Fragenliste von Anwendungsbeispiele

Ein Schiff fährt mit seiner Eigengeschwindigkeit \( \vec{v}_S=\left( \begin{array} 8,0 \frac{m}{s} \\ 0,0 \frac{m}{s} \end{array} \right) \) und wird zusätzlich durch die Strömung des Flusses mit der Geschwindigkeit \( \vec{v}_F=\left( \begin{array} 0,0 \frac{m}{s} \\ 2,0 \frac{m}{s} \end{array} \right) \) abgetrieben. Auf dem Deck des Schiffes läuft ein Passagier mit der Geschwindigkeit \( \vec{v}_P=\left( \begin{array} -1,0 \frac{m}{s} \\ 1,0 \frac{m}{s} \end{array} \right) \) relativ zum Schiff. Ermittle den Betrag der Geschwindigkeit des Passagiers relativ zum Ufer/Erdoberfläche. Nr. 1611
	\(v_{total}=\left( \begin{array} 7,0 \frac{m}{s} \\ 3,0 \frac{m}{s} \end{array} \right) \)
	\(v_{total}=\left( \begin{array} -1,0 \frac{m}{s} \\ 3,0 \frac{m}{s} \end{array} \right) \)
	\(v_{total}=58,0 \frac{m}{s} \)
	\(v_{total}=7,6 \frac{m}{s} \)
Lösungsweg Um den Geschwindigkeitsvektor des Passagiers bzgl. des Ufers zu ermitteln müssen wir zunächst alle drei Vektoren (komponentenweise) addieren. In diesem Fall erhalten wir so den (Gesamt-)geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}_{total}=\left( \begin{array} 7,0 \frac{m}{s} \\ 3,0 \frac{m}{s} \end{array} \right)\). Der Betrag hiervon ist \(v_{total} \equiv \|\vec{v}_{total}\| = \sqrt{ (7,0 \frac{m}{s})^2 + (3,0 \frac{m}{s})^2 }=7,6 \frac{m}{s}\).

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{124}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}5\\3\end{array}\right)\). Wie schnell fliegt das Flugzeug relativ zur Erdoberfläche? Nr. 1982
	\(v_{neu}=190,5\frac ms\)
	\(v_{neu}=195,2\frac ms\)
	\(v_{neu}=208,3\frac ms\)
	\(v_{neu}=210,8\frac ms\)
	\(v_{neu}=223,1\frac ms\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{124}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}5\\3\end{array}\right)\). In welche Richtung fliegt das Flugzeug? Nr. 1983
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}120\\152\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}140\\126\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}130\\166\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}145\\182\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}168\\140\end{array}\right)\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{124}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}5\\3\end{array}\right)\). Wie lange braucht das Flugzeug für eine Entfernung von \(s=1000 km\)? Nr. 1984
	\(t= 58 min\)
	\(t =1 h\ \ 19 min\)
	\(t =1 h\ \ 35 min\)
	\(t =1 h\ \ 47 min\)
	\(t =2 h\ \ 2 min\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{124}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}{r}-5\\3\end{array}\right)\). In welche Richtung fliegt das Flugzeug? Nr. 1985
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}{r}55\\83\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}{r}65\\90\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}{r}120\\132\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}{r}112\\168\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}{r}132\\124\end{array}\right)\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{124}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}{r}-5\\3\end{array}\right)\). Wie schnell fliegt das Flugzeug? Nr. 1986
	\(v_{neu}=187,3\frac ms\)
	\(v_{neu}=195,5\frac ms\)
	\(v_{neu}=199,1\frac ms\)
	\(v_{neu}=202,7\frac ms\)
	\(v_{neu}=210,3\frac ms\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{124}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}{r}-5\\3\end{array}\right)\). Wie lange braucht das Flugzeug für eine Entfernung von \(s=1000km\)? Nr. 1987
	\(t=56min\)
	\(t=1h\ \ 12min\)
	\(t=1h\ \ 19min\)
	\(t=1h\ \ 21min\)
	\(t=1h\ \ 24min\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{496}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}{r}-5\\-3\end{array}\right)\). In welche Richtung fliegt das Flugzeug? Nr. 1988
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}19\\31\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}21\\34\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}25\\32\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}29\\41\end{array}\right)\)
	\(\vec v_{neu}=\left(\begin{array}31\\39\end{array}\right)\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{496}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}{r}-5\\-3\end{array}\right)\). Wie schnell fliegt das Flugzeug? Nr. 1989
	\(v_{neu}=155,3\frac ms\)
	\(v_{neu}=162,4\frac ms\)
	\(v_{neu}=173,5\frac ms\)
	\(v_{neu}=181,6\frac ms\)
	\(v_{neu}=194,7\frac ms\)

