Die Bewegungsgleichung lautet

\(m\ddot{x}+\alpha \dot{x} + k x = 0\).

Dies lässt sich auch in der Form

\(\ddot{x}+2\beta \dot{x} + \omega^2 x = 0\)

schreiben, wobei gilt \(\beta = \frac{\alpha}{2m}\).

Zur Lösung der erhaltenen Gleichung machen wir den Ansatz

\( x(t)=x_0 e^{\lambda t}\).

Daraus ergeben sich die Beziehungen

\(\dot{x}=\lambda x\) und \(\ddot{x}=\lambda^{2}x\).

Für die Ausgangsgleichung gilt demnach

\((\lambda^{