Vektors \(\vec{D}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{D}\right.\times \left(\vec{E}-\vec{F}\right)= \left( \begin{array}{c}d_1\\d_2\\d_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}e_1-f_1\\e_2-f_2\\e_3-f_3\end{array} \right)\).

Markiere die richtige(n) Aussage(n) über das Kreuzprodukt! Nr. 2629
	Zur Berechnung des Kreuzprodukts gelten dieselben Regeln wie zur Berechnung des Skalarproduktes.
	Die Länge von \(\vec{A}\times\vec{B}\) entspricht der Fläche eines Parallelogramms.
	Die Summe von \(\vec{A} \) und \(\vec{B}\) entspricht der Fläche eines Parallelogramms.
	Gilt \(\vec{A} \times\vec{B} = \vec{0}\) so ist mindestens einer der Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) der Nullvektor \(\vec{0}\) selbst.
	Gilt \(\vec{A} \times\vec{B} = \vec{0}\) so sind \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) parallel zueinander.
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Wenn \(\vec{A}\cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot\vec{B}+ \vec{A} \cdot\vec{C}\) gilt, dann... Nr. 2630
	...entspricht dies dem Distributivgsetz für Vektoren.
	...entsprich dies dem Assoziativgesetz für Vektoren.
	...entspricht dies dem Kommutativgesetz für Vektoren.
	... steht \(\vec{A}\) senkrecht auf \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\)
	... ist \(\vec{A}\) ein Einheitsvektor.

Der Vektor \(\vec{D}=\left(\begin{array}-13,08\\8,45\\12,18\end{array}\right)\) ist das Kreuzprodukt welcher Vektoren? Nr. 2631
	\(\left(\begin{array}2,92\\-1,21\\6,42\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}3,02\\3,002\\1,421\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4,021\\-2,51\\4,729\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}1,34\\-1,5\\2,48\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5,25\\3,21\\3,41\end{array}\right)\)
Lösungsweg Hinweis: \(\vec{D}\) ist das Produkt aus zwei der angegebenen Vektoren. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{D}=\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{D}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gegeben sind die Vektoren: \(\vec{A}=\left(\begin{array}1,34\\-1,5\\2,48\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}5,25\\3,21\\3,41\end{array}\right)\), \(\vec{C}=\left(\begin{array}4,02\\-2,51\\4,72\end{array}\right)\), \(\vec{D}= \left(\begin{array}3,02\\3\\1,42\end{array}\right)\) und \(\vec{E}=\left(\begin{array}2,92\\-1,21\\6,42\end{array}\right)\). Mit welchen dieser Vektoren lässt sich wie das Kreuzprodukt \(\vec{F}=\left(\begin{array}8,71\\-1,94\\-5,88\end{array}\right) \)erreichen? Nr. 2632
	\(\vec{A} \times(\vec{D}+\vec{E})\)
	\(\vec{C} \times(\vec{F}-\vec{E})\)
	\(\vec{A} \times(\vec{C}-\vec{D})\)
	\(\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{D})\)
	\(\vec{E} \times\vec{F}\)
Lösungsweg Allgemein gilt Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) und zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) werden subtrahiert indem ihre Komponenten subtrahiert werrden \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1- b_1\\a_2- b_2\\a_3- b_3\end{array} \right)\).

Gegeben sind die Vektoren: \(\vec{A}=\left(\begin{array}1,3\\1,5\\2,4\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}5,2\\3,2\\3,4\end{array}\right)\), \(\vec{C}=\left(\begin{array}4,2\\2,2\\4,7\end{array}\right)\), \(\vec{D}= \left(\begin{array}3,4\\3,2\\1,4\end{array}\right) \) und \(\vec{E}=\left(\begin{array}2,9\\1,2\\6,4\end{array}\right)\) Mit welchen dieser Vektoren lässt sich wie das Kreuzprodukt \(\vec{E}=\left(\begin{array}18,8\\-17,7\\-5,2\end{array}\right)\) berechnen? Nr. 2633
	\(\vec{A} \times(\vec{B}+\vec{C})\)
	\(\vec{B} \times(\vec{A}-\vec{D})\)
	\(\vec{C} \times\vec{B}\)
	\(\vec{D} \times\vec{E}\)
	\(\vec{E} \times\vec{B}\)
Lösungsweg Allgemein gilt Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\4\\-1\\\end{pmatrix} \) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\-2\\1\\\end{pmatrix} \) . Berechne \(\vec{s} = \vec{a}\times \vec{b} \) Nr. 2801
	\(\vec{s} = \begin{pmatrix}-6\\2\\-4\\\end{pmatrix} \)
	\(\vec{s} = \begin{pmatrix}2\\2\\-2\\\end{pmatrix} \)
Lösungsweg \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\) Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\4\\-1\\\end{pmatrix} \) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\-2\\1\\\end{pmatrix} \) .