Ein Flugzeug würde bei Windstille mit konstanter Geschwindigkeit \(v=200 \frac ms\) in Richtung \(\vec v=\left(\begin{array}{r}3\\4\end{array}\right)\) fliegen. Der Wind bläst konstant \(w=\sqrt{496}\frac ms\) in Richtung \(\vec w=\left(\begin{array}{r}-5\\-3\end{array}\right)\). Wie lange braucht das Flugzeug für eine Entfernung von \(s=1000km\)? Nr. 1990
	\(t=1h\ \ 17min\)
	\(t=1h\ \ 28min\)
	\(t=1h\ \ 34min\)
	\(t=1h\ \ 39min\)
	\(t=1h\ \ 43min\)

Eine Kraft \(\vec{F} = \begin{pmatrix}3\\-1\\1\\\end{pmatrix} \) \( N\) soll in die selbe Richtung wie \(\vec{s} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix}\) schauen. Wie lautet \(\vec{F_s}\)? Nr. 2795
	\(\vec{F_s} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{F_s} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\1\\\end{pmatrix} N = 1 N\) \(\|\vec{s}\|^2 = (-1)^2 = 1\) \(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{\|\vec{s}\|^2}\right) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix}\) Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\) entsteht der Vektor \(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}^2\|}\right) \vec{a}\) Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

Eine Kraft \(\vec{F} = \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} \) \( N\) soll in die selbe Richtung wie \(\vec{s} = \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix}\) schauen. Wie lautet \(\vec{F_s}\)? Nr. 2796
	\(\vec{F_s} = \begin{pmatrix}-2,1\\-3,1\\0\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{F_s} = \begin{pmatrix}-3,1\\-2,1\\0\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} N = -12 N\) \(\|\vec{s}\|^2 =(2)^2 + (3)^2 = 11\) \(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{\|\vec{s}\|^2}\right) = \frac{-12}{11} \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2,1\\-3,1\\0\\\end{pmatrix}\) Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\) entsteht der Vektor \(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}^2\|}\right) \vec{a}\) Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

Eine Kraft \(\vec{F} = \begin{pmatrix}4\\2\\2\\\end{pmatrix} \) \( N\) soll in die selbe Richtung wie \(\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}\) schauen. Wie lautet \(\vec{F_s}\)? Nr. 2797
	\(\vec{F_s} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{F_s} = \begin{pmatrix}2\\-2\\4\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}4\\2\\2\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix} N = 6 N\) \(\|\vec{s}\|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 2^2= 6\) \(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{\|\vec{s}\|^2}\right) = \frac{6}{6} \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}\) Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\) entsteht der Vektor \(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}^2\|}\right) \vec{a}\) Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

Die konstante Kraft \(\vec{F} = \begin{pmatrix}-12\\1\\3\\\end{pmatrix} \) \(N\) verschiebe einen Massepunkt vom Punkte \(P_1 = (1;-3;4) \) \(m\) aus geradlinig in den Punkt\( P_2 = (0;2;5)\) \(m\). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel \(\phi \) zwischen dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor? Nr. 2798
	\(\phi = 71,93^\circ\)
	\(\phi = 93,71^\circ\)
Lösungsweg Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) : \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\cdot \|\vec{s}\| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\) Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(\| \vec{F_s}\| = F_s = \| \vec{F}\| \cdot \cos(\phi)\). Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\) Verschiebungsvektor\(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix}\) Die dabei verrichtete Arbeit\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}-12\\1\\3\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix} = (12 + 5 + 3) Nm = 20 Nm\) Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(\|\vec{F}\| = \sqrt{(-12)^2 + 1^2 + 3^2} N = \sqrt{154} N\) \(\|\vec{s}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 1^2} m = \sqrt{27} m\) Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\|\vec{s}\| \cos(\phi)\) \(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{W}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{20 Nm}{\sqrt{154} N \sqrt{27} m} = 0,31\) daraus folgt \(\phi = \arccos(0,31) = 71,93^\circ\)

