Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)\)ist gegeben durch

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)

Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)\)ist gegeben durch

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren, welche es aufspannen.

\(\vec{v} \times \vec{w} =\left( \begin{array}{c} 75\\ -27\\ -69 \end{array} \right)m^2\)

\(|\vec{v}\times \vec{w}| = 105,4m^2\)

Das Volumen eines Parallelepipeds ist gegeben durch den Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren, welche es aufspannen:

\(|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = 280m^3\)

Anmerkung: Das Ergebnis des Spatprodukts ändert sich nicht, wenn man die Vektoren zyklisch vertauscht. Man könnte also auch \(|(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}|\) oder \(|(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}|\) berechnen.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist gegebn durch

\(cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T\)

Der Gradient ist also ein Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen des Skalarfelds sind. Er gibt in jedem Punkt die Richtung der größten Steigung des Skalarfelds an, und der Betrag des Gradienten ist gleich ebendieser Steigung in dem betrachteten Punkt.

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T\)

Der Gradient des Skalarfeldes ergibt

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T = \left( 4 \qquad , \qquad -2z \qquad , \qquad -2y +12z \right)^T\)

und im gefragten Punkt

\(grad(f) = \left( 4 \qquad , \qquad -4 \qquad , \qquad 24 \right)^T\)

Die größte Steigung ist nun der Betrag dieses Vektors.

\(\sqrt{(4^2)+(-4^2)+(24^2)}= 24,66\)

Der Gradient des Skalarfeldes ist

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T = \left( 1 \qquad ,\qquad 2z^2 \qquad ,\qquad 2y^2 \right)^T\)

Im gefragten Punkt zeigt der größte Anstieg also in Richtung \(grad(f) = \left( 1 \qquad ,\qquad 2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T\)

Die Divergenz eines Vektorfeldes \(\vec F\) ist definiert als

\(div \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)

wobei \(F_x\), \(F_y\) und \(F_z\) die x-,y- und z-Komponenten des Vektorfeldes sind.

Betrachtet man z.B. ein Volumen, durch das Wasser strömt, dann kann die Flussgeschwindigkeit als Vektorfeld angegeben werden. An den Grenzen des Volumens, an denen Wasser hineinströmt ist die Divergenz positiv. Umgekehrt ist die Divergenz negativ an den Stellen, an welchen das Wasser aus dem Volumen hinausströmt. Somit ist die Divergenz ein Maß für Quellen und Senken.

Die Divergenz eines Vektorfeldes \(\vec F\) ist definiert als

\(div \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)

wobei \(F_x\), \(F_y\) und \(F_z\) die x-,y- und z-Komponenten des Vektorfeldes sind.

Die Rotation eines Vektorfelds ist gegeben durch das Kreuzprodukt

\(rot(\vec F) = \vec\nabla \times \vec F\)

mit dem Nabla-Operator \(\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial y} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial z} \right)^T\).

Die gesuchte Rotation ist demnach

\(rot \vec F = \left( \begin{array}{c} 0-6 \\ 16z-0 \\ 24x^2-0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)\)

\(div(grad) = \bigtriangleup\) ist der Laplace-Operator. \(\bigtriangleup f\) ist nicht zwangsweise \(0\) (kann es aber natürlich sein, je nachdem wie \(f\) aussieht).

Die Rotation eines Gradientfelds verschwindet immer, ganz egal wie \(f\) aussieht. Betrachten wir

\(rot(grad(f)) = \vec\nabla \times (\vec\nabla f)\)

mit \(\vec\nabla = \left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right)\) wobei \(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) für die partiellen Ableitungen stehen.

Für die x-Komponente erhalten wir

\(rot(grad(f))_x = \partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen, somit erhalten wir

\(\partial_y \partial_z f - \partial_y \partial_z f = 0\)

Für y- und z-Komponente kann analog vorgegangen werden.

Die Divergenz eines Rotationsfeldes ist immer \(0\), ganz egal wie \(\vec F\) aussieht. Anders gesagt: Wirbel sind quellfrei (sie verlaufen schließlich im Kreis, anstatt aus Quellen zu kommen und in Senken zu verschwinden).

Die Divergenz eines Vektorfeldes \(\vec A\) ist definiert als

\(div \vec A = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z\)

Die Rotation von \(\vec F\) ist gegeben durch

\(rot(\vec F) = \left( \begin{array}{c} \partial_y F_z - \partial_z F_y \\ \partial_z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_y F_x \end{array} \right)\)

\(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) stehen hier für die partiellen Ableitungen.

