Bestimme die Gerade g, die durch den Punkt \(P_1 \)in Richtung von  \(\vec{a}\) verläuft:

\( g: \vec{r}(\lambda) =\)\( \vec{r_1} + \lambda \vec{a} =\)\(\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-2\\0\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 - 2\lambda\\1\\-4 + \lambda \\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = 1 \) gilt für Punkt Q :

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = 1) = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\\\end{pmatrix}\)

 \(--> Q = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

Dabei bedeuten:

x,y,z: Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

\(x_1,y_1,z_1\): Koordinaten des vorgegangenen Punktes P_1 der Geraden

\(a_x,a_y,a_z\): Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors \vec{a} der Geraden

\(\lambda\): Reeller Parameter

Bestimme die Gerade g, die durch den Punkt \(P_1 \)in Richtung von  \(\vec{a}\) verläuft:

\( g: \vec{r}(\lambda) = \)\(\vec{r_1} + \lambda \vec{a} =\)\( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\1\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}1 + 2\lambda\\ + 2 \lambda\\-1 + \lambda \\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = 2 \) gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = 2) = \begin{pmatrix}5\\4\\1\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}5\\4\\1\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}5\\4\\1\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} =\)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

Dabei bedeuten:

x,y,z: Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

\(x_1,y_1,z_1\): Koordinaten des vorgegangenen Punktes P_1 der Geraden

\(a_x,a_y,a_z\): Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors \vec{a} der Geraden

\(\lambda\): Reeller Parameter

Bestimme die Gerade g, die durch den Punkt \(P_1 \)in Richtung von  \(\vec{a}\) verläuft:

\( g: \vec{r}(\lambda) = \)\(\vec{r_1} + \lambda \vec{a} =\)\( \begin{pmatrix}5\\1\\-2\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix} 5 - \lambda\\ 1 + \lambda\\-2 + \lambda \\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = -5\) gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = -5) = \begin{pmatrix}0\\-4\\-7\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}0\\-4\\-7\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}0\\-4\\-7\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

Dabei bedeuten:

x,y,z: Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

\(x_1,y_1,z_1\): Koordinaten des vorgegangenen Punktes P_1 der Geraden

\(a_x,a_y,a_z\): Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors \vec{a} der Geraden

\(\lambda\): Reeller Parameter

\(g: \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \)\(\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}- 2 + 1\\1 - 1\\3-1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\0\\2\\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = -2 \) gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = -5) = \begin{pmatrix}2\\0\\-4\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}2\\0\\-4\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}2\\0\\-4\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

\(g: \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \)\(\begin{pmatrix}-2\\0\\0\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}- 1 + 2\\1\\-1 + 2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\1\\1\\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = -2\)  gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = -2) = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

\(g: \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \)\(\begin{pmatrix}5\\2\\1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}- 3 - 5\\1 - 2\\-2 - 1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\-1\\-3\\\end{pmatrix} \)

Für \(\lambda = 1\) gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = 1) = \begin{pmatrix}-8\\-1\\-3\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}-8\\-1\\-3\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}-8\\-1\\-3\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

\(g : \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}\)

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix} \times (\begin{pmatrix}1 - 3\\1 - 2\\-1\\\end{pmatrix}) =\)\(\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}- 2\\-1\\-1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0\\-3\\3\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})| = \sqrt{(0)^2 + (-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{18}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3}\)

\(d = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{6} = 4,8\)

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(g : \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}\)

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2 - 2\\1 + 1\\-3\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\2\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-9\\-6\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|= \sqrt{(-2)^2 + (-9)^2 + (-6)^2} = 11\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)

\(d = \frac{11}{\sqrt{10}} = 3,5\)

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(g : \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}\) 

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} \) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} - 4 - 2\\1 -1\\-1\\\end{pmatrix} =\)\( \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-6\\0\\-1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\-18\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})| = \sqrt{(3)^2 + (1)^2 + (-18)^2} = \sqrt{334}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}\)

\(d = \frac{\sqrt{334}}{\sqrt{6}} = 7,5\)