Die konstante Kraft \(\vec{F} = \begin{pmatrix}4\\8\\0\\\end{pmatrix} \) \(N\) verschiebe einen Massepunkt vom Punkte \(P_1 = (2;-2;4) \) \(m\) aus geradlinig in den Punkt\( P_2 = (1;6;3)\) \(m\). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel \(\phi \) zwischen dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor? Nr. 2799
	\(\phi = 34,34^\circ\)
	\(\phi = 43,43^\circ\)
Lösungsweg Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) : \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\cdot \|\vec{s}\| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\) Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(\| \vec{F_s}\| = F_s = \| \vec{F}\| \cdot \cos(\phi)\). Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\) Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}\) Die dabei verrichtete Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}4\\8\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix} = (-4 + 60 + 0) Nm = 60 Nm\) Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(\|\vec{F}\| = \sqrt{4^2 + 8^2 + 0^2} N = 4\sqrt{5} N\) \(\|\vec{s}\| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + (-1)^2} m = \sqrt{66} m\) Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\|\vec{s}\| \cos(\phi)\) \(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{W}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{60 Nm}{4\sqrt{5} N \sqrt{66} m} = 0,82572\) und daher \(\phi = \arccos(0,82572) = 34,34^\circ\)

Die konstante Kraft \(\vec{F} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix} \) \(N\) verschiebe einen Massepunkt vom Punkte \(P_1 = (1;1;1) \) \(m\) aus geradlinig in den Punkt\( P_2 = (1;-3;4)\) \(m\). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel \(\phi \) zwischen dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor? Nr. 2800
	\(\phi = 137,1^\circ\)
	\(\phi = 124,6^\circ\)
Lösungsweg Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) : \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\cdot \|\vec{s}\| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\) Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(\| \vec{F_s}\| = F_s = \| \vec{F}\| \cdot \cos(\phi)\). Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\) Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix}\) Die dabei verrichtete Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} = -13 Nm\) Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(\|\vec{F}\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 1^2} N = \sqrt{21} N\) und \(\|\vec{s}\| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} m = \sqrt{25} m\). Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\|\vec{s}\| \cos(\phi)\) \(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{W}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{-13 Nm}{\sqrt{21} N \sqrt{25} m} = -0,5674\) und daher \(\phi = \arccos(-0,5674) = 124,6^\circ\)

Elektronen, die mit der Geschwindigkeit \( \vec{v}\) in ein Magnetfeld der Flussdichte \(\vec{B} \) eintreten, erfahren dort die Lorentz-Kraft \(\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{B})\) Wie groß ist die Krafteinwirkung auf ein Elektron, wenn \(\vec{v}\) und \(\vec{B}\) die folgenden Komponenten besitzen? (Elementarladung \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\,C\) ) \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \,\,\frac{m}{s}\) und \(\vec{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix}\,\,T\) Nr. 2807
	\(\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N\)
	\(\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}1 \\- 1 \\0\\\end{pmatrix} N\)
Lösungsweg Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) 2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)\) 3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: \(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\) \(\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{b}) = - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix} C \cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{ Vs}{m^2}\)\( = - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}(200 - 0)\\- (200 - 0)\\(0 - 0)\\\end{pmatrix} N \)\(= - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}200 \\- 200 \\0\\\end{pmatrix} N = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N\)

Elektronen, die mit der Geschwindigkeit \( \vec{v}\) in ein Magnetfeld der Flussdichte \(\vec{B} \) eintreten, erfahren dort die Lorentz-Kraft

\(\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{B})\)

Wie groß ist die Krafteinwirkung auf ein Elektron, wenn \(\vec{v}\) und \(\vec{B}\) die folgenden Komponenten besitzen? (Elementarladung \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\,C\) )

\(\vec{v} = \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \,\,\frac{m}{s}\) und \(\vec{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix}\,\,T\)

Nr. 2807

\(\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N\)

\(\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}1 \\- 1 \\0\\\end{pmatrix} N\)

Lösungsweg

Gegeben sei folgender Vektor: \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}5\\-2\\1\end{array} \right)\) Gesucht sind die Winkel zur x,y und z-Achse, wobei \(\alpha =\) Winkel zur x-Achse \(\beta=\)Winkel zur y-Achse \(\gamma=\)Winkel zur z-Achse Nr. 3235
	\(\alpha=79,48 ^\circ\, \beta=111,42^\circ \gamma=24,09^\circ\)
	\(\alpha=111,42 ^\circ\, \beta=24,09^\circ \gamma=79,48^\circ\)
	\(\alpha=79,48^\circ\, \beta=24,09^\circ \gamma=111,42^\circ\)
	\(\alpha=24,09 ^\circ\, \beta=111,42^\circ \gamma=79,48^\circ\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). D.h. die Länge von \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}5\\-2\\1\end{array} \right)\) ist \(\mid \vec{A}\mid=5,48\) Die Basisvektoren \(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\\0\end{array} \right)\),\(\vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\\1\\0\end{array} \right)\),\(\vec{e_z}= \left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)\) entsprechen den Achsen und ihre Längen sind \(\mid \vec{e_x}\mid=\mid \vec{e_y}\mid=\mid \vec{e_z}\mid=1\). Die Skalarprodukte von \(\vec{A}\) mit den jeweiligen Basisvektoren sind \(\vec{A}\cdot\vec{e_x}=5\),\(\vec{A}\cdot\vec{e_y}=-2\) und \(\vec{A}\cdot\vec{e_z}=1\) mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) der Umkehrfunktion des Kosinus errechen wir den Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) \(\alpha=arccos\( \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid}\)\) Somit \(\alpha=\arccos\(\frac{5}{5,48}\)=24,09^\circ\) \(\beta=\arccos\(\frac{-2}{5,48}\)=111,42^\circ\) \(\gamma=\arccos\(\frac{1}{5,48}\)=79,48^\circ\)

