Fragenliste von Hookesches Gesetz – Federkraft

Ein linearer harmonischer Oszillator ( $\omega^2 = \frac{k}{m} ,$ $k$ : Federkonstante, $m$ : Masse) erfahre Dämpfung durch Wirkung Stokes'scher Reibung $F_{R} = - \alpha \dot{x}$ ). Wie lautet die zugehörige Bewegungsgleichung? Wie lautet ihre Lösung? Nr. 4185
	$(m+\alpha) \dot{x} + k x = 0$ , $x(t)=Ae^{-\beta t}\cos\omega t$
	$x(t)=e^{-\frac{\alpha t}{2m}}(A\cos\sqrt{\omega^{2}-\left(\frac{\alpha}{2m}\right)^{2}} t+B\sin\sqrt{\omega^{2}-\left(\frac{\alpha}{2m}\right)^{2}} t)$ , $m\ddot{x}+\alpha \dot{x} + k x = 0$ ,
	$x(t)=A\cos\sqrt{\omega^{2}-\left(\frac{\alpha}{2m}\right)^{2}} t+B\sin\sqrt{\omega^{2}-\left(\frac{\alpha}{2m}\right)^{2}} t$ , $m\ddot{x}+\alpha \dot{x} + k x = 0$ .
Lösungsweg Die Bewegungsgleichung lautet $m\ddot{x}+\alpha \dot{x} + k x = 0$ . Dies lässt sich auch in der Form $\ddot{x}+2\beta \dot{x} + \omega^2 x = 0$ schreiben, wobei gilt $\beta = \frac{\alpha}{2m}$ . Zur Lösung der erhaltenen Gleichung machen wir den Ansatz $x(t)=x_0 e^{\lambda t}$ . Daraus ergeben sich die Beziehungen $\dot{x}=\lambda x$ und $\ddot{x}=\lambda^{2}x$ . Für die Ausgangsgleichung gilt demnach $(\lambda^{2}+2\beta\lambda+\omega^{2})x=0$ . Die Gleichung wird demnach gelöst, falls $\lambda_{\pm}=\pm i\tilde{\omega} -\beta$ gilt, wobei $\tilde{\omega}=\sqrt{\omega ^2 - \beta ^2}$ benutzt wurde. Aufgrund des Superpositionsprinzips lässt sich die Lösung der Gleichung folglich in der Gestalt $x(t)=e^{-\beta t}(x_{1}e^{i \tilde{\omega} t}+x_{2}e^{-i \tilde{\omega} t})$ schreiben. Benutzt man die Eulersche Formel $e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t$ , so erhält man die alternative Form $x(t)=e^{-\beta t}(A\cos\tilde{\omega} t+B\sin\tilde{\omega} t)$ , wobei die Definitionen $A:=x_{1}+x_{2}$ und $B:=i\left(x_{1}-x_{2}\right)$ benutzt wurden

An eine Schraubenfeder wird ein Massestück angehängt. Dieses hat eine Masse $m=100\, g$ . Ohne das Massestück ist die Schraubenfeder $h_0=3\, cm$ lang, mit Massestück hat sie die Länge $h_m=7,7\, cm$ . Berechnen Sie die Federkonstante $k$ in SI-Einheiten! Nr. 4450
	$k\quad \approx \quad 2\ \frac{N}{m}$
	$k\quad \approx \quad 12\ \frac{N}{m}$
	$k\quad \approx \quad 200\ \frac{N}{m}$
	$k\quad \approx \quad 21\ \frac{N}{m}$
	$k\quad \approx \quad 22\ \frac{N}{m}$
Lösungsweg Zuerst müssen wir herausbekommen, was 100g für eine Gewichtskraft darstellt. Wir nutzen dazu das Gesetz für die Gewichtskraft: $F_G= m \cdot g$ Da wir nur die Ausdehnung der Schraubenfeder aus der Ruhelage brauchen, ziehen wir $h_0=3\, cm$ von den $h_m=7,7\, cm$ ab: $\Delta h = h_m - h_0$ Die Federkraft ("Rückstellkraft") wird mit dem Hooke'schen Gesetz beschrieben: $F_R=-k \cdot s$ mit der Federkonstanten $k$ und der Auslenkung aus der Ruhelage $s$ . Bei Auslenkung der Feder durch die angehängte Masse sind die Federkraft und Gewichtskraft im Gleichgewicht, die beiden Kräfte sind also entgegengesetzt gleich groß. Das führt zu: $F_G=-F_R=k \cdot \Delta h$ und umgefort auf die Federkonstante: $k = \frac{F_G}{\Delta h} = \frac{0,1\, kg \cdot 9,81\, \frac{N}{kg}}{0,077\,m-0,03\,m} \quad \approx \quad 21\, \frac{N}{m}$