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}\)

\( g_2 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}3\\4\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\-6\\0\\\end{pmatrix}\)

sind parallel, da ihre Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) kollineare Vektoren dastellen: \(2a_2 = a_1\)

Abstand d

\(\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3-1\\4 -2\\1 - 3\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\2\\-2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\2\\-4\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \sqrt{(6)^2 + (2)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{14}\)

\(|\vec{a_1}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2 + (0)^2} = \sqrt{10}\)

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|} = \frac{2\sqrt{14} }{\sqrt{10}} = 2,4\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Der Abstand zweier paralleler Geraden

\(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} \) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|}\)

3) \(g_1\) und \(g_2\) sind genau dann parallel wenn \(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \vec{0}\)

\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}3\\1\\4\\\end{pmatrix}\)

\( g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}6\\2\\8\\\end{pmatrix}\)

sind parallel, da ihre Richtungsvektoren \(\vec{a_1} \) und \(\vec{a_2} \) kollineare Vektoren dastellen: \(2a_2 = a_1\)

Abstand d

\(\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}3\\1\\4\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 - 2\\1 \\1 - 1\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}3\\1\\4\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-4\\4\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (4)^2} = 4\sqrt{3}\)

\(|\vec{a_1}| = \sqrt{(3)^2 + (1)^2 + (4)^2} = \sqrt{26}\)

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|} = \frac{4\sqrt{3} }{\sqrt{26}} = 1,4\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Der Abstand zweier paralleler Geraden

\(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} \) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|}\)

3) \(g_1\) und \(g_2\) sind genau dann parallel wenn \(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \vec{0}\)

\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}5\\1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}\)

\( g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}1\\3\\6\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}0\\0\\2\\\end{pmatrix}\)

sind parallel, da ihre Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) kollineare Vektoren dastellen: \(2a_2 = a_1\)

Abstand d

\(\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 - 5\\3 - 1\\6\\\end{pmatrix} =\)\( \begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\2\\6\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (0)^2} = 2\sqrt{5}\)

\(|\vec{a_1}| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (1)^2} = 1\)

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|} = \frac{2\sqrt{5} }{1} = 4,5\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Der Abstand zweier paralleler Geraden

\(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} \) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|}\)

3) \(g_1\) und \(g_2\) sind genau dann parallel wenn \(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \vec{0}\)

Geradengleichungen für \(g_1\) und \(g_2\)

\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}1 - 2\\-3 - 4\\2 - 5\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}-1 \\-7\\-3\\\end{pmatrix}\)

\(g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_3} + \lambda (\vec{r_4} - \vec{r_3}) = \begin{pmatrix}-2\\2\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}- 2\\-6 -2 \\4-1\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}-2\\2\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}-2 \\-8\\3\\\end{pmatrix}\)

Abstand der beiden Geraden

\(|\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \begin{vmatrix} -1 & -7 & -3 \\ -2 & -8 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ \end{vmatrix} = 6\)

\(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix}-1 \\-7\\-3\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2 \\-8\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-45 \\9\\-6\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times \vec{a_2}| = \sqrt{(-45)^2 + (9)^2 + (-6)^2} = 3 \sqrt{238}\)

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|} = \frac{|6|}{3 \sqrt{238}} = 0,1\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand zweier windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden \(g_1\) und \(g_2\) mit den Gleichungen \(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1}\) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|}\)

Abstand der beiden Geraden

\(|\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & -4 \\ 4 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & 3 \\ \end{vmatrix} = -95\)

\(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}4\\2\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\-22\\-8\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times \vec{a_2}| = \sqrt{(5)^2 + (-22)^2 + (-8)^2} = \sqrt{573}\)

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|} = \frac{|-95|}{\sqrt{573}} = 4\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand zweier windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden \(g_1\) und \(g_2\) mit den Gleichungen \(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1}\) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|}\)

Geradengleichungen \(g_1\) und \(g_2\)

\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}2\\3\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}\)

 \(g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}6\\0\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}\)