Ein Auto fährt \(s_1=3\,km\) nach Norden und danach \(s_2=5\,km\)5km nach Nord-Osten. Ermittle den Vektor der vom Ursprung auf das Ziel zeigt und berechne anschließend die Distanz \(d\) zwischen Ursprung und Ziel. Nr. 3249
	\(d=7,43\,km\)
	\(s=6,35\,km\)
	\(d=7,32\,km\)
	\(d=8,21\,km\)
	\(6,92km\)
Lösungsweg 1. Schritt: Vektoren von beiden gefahrenen Strecken \(s_1\) und \(s_2\) ermitteln: Strecke \(s_1=3\,km\) nördlich (entlang der positiven y-Achse) gefahren: \( \vec{s_1}= \left( \begin{array}{c}0\\3\end{array} \right)\) Strecke \(s_2\): Nord-östlich bedeute das Auto fährt entland der Diagonale im ersten Quadranten bzw. auf einer Geraden im Winkel \(\alpha=45^\circ\). Wir wissen: \(\vec{s_2}= \left( \begin{array}{c}a\\a\end{array} \right)\) und \(\mid \vec{s_2}\mid=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=5\), daraus folgt \(a=\pm \frac{5}{\sqrt{2}}\), richtig ist \(a>0\) Antwort, da \(a\) eine Länge ist. Somit ist \(\vec{s_2}= \left( \begin{array}{c}3,54\\3,54\end{array} \right)\). Der Vektor vom Ursprung zum Endpunkt \(\vec{s}=\vec{s_1}+\vec{s_2}=\left( \begin{array}{c}3,54\\6,54\end{array} \right)\). Daher ist die gefragte Distanz \(d\) die Länge des Vektors \(\vec{s}\): \(d=\mid \vec{s}\mid=\sqrt{3,54^2+6,54^2}=7,43\,km\)

Aufgrund eines Westwindes (Wind aus dem Westen) mit der Windgeschwindigkeit \(v_W=50\quad\frac{km}{h}\) fliegt ein Ultraleichtflugzeug mit Geschwindigkeit \(v=225\quad\frac{km}{h}\) Richtung Nord-West. Wie würde es fliegen, wenn es windstill wäre (angegeben in ° zur negativen x-Achse d.h. Westen)? Nr. 3250
	\(\alpha=28,31^\circ\)
	\(\alpha=37,27^\circ\)
	\(\alpha=27,41^\circ\)
	\(\alpha=38,96^\circ\)
Lösungsweg Die Länge des Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs: \(v_F=\|\vec{FZ}\|= 225km/h\). Durch die Richtung des Flugzeugs (Nord-Westen) fliegt es in einem Winkel \(\alpha_N=45^\circ\) zur positiven y-Achse (Norden) und \(\alpha_W=-45^\circ\)zur negativen x-Achse (Westen). Wir wissen: \(\vec{FZ}= \left( \begin{array}{c}-a\\a\end{array} \right)\) und \(\mid \vec{FZ}\mid=\sqrt{a^2+a^2}=v_F=225\), daraus folgt \(a=\pm \frac{225}{\sqrt{2}}\),richtig ist nur \(a>0\) , da \(a\) eine Länge ist. Der Vektor ist also: \(\vec{FZ}= \left( \begin{array}{c}-159,099\\159,099\end{array} \right)\). Der Vektor des Windes lässt sich beschreiben durch: \(\vec{W}= \left( \begin{array}{c}50\\0\end{array} \right)\) Da \(\vec{FZ}=\vec{WS}+\vec{W}\), wo \(\vec{WS}\) der Vektor des Flugzeuges bei Windstille ist. \(\vec{WS}=\vec{FZ}-\vec{W}= \left( \begin{array}{c}-209,099\\159,099\end{array} \right)\). Der Winkel \(\alpha\)zwischen \(\vec{WS}\) und der negativen x-Achse \(\vec{e_n}=\left( \begin{array}{c}-1\\0\end{array} \right)\) lässt sich über die Definition des Skalarproduktes \(\vec{WS}\cdot \vec{e_N}=\mid\vec{WS}\mid\cdot\mid \vec{e_N}\mid\cos{\alpha}\) \(\alpha=\arccos{\left(\frac{\vec{WS}\cdot\vec{e_N}}{\mid\vec{WS}\mid\cdot\mid \vec{e_N}\mid}\right)}=\arccos{\left(\frac{159,1}{262,7}\right)=52,73^\circ\). Da heisst der gesuchte Winkel \(\alpha=90-52,73=37,27^\circ\)