Wenden wir die Divergenz auf die Rotation von \(\vec F\) an, erhalten wir

\(div(rot(\vec F)) = \partial_x \partial_y F_z - \partial_x \partial_z F_y + \partial_y \partial_z F_x - \partial_y \partial_x F_z + \partial_z \partial_x F_x - \partial_z \partial_y F_x\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen. Man sieht, dass sich dann je zwei Terme aufheben und wir erhalten tatsächlich

\(div(rot(\vec F)) = 0\)

In Komponenten- alias Indexschreibweise hat man per Definition

\(\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\partial_{i}\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}G_{k}\)

und somit aufgrund der Leibnizregel

\(\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}((\partial_{i}F_{j})G_{k}+F_{j}(\partial_{i}G_{k}))\).

Unter Ausnützung der Tatsache, dass Summationsindizes beliebig umbenannt werden können, und der Zyklizität des \(\vareps\)-Tensors lässt sich der erste Term umschreiben:

\(\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{i}F_{j})G_{k} = \underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}G_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}F_{k}\)

Ähnlich findet man für den zweiten Term mit der Eigenschaft \(\vareps_{ijk} = -\vareps_{jik}\)

\(\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}(\partial_{i}G_{k}) = -\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}F_{j}\varepsilon_{jik}\partial_{i}G_{k}\)\(= -\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}F_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}G_{k}\)

Infolgedessen findet man

\(\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\vec{G}(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}(\vec{\nabla}\times\vec{G})\).

In Komponentenschreibweise gilt per Definition für eine feste Komponente \(i\) des Ausdrucks

\((\vec{\nabla}\times(U\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}(UF_{k})\)\(=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{j}UF_{k}+U\partial_{j}F_{k})\),

wobei das Objekt den \(\varepsilon_{ijk}\) den total antisymmetrischen \(\varepsilon\)-Tensor bezeichnet. Nützt man nun aus, dass sich Summationsindizes

beliebig umbennenen lassen, so lässt sich der erste Term in der obigen Gleichung wie folgt umschreiben

\(\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}UF_{k}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ikj}F_{j}\partial_{k}U\)\(=-\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}\partial_{k}U\).

Infolgedessen erhält man das Ergebnis

\(\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla}U\).

In Komponentenschreibweise gilt hier der Definition nach für eine feste Komponente \(i\)

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1} {\overset{3}{\sum}} \underset{l,m=1} {\overset{3}{\sum}} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\),

wobei \(\varepsilon_{ijk}\)  den total antisymmetrische \(\varepsilon\)-Tensor darstellt. Benutzt man nun, dass der  \(\varepsilon\)-Tensor die Identität

\(\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}= \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

erfüllt, so lässt sich folgern

\(\underset{j,l,m=1}{\overset{3}{\sum}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{j}\partial_{i}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{i}\partial_{j}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\),

wobei im letzten Schritt für den ersten Term der Satz von Schwarz benutzt wurde.

Demnach lässt sich schreiben

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})-\Delta\vec{F}\),

wobei 

\(\Delta\vec{F}=(\vec{\nabla}\vec{\nabla})\vec{F}\)

den sogenannten Laplace Operator bezeichnet.

Die Definition des Skalarproduktes liefert zunächst:

\(\vec{r}(t)\dot{\vec{r}}(t)=\underset{i,j}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{j}(t)\vec{e}_{i}\vec{e}_{j}\)\(=\underset{i,j}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{j}(t)\delta_{ij}=\underset{i}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{i}(t)\).

Andererseits gilt:

\(\mid\vec{r}(t)\mid\frac{d\mid\vec{r}(t)\mid}{dt}=\sqrt{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)r_{i}(t)}\frac{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{i}(t)}{\sqrt{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)r_{i}(t)}}\).

Die beiden Ausdrücke sind also äquivalent.

Die partiellen Ableitungen des Vektorfelds lauten

\( \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xy\\ r^{2}-x^{2}\\ 0 \end{array}\right)\), \(\frac{\partial\vec{v}}{\partial y}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} y^{2}-r^{2}\\ -xy\\ 0 \end{array}\right)\), \( \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} yz\\ -xz\\ 0 \end{array}\right)\).

Basierend darauf berechnet man

\(\vec{\nabla}\vec{v}=\overset{3}{\underset{j=1}{\sum}}\frac{\partial v_{j}}{x_{j}}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}(xy-yx)=0\)

bzw.

\(\vec{\nabla}\times\vec{v}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xz\\ yz\\ r^{2}+z^{2} \end{array}\right)\).