Berechne \(\vec{s} = \vec{a}\times \vec{b} \)

Nr. 2801

\(\vec{s} = \begin{pmatrix}-6\\2\\-4\\\end{pmatrix} \)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix}2\\2\\-2\\\end{pmatrix} \)

Lösungsweg

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\4\\3\\\end{pmatrix} \) , \(\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\-3\\4\\\end{pmatrix} \) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix}-4\\1\\1\\\end{pmatrix} \) . Berechne \(\vec{s} = (-\vec{a} + 2\vec{b} ) \times \vec{c}\) Nr. 2802
	\(\vec{s}= \begin{pmatrix}5\\2\\18\\\end{pmatrix} \)
	\(\vec{s}= \begin{pmatrix}-2\\5\\0\\\end{pmatrix} \)
Lösungsweg \(\vec{s} = (- \begin{pmatrix}1\\4\\3\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}0\\-3\\4\\\end{pmatrix} )\times \begin{pmatrix}-4\\1\\1\\\end{pmatrix} \)\(= \begin{pmatrix}-1\\-10\\1\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\1\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\2\\18\\\end{pmatrix} \) Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\4\\3\\\end{pmatrix} \) , \(\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\-3\\4\\\end{pmatrix} \) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix}-4\\1\\1\\\end{pmatrix} \) .

Berechne \(\vec{s} = (-\vec{a} + 2\vec{b} ) \times \vec{c}\)

Nr. 2802

\(\vec{s}= \begin{pmatrix}5\\2\\18\\\end{pmatrix} \)

\(\vec{s}= \begin{pmatrix}-2\\5\\0\\\end{pmatrix} \)

Lösungsweg

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\\\end{pmatrix} \) , \(\vec{b} = \begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix} \) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix}2\\0\\7\\\end{pmatrix} \) . Berechne \(\vec{s} = (\vec{a} + \vec{b} ) \times 3\vec{c}\) Nr. 2803
	\(\vec{s} = \begin{pmatrix}-84\\-105\\24\\\end{pmatrix} \)
	\(\vec{s} = \begin{pmatrix}84\\105\\-24\\\end{pmatrix} \)
Lösungsweg \(\vec{s} = ( \begin{pmatrix}2\\-1\\3\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix} )\times 3 \begin{pmatrix}2\\0\\7\\\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}5\\-4\\0\\\end{pmatrix} \times 3 \begin{pmatrix}2\\0\\7\\\end{pmatrix} \)\(= \begin{pmatrix}-84\\-105\\24\\\end{pmatrix} \) Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\\\end{pmatrix} \) , \(\vec{b} = \begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix} \) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix}2\\0\\7\\\end{pmatrix} \) .

Berechne \(\vec{s} = (\vec{a} + \vec{b} ) \times 3\vec{c}\)

Nr. 2803

\(\vec{s} = \begin{pmatrix}-84\\-105\\24\\\end{pmatrix} \)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix}84\\105\\-24\\\end{pmatrix} \)