Ein Boot, dessen Geschwindigkeitsvektor \(\|\vec{V_1}\|=5m/s\) lang ist möchte den Fluss überqueren um zum Haus zu gelangen. Allerdings gibt es eine Strömung, die durch \(\|\vec{V_2}\|=5m/s\) definiert ist. Mit welcher Geschwindigkeit muss das Boot den Weg von \(\vec{V_3}\) fahren, um genau auf der anderen Seite vor dem Haus anzukommen und in welchem Winkel \(\alpha\) muss das Boot das Ufer verlassen? Nr. 3251
	\(v=7,07m/s \) und \(\alpha =45^\circ\)
	\(v=8,34m/s\) und \(\alpha=31,83^\circ\)
	\(v=8,42m/s \) und \(\alpha=21,48^\circ\)
	\(v=5,5m/s \) und \(\alpha=39,56^\circ\)
Lösungsweg \(\|\vec{V_3}\|= \(\sqrt{(-5)^2+5^2}\)=7,07m/s\) Für den Winkel werden die Komponenten des Vektors gebraucht, also \(\vec{V_3}= \left( \begin{array}{c}-5\\5\end{array} \right) \frac{m}{s}\) \(\alpha= cos^{-1}(\(\frac{-5}{7,07}\))=135^\circ\) Anmerkung: Wenn man es mit \(\alpha=cos^{-1}( \(\frac{5}{7,07}\))=45^\circ\) rechnet, dann ist das ist nichts anderes als der Komplimentärwinkel also stimmt beides. Je nach dem von welcher Seite des Bootes man misst.

Ein Flugzeug fliegt 200km genau nördlich und dann 150km 60° westlich von Norden. Gib an, wie weit das Flugzeug vom Ursprungsort entfernt ist. Nr. 3267
	\(s=304,14km\)
	\(s=257,46km\)
	\(s=288,67km\)
	\(s=310,24km\)
	\(s=311,71km\)
Lösungsweg Dadurch, dass \(\|\vec{V_2}\|=150km\) und der Winkel zur y-Achse \(\alpha=60^\circ\), kann man ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und mit \(cos(60^\circ)=\(\frac{AK}{H=150km}\) \) die Ankathete \(AK=75km\) berechnen (die Strecke zwischen B und D). Somit lässt sich die Höhe ausrechnen, und mit \(GK=\(\sqrt{(150km)^2-(75km)^2}\)=129,9km\) die Distanz auf der x-Achse (sprich nach Westen). Da nun alle Komponenten des Vektors \(\vec{V_3}=\left( \begin{array}{c}129,9km\\275km\end{array} \right)\) bekannt sind, kann man sich den Absolutbetrag, sprich die Länge, ausrechnen mit \(\sqrt{(129,9km)^2+(275km)^2}\)=304,14km

Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3390
	\(\vec{u} \times \vec{v}=600\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=60\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=50\)
	\(\vec{u} \times \vec{v}=-60\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}6\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}0\\10\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=60-0\cdot 0=60\)

Zwei kleine Schiffe ziehen ein großes hinter sich her. Das erste Schiff \(S_1\) zieht mit einer Kraft von\(F_1=5000N\), während das zweite \(S_2\) mit einer Kraft von \(F_2=13000N\) zieht. Mit welcher Kraft \(F\) wird das große Schiff vorwärts gezogen? Nr. 3541
	\(F=15\; 333N\)
	\(F=11\; 873N\)
	\(F=19\; 835N\)
	\(F=17\; 212N\)
Lösungsweg Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren. Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird. Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: \(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\) \(F=\sqrt{(5000N)^2+(13000N)^2+2 \cdot 5000N \cdot 13000N \cdot cos(71,57)}=15 \; 333N\)

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