Abstand der beiden Geraden

\(|\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -3 & 0 \\ \end{vmatrix} = -9\)

\(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-1\\4\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times \vec{a_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{26}\)

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|} = \frac{|-9|}{\sqrt{26}} = 1,8\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand zweier windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden \(g_1\) und \(g_2\) mit den Gleichungen \(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1}\) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|}\)

\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix}\)

\(g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}\)

Berechnung des Schnittpunktes S

Aus \(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r}(\lambda_2)\) folgt die Vektorgleichung

\(\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}\) 

In der Komponentenschreibweise erhalten wir

\(2\lambda_1 - \lambda_2 = 1\)

\(\lambda_1 + \lambda_2 = -1\)

\( \lambda_1 - 2\lambda_2 = 2\)

Dieses lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung: \(\lambda_1 = 0 \), \(\lambda_2 = -1\).

Der Ortsvektor \( \vec{r_S} \) des gesuchten Schnittpunktes S lautet damit

\(\vec{r_S} = \vec{r_S}(\lambda_1=0) = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}\)

\(--> \) \) --> S = (1;1;0)

Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man in die Gleichung der Geraden \(g_2\) für den Parameter \(\lambda_2\) den Wert -1 einsetzt:

\(\vec{r_S} = \vec{r_S}(\lambda_2=-1) = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\\end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}\) 

Berechnung des Schnittwinkels \(\phi\)

\(\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix} = 2 - 1 + 2 = 3\)

\(|\vec{a_1}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}\)

\(|\vec{a_2}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}\)

\(\phi = \arccos\left(\frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}|\cdot |\vec{a_2}|}\right) = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand zweier windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden \(g_1\) und \(g_2\) mit den Gleichungen \(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1}\) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|[\vec{a_1}\vec{a_2} (\vec{r_2} - \vec{r_1})]|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|}\)

3) Schnittwinkel zweier Geraden

Der Schnittwinkel \(\phi\)  zweier Geraden \( g_1 \) und \(g_2\) mit den Richtungsvektoren \( \vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(\phi = \arccos\left(\frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}|\cdot |\vec{a_2}|}\right)\)

Die Normalform einer Ebene ist gegeben durch

\(E: (\vec x - \vec v)\cdot \vec n = 0\)

mit einem Stützvektor \(\vec v\) und einem Normalvektor \(\vec n\).

Ein Normalvektor lässt sich mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Parameterform finden

\(\left(\begin{array}{c} 0\\1\\4 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 2\\3\\0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12\\8\\-2 \end{array}\right)\)

Als Stützvektor lässt sich der Stützvektor Parameterform verwenden.

Die Koordinatenform einer Ebene hat die Form

\(E: ax +by+cz = d\)

Sie kann berechnet werden, indem die Normalform ausmultipliziert wird, wobei \(d\) dann dem Skalarproduk von Stütz- und Normalvektor, \(\vec p \cdot \vec n\), entspricht.

Gesucht sind die Parameter \(s\) und \(t\), für welche \(E_2\) mit \(E_1\) übereinstimmt. Die einzelnen Koordinaten von \(E_2\) sind:

\(x = 1+3s+6t\)

\(y = 4+2s+5t\)

\(z=5+2t\)

Setzt man diese Koordinaten nun in \(E_1\) ein, erhält man

\(s = \frac{32}{43} + \frac{15}{43}t\)

(man könnte genauso nach \(t\) auflösen).

Den erhaltenen Ausdruck für \(s\) kann man nun in die Ebenengleichung von \(E_2\) einsetzen, um eine Variable zu eliminieren. Wir erhalten

\(\vec x = \left(\begin{array}{c} 139/43 \\ 236/43 \\ 5 \end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c} 303/43 \\ 245/43 \\ 2 \end{array}\right)\)

Man hat

\(d(\sin (x) \sin (y)) = \cos (x) \sin (y) \; dx + \sin (x) \cos (y) \; dy\).

Allgemein hat das totale Differential einer von \(n\) Variablen abhängigen Funktion \(f\) die Form

\(df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i\)