Wie weit wird eine Schraubenfeder mit der Federkonstante $k = 60 \ \frac{N}{m}$ ausgedehnt, wenn an ihr eine Kraft von $F=36\, N$ angreift? Nr. 4451
	Die Schraubenfeder dehnt sich um etwa $s = 0,6\,m$ aus.
	Die Schraubenfeder dehnt sich um etwa $s = 0,06\,m$ aus.
	Die Schraubenfeder dehnt sich um etwa $s = 6\,m$ aus.
	Die Schraubenfeder dehnt sich um etwa $s = 2160\, cm$ aus.
	Die Schraubenfeder dehnt sich um etwa $s = 24\,m$ aus.
Lösungsweg Es gilt das Hooke'sche Gesetz: $F=k \cdot s$ Da wir an der Ausdehungslänge $s$ interessiert sind, müssen wir umformen und einsetzen: $s = \frac{F}{k} = \frac{36\, N }{ 60\ \frac{N}{m}}=0,6\,m$

Welche Federkraft greift an einer Feder mit der Federkonstante $k = 60 \ \frac{N}{m}$ an, wenn sich die Feder um $s=35\,cm$ ausdehnt? Nr. 4452
	$F=2,1\,N$
	$F=210\,N$
	$F=21\,N$
	$F=21\,kg$
	$F=25\,N$
Lösungsweg Es gilt das Hooke'sche Gesetz für die Federkraft (achte auf die Umrechnung in SI-Einheiten): $F=k \cdot s = 60\ \frac{N}{m} \cdot 0,35\,m=21\, N$ Dabei bezeichnen $k$ die Federkonstante und $s$ die Ausdehnung der Feder aus der Ruhelage, wenn die Kraft $F$ an der Feder angreift.

Welche Aussagen über den eindimensionalen, harmonischen Oszillator ist wahr? Dabei sind $x$ die Auslenkung aus der Ruhelage und $k$ eine Konstante. Nr. 4511
	Es gibt eine Kraft, die einer Auslenkung aus der Ruhelage entgegenwirkt $F(x)=-kx$
	Es gibt eine Kraft, die mit zunehmender Auslenkung aus der Ruhelage größer wird $F(x)=kx$
	Es gibt eine Kraft, die dem Quadrat der Auslenkung entgegenwirkt $F(x)=-kx^2$
	Es gibt eine Kraft, die mit dem Quadrat der Auslenkung aus der Ruhelage wächst. $F(x)=kx^2$
Lösungsweg Ein harmonischer Oszillator zeichnet sich dadurch aus, dass es eine lineare Rückstellgröße gibt. Das bedeutet, ein harmonischer Oszillator bewirkt eine Gegenkraft, die der Auslenkung aus der Ruhelage entgegengesetzt gerichtet und proportional zu dieser ist. Mathematisch lässt sich das mit dem Zusammenhang $F(x)=-kx$ ausdrücken. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Rückstellkraft des Systems (harmonischen Oszillators) der Auslenkung $x$ entgegenwirkt. Dabei ist $k$ die Proportionalitätskonstante (Federkonstante, Rückstellkonstante, Richtgröße, ...) der linearen Funktion in $x$ .

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