Sei \(\vec{x}\) ein Vektor und \( \vec{x}'=D\vec{x}\) der zugehörige gedrehte Vektor. Eine der zentralen Eigenschaften von Drehmatrizen ist 

\(DD^{\dagger}=D^{\dagger}D=\mathbf{1}\),

wobei \(D^{\dagger}\) die Transponierte der Matrix \(D\) bezeichnet.

Infolgedessen lässt sich berechnen

\(\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle=\langle D\vec{x},D\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\underset{=1}{\underbrace{D^{\dagger}D}}\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\vec{x}\rangle\).

Das heißt für die Länge der Vektoren gilt

\(l':=\sqrt{\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle}=\sqrt{\langle\vec{x},\vec{x}\rangle}=:l\).

Zunächst werden die Ortsvektoren in kartesischen Koordinaten dargestellt:

\(\vec r_1=\left( \begin{array}{c} r_1\, \sin\theta_1\, \cdot\, \cos\varphi_1 \\ r_1\, \sin\theta_1\, \cdot\, \sin\varphi_1 \\ r_1\, \cos\theta_1 \end{array} \right)\) ,  \(\vec r_2=\left( \begin{array}{c} r_2\, \sin\theta_2\, \cdot\, \cos\varphi_2 \\ r_2\, \sin\theta_2\, \cdot\, \sin\varphi_2 \\ r_2\, \cos\theta_2 \end{array} \right)\)

Der Winkel zwischen \(\vec r_1\) und \(\vec r_2\) wird mit folgender dem Skalarprodukt berechnet:

\(\vec r_1\cdot \vec r_2 = |\vec r_1|\,\cdot\,|\vec r_2|\, \cdot\, \cos\alpha\ \Rightarrow\ \cos\alpha=\frac{\vec r_1\cdot \vec r_2}{|\vec r_1|\,\cdot\,|\vec r_2|}\)

Wobei

\(\left| \vec r_1 \right| = r_1\) und \(\left| \vec r_2\right| =r_2\)

Bei der skalaren Multiplikation werden stets die beiden Beträge multipliziert, weshalb sich diese aus dem Quotienten wegkürzen lassen:

\(\frac{\vec r_1 \cdot \vec r_2}{r_1\cdot r_2} = \)

\(\frac{1}{r_1\cdot r_2}\,\left( \begin{array}{c} r_1 \sin (40^\circ) \, \cdot\, \cos (30^\circ) \\ r_1\, \sin (40^\circ) \, \cdot\, \sin (30^\circ) \\ r_1 \cos (40^\circ) \end{array} \right) \quad\)\(\cdot\frac{1}{r_1\cdot r_2} \left( \begin{array}{c} r_2 \sin (90^\circ) \, \cdot\, \cos (30^\circ) \\ r_2\, \sin (90^\circ) \, \cdot\, \sin (30^\circ) \\ r_2 \cos (90^\circ) \end{array} \right) =\)

\(\sin(40^\circ)\,\cdot\,\cos(30^\circ)\,\cdot\,\cos(30^\circ) +\, \sin(40^\circ)\,\cdot\,\sin(30^\circ)\,\cdot\,\sin(30^\circ) = \)

\(= \sin(40^\circ)\, \cdot\, \left[\cos^2(30^\circ)+\sin^2(30^\circ) \right] = \sin(40^\circ)\)

weil

\(\cos^2(x) + \sin^2(x)=1\)

\(\cos\alpha=\frac{\vec r_1\cdot \vec r_2}{|\vec r_1|\,\cdot\,|\vec r_2|} = \sin(40^\circ)\)

und damit:

\(\alpha = \arccos \left(\sin(40^\circ)\right) = 50^\circ\)

Umrechnung in Radiant:

\(50^\circ=\frac{50}{180}\pi\, \mathrm{rad} = \frac{5}{18}\pi \,\mathrm{rad} \approx 0,873\, \mathrm{rad}\)

Alternativer Lösungsweg (kurz und für Fortgeschrittene):

Da die beiden Azimuth-Winkel \(\varphi_1 = \varphi_2\) gleich sind, befinden sich die Vektoren in der Ebene, die durch diesen Winkel definiert ist. Diese Ebene steht senkrecht zur \(xy\mathrm{-Ebene}\) unter einem Winkel von \(\varphi=30^\circ\) zur \(x\mathrm{-Achse}\) (innerhalb dieser Ebene). Bonusaufgabe: Skizze machen und Winkel einzeichnen!

Da die beiden Vektoren also stets in der selben Ebene liegen, solange \(\varphi_1 = \varphi_2 = const.\) gilt, ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren die Differenz der beiden Polarwinkel:

\(\alpha=\theta_2 - \theta_1 = 50^\circ\)