Lösungsweg

Berechne den Flächeninhalt A des von den beiden Spaltenvektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-2\\6\\\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\3\\2\\\end{pmatrix}\) aufgespannten Parallelogramms. Nr. 2804
	\(A = 22,3 m^2\)
	\(A = 44,3 m^2\)
Lösungsweg \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\-2\\6\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\3\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4-18\\-2\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-22\\-2\\3\\\end{pmatrix}\) \(A = \|\vec{a} \times \vec{b}\| = \sqrt{(-22)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{497} = 22,3 m^2\) Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Berechne den Flächeninhalt A des von den beiden Spaltenvektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-2\\0\\\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\2\\-6\\\end{pmatrix}\) aufgespannten Parallelogramms. Nr. 2805
	\(A = 18 m^2\)
	\(A = 8 m^2\)
Lösungsweg \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-2\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\2\\-6\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12\\-12\\6\\\end{pmatrix}\) \(A = \|\vec{a} \times \vec{b}\| = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 6^2} = 18 m^2\) Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Berechne den Flächeninhalt A des von den beiden Spaltenvektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\4\\-3\\\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\2\\5\\\end{pmatrix}\) aufgespannten Parallelogramms. Nr. 2806
	\(A = 26,5 m^2\)
	\(A = 6,5 m^2\)
Lösungsweg \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\4\\-3\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\2\\5\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26\\-3\\-4\\\end{pmatrix}\) \(A = \|\vec{a} \times \vec{b}\| = \sqrt{26^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{701} = 26,5 m^2\) Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\-5\\4\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\-4\\2\end{array} \right)\) Nr. 3211
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}28\\16\\23\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\28\\14\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-28\\-47\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\28\\17\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt von \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\10\\5\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-4\\-3\end{array} \right)\) Nr. 3212
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\5\\-10\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}12\\2\\3\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-10\\1\\-8\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\10\\-8\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\-8\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-2\\-5\\3\end{array} \right)\) Nr. 3213
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}12\\-33\\61\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-9\\-33\\-61\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\3\\-33\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-9\\33\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\-3\\8\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}11\\-7\\6\end{array} \right)\) Nr. 3214
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}23\\66\\36\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}83\\-67\\-19\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}38\\76\\19\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}11\\6\\-5\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-4\\-8\end{array} \right)\) Nr. 3216
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-68\\78\\-56\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}68\\78\\56\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-68\\-78\\56\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-68\\-78\\-56\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt von \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-5\\-3\\-6\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-7\\-4\\-2\end{array} \right)\) Nr. 3217
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-32\\-1\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-18\\32\\-1\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}66\\32\\1\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\-32\\10\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt von Vektor \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\\-4\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-9\\3\\-2\end{array} \right)\) Nr. 3218
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}16\\48\\0\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-16\\-48\\-10\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-16\\-48\\0\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}160\\-480\\10\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Bilde das Kreuzprodukt aus\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\-3\\2\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\5\\-2\end{array} \right)\) Nr. 3219
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-6\\-27\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-4\\6\\27\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-8\\-27\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-27\\-4\\6\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt aus Vektor \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-9\\-14\\5\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\5\\-4\end{array} \right)\) Nr. 3234
	\( \vec{A}\times\vec{}B= \left( \begin{array}{c}31\\4\\67\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}31\\-4\\67\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-31\\4\\67\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}31\\-4\\-67\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt aus den Einheitvektoren \(\vec{e_x}\) und \(\vec{e_y}\) ergibt: Nr. 3253
	Einen Nullvektor
	\(\vec{e_z}\)
	Einen beliebigen Vektor
	Einen Skalar
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Für die Einheitsvektoren \(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\\1\\0\end{array} \right)\) bedeutet das \(\vec{e_x}\times\vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\cdot 0 - 1\cdot 0\\0\cdot 0-1\cdot 0\\1 \cdot 1-0 \cdot 0\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)=\vec{e_z}\)

Gegeben seien die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\5\\6\end{array} \right)\), \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\3\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\10\\9\end{array} \right)\) Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{s}=\) \((2\vec{A}-\vec{B}) \times \vec{C\) Nr. 3300
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}77\\88\\132\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-77\\-88\\132\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-77\\-88\\-132\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-77\\88\\-132\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}77\\-88\\132\end{array} \right)\)
Lösungsweg Zunächste die Subtraktion von \(2\vec{A}-\vec{B\) \(\vec{}= \left( \begin{array}{c}18-2\\10-3\\12-(-2)\end{array} \right)\) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Davon wird das Kreuzprodukt mit \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\10\\9\end{array} \right)\) gebildet: \( \left( \begin{array}{c}16\\7\\14\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}4\\10\\9\end{array} \right)=\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-77\\-88\\132\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt aus \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}-6\\8\\13\end{array} \right)\) und \(\vec{W}= \left( \begin{array}{c}17\\12\\2\end{array} \right)\). Nr. 3301
	\(\vec{V}\times \vec{W}= \left( \begin{array}{c}-140\\-233\\-208\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}\times \vec{W}= \left( \begin{array}{c}140\\-233\\-208\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}\times \vec{W}= \left( \begin{array}{c}-140\\233\\208\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}\times \vec{W}= \left( \begin{array}{c}-140\\233\\-208\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt zwischen \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}124\\-23\\34\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-14\\15\\-16\end{array} \right)\) Nr. 3302
	\( \vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}142\\1508\\1538\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-142\\-1508\\1538\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-142\\1508\\-1538\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-142\\1508\\1538\end{array} \right)\)
	\( \vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-142\\-1508\\-1538\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Was ist das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-8\\-7\\12\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-9\\4\\7\end{array} \right)\) Nr. 3303
	\(\vec{A} \times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-97\\-52\\-95\end{array} \right)\)
	\(\vec{A} \times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}97\\-52\\95\end{array} \right)\)
	\(\vec{A} \times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}97\\52\\95\end{array} \right)\)
	\(\vec{A} \times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-97\\52\\95\end{array} \right)\)
	\(\vec{A} \times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}97\\-52\\95\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Welcher Vektor \(\vec{C}\)ist orthogonal zu den Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}18\\15\\-13\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-11\\-15\\18\end{array} \right)\)? Nr. 3304
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}75\\181\\105\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-75\\181\\-105\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}75\\-181\\-105\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-75\\-181\\-105\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-75\\181\\-105\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\). Der resultierende Vektor \(\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}\) ist orthogonal auf beide Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)-

Gesucht ist das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}7\\-8\\6\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}16\\-14\\9\end{array} \right)\). Nr. 3305
	\(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}12\\33\\30\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}12\\-33\\-30\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-33\\30\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}12\\-33\\30\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\5\\-9\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-5\\9\end{array} \right)\). Nr. 3306
	Es ist nicht möglich, das Kreuzprodukt zwischen diesen Vektoren zu berechnen.
	Das Ergebnis ist ein Nullvektor
	\(\vec{A} \times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right)\)
	Das Ergebnis ist ein Skalar
	Keine dieser Antworten ist korrekt
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Gegeben seien zwei Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}14\\9\\10\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-4\\3\\-7\end{array} \right)\) (in Meter). Gib die Fläche \(X\)des Parallelogramms, welches durch die Seiten \(\vec{A}\) und \(\vec{B\) begrenzt wird, an. Nr. 3317
	\(X=143,3 m^2\)
	\(X=127,8\,m^2\)
	\(X=134,5\,m^2\)
	\(X=141,9\,m^2\)
Lösungsweg Dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)aufgespannt wird, entspricht der Länge des Kreuzpoduktes \(\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid\). Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) Also: \(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-93\\58\\78\end{array} \right)\) und davon der Absolutbetrag: \(X=\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid=\sqrt{(-93)^2+58^2+78^2}=134,525\,m^2\)

Gesucht ist der Flächeninhalt \(A\) des Parallelogramms, welches durch die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-9\\12\\8\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\5\\7\end{array} \right)\) begrenzt wird. Nr. 3318
	\(A=53,2\)
	\(A=47,2\)
	\(A=59,5\)
	\(A=55,8\)
Lösungsweg Dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)aufgespannt wird, entspricht der Länge des Kreuzpoduktes \(\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid\). Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) Der Flächeninhalt eines Parallelograms, welches durch zwei Vektoren begrenzt wird, ergibt sich durch den Absolutbetrag des Kreuzproduktes beider Vektooren. Alos \(\vec{A} \times \vec{B}=\left( \begin{array}{c}44\\39\\-9\end{array} \right)\)und davon der Absolutbetrag: \(A=\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid=\sqrt{44^2+39^2+(-9)^2}=59,4811\)

Berechne den Flächeninhalt \(X\) des Parallelogramms, welches durch die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}13\\9\\4\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\-4\\-3\end{array} \right)\) begrenzt wird. Nr. 3319
	\(X=153,1\)
	\(X=149,7\)
	\(X=14,63\)
	\(X=155,4\)
Lösungsweg Dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)aufgespannt wird, entspricht der Länge des Kreuzpoduktes \(\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid\).reuzprodukt: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) Also \(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-11\\75\\-133\end{array} \right)\) und davon der Absolutbetrag: \(X=\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid=\sqrt{(-11)^2+75^2+(-133)^2}=153,085\)

Der Flächeninhalt eines Rhombus (Parallelogramm mit 4 gleichlangen Seiten) beträgt \(A=65m^2\). Die zwei Komponenten des Vektors \(\vec{V}\), dessen Betrag dem Flächeninhalt entspricht, sind gleich. Gib die Komponenten des Vektors an. Nr. 3320
	\(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}45,962\\45,962\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}40,966\\40,966\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}47,323\\47,323\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}42,855\\42,855\end{array} \right)\)
	\(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}49,143\\49,143\end{array} \right)\)
Lösungsweg Sei \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}a\\a\end{array} \right)\), dann gilt \(\|\vec{V}\|=\sqrt[2]{2a^2}\), also \(65m^2=\sqrt[2]{2a^2}\) Daraus folgt, dass \(a=45,96194m^2\). Probe: \(65=\sqrt[2]{45,96194^2+45,96194^2}\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3391
	\(\vec{u} \times \vec{v}=-45\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=45\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=55\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=-55\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}4\\-5\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}5\\5\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=20-(-25)=45\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3392
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 23\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 16\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 19\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 11\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}3\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}2\\5\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=15-(-4)=19\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3393
	\(\vec{u} \times \vec{v}=9\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=22\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=20\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=15\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=12-3=9\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3394
	\(\vec{u} \times \vec{v}= 10\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}= 15\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}= 8\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}= 17\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \( \vec{u}= \left( \begin{array}{c}-2\\-2\end{array} \right)\) und \( \vec{v}= \left( \begin{array}{c}4\\-1\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=2-(-8)=10\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3395
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 12\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 11\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 10\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 13\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}4\\-1\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=-1-(-12)=11\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3396
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 13\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = -10\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = -8\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 15\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-5\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}0\\2\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=-10-0=-10\)

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3397
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 0\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 10\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = -2\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 2\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}=\left( \begin{array}{c}-5\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\left( \begin{array}{c}5\\2\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=-10-(-10)=0\)

Gegeben seien zwei beliebige Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Welche der vorliegenden Antworten ist/sind korrekt (sofern \(\theta\) den Winkel bezeichnet, der von Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) aufgespannt wird)? Nr. 4142
	\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta\)
	\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\cos^{2}\theta\)
	\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\sin^{2}\theta\)
	\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\cos^{2}\theta\)
Lösungsweg Mit Hilfe der Lagrange Identität \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\), deren Gültigkeit in einem der vorangegangen Beispiele dargelegt wurde, findet man sogleich \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})-(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cos^{2}\theta\) und daher wegen \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\) \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\sin^{2}\theta\) was gleichbedeutend ist mit \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta\).

Wie lautet das Ergebnis der Summe \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}+(\vec{A},\vec{B})^2\)? Nr. 4143
	\((\vec{A},\vec{B})\)
	\((\vec{A},\vec{A})\)
	\((\vec{B},\vec{B})\)
	\((\vec{A},\vec{B})^2\)
	\((\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\)
Lösungsweg Hier benutzt man, dass einerseits gilt \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\sin^{2}\theta\) und andererseits \((\vec{A}\cdot\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\cos^{2}\theta\), sodass unter Verwendung von \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\) sofort folgt, dass \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}+(\vec{A}\cdot\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\).

Gegeben seien zwei beliebige Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Welche der beiden unten angeführten Aussagen ist richtig? Nr. 4144
	\((\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{B}\times\vec{A})\)
	\((\vec{A}\times\vec{B})=-(\vec{B}\times\vec{A})\)
Lösungsweg Der Definition nach gilt \((\vec{A}\times\vec{B})=\left(\begin{array}{c}A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}\\A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3}\\A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\end{array}\right)\). Daher folgt aber \(-(\vec{B}\times\vec{A})=\left(\begin{array}{c}-B_{2}A_{3}+B_{3}A_{2}\\-B_{3}A_{1}+B_{1}A_{3}\\-B_{1}A_{2}+B_{2}A_{1}\end{array}\right)\) und somit \((\vec{A}\times\vec{B})=-(\vec{B}\times\vec{A})\).

Gegeben seien zwei parallele Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\), was gemeinhin mit \(\vec{A}\parallel\vec{B}\) bezeichnet wird. Welche der unten angeführten Aussagen ist korrekt? Nr. 4145
	\(\vec{A}\times\vec{B}=0\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}=\vec{A}\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}=\vec{B}\)
Lösungsweg Aus der Beziehung \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta,\) deren Gültigkeit in einem vorangegangenen Beispiel aufgezeigt wurde, lässt sich leicht folgern, dass \((\vec{A}\times\vec{B})=AB\cdot\sin\theta\) gilt. Für parallele Vektoren gilt aber stets \(\sin\theta = 0\), sodass sich \(\vec{A}\times\vec{B}=0\) folgern lässt. Anmerkung: Man spricht hier in diesem Kontext sehr oft von Kollinearität von Vektoren.

Gegeben seien drei beliebige Vektoren \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\). Welche der unten angeführten Aussagen ist korrekt? Nr. 4146
	\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\neq\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\)
	\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\)
Lösungsweg Der Definition nach gilt \((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\left(\begin{array}{c} (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{3}\\ (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{1}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{2} \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{2}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{3}\\ (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{1} \end{array}\right)\) beziehungsweise \(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\left(\begin{array}{c} A_{2}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{3}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2})\\ A_{1}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3}) \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} A_{3}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3})\\ A_{1}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{2}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2}) \end{array}\right)\). Somit folgt aber sogleich \((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\neq\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\). Anmerkung: Da man also nicht beliebig Klammern setzen kann, handelt es sich beim Kreuz- alias Vektorprodukt um ein nicht-assoziatives Produkt.

Gegeben seien die vier Vektoren \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\) und \(\vec{D}\). Wie lautet das Ergebnis der Rechnung \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})+(\vec{B}\times\vec{C})(\vec{A}\times\vec{D})+(\vec{C}\times\vec{A})(\vec{B}\times\vec{D})=...?\) Nr. 4161
	\(0\)
	\((\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})\)
	\((\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{C}\cdot\vec{D})\)
	\((\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\)
Lösungsweg Die Gültigkeit des Entwicklungssatzes \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\) wurde in einer vorangegangenen Aufgabe bewiesen. Basierend auf seiner Gültigkeit ergibt sich \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})+(\vec{B}\times\vec{C})(\vec{A}\times\vec{D})+(\vec{C}\times\vec{A})(\vec{B}\times\vec{D})=\)\((\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B} \cdot \vec{C})+\) \(+(\vec{B}\cdot\vec{A})(\vec{C}\cdot\vec{D})-(\vec{B}\cdot\vec{D})(\vec{A}\cdot\vec{C})+(\vec{C}\cdot\vec{B})(\vec{A}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{C}\cdot\vec{D})\). Damit folgt aber \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})+(\vec{B}\times\vec{C})(\vec{A}\times\vec{D})+(\vec{C}\times\vec{A})(\vec{B}\times\vec{D})=0.\)

Gegeben seien \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\). Wie lautet das Ergebnis der Rechnung \(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})+\vec{B}\times(\vec{C}\times\vec{A})+\vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B})=...\)? Nr. 4162
	\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})\)
	\(\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})\)
	\(\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})\)
	\(0\)
Lösungsweg Verwendet man die Identität \(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B})\), so ergibt sich unter zyklischer Vertauschung \(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})+\vec{B}\times(\vec{C}\times\vec{A})+\vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B})\)\(=\vec{B}(\vec{A}\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B})+\vec{C}(\vec{B}\vec{A})-\vec{A}(\vec{B}\vec{C})+\vec{A}(\vec{C}\vec{B})-\vec{B}(\vec{C}\vec{A})=0.\) Anmerkung: Die abgeleitete Relation wird als Jacobi-Identität bezeichnet.

Gegeben seien zwei dreikomponentige Vektorfelder \(\vec{A}(t)\) und \(\vec{B}(t)\). Gilt bezüglich dem Kreuzprodukt die Leibnizregel, sodass sich\( \frac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B})=\dot{\vec{A}}\times\vec{B}+\vec{A}\times\dot{\vec{B}}\) als wahr herausstellt? Nr. 4166
	Ja
	Nein
Lösungsweg Selbstverständlich gilt bezüglich Kreuzprodukt die Produkt- alias Leibnizregel. In Komponentenschreibweise gilt nämlich \((\vec{A}\times\vec{B})_{i}=\frac{d}{dt}\left(\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}A_{j}B_{k}\right)\)\(=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\dot{A}_{j}B_{k}+A_{j}\dot{B}_{k})=(\dot{\vec{A}}\times\vec{B})_{i}+(\vec{A}\times\dot{\vec{B}})_{i}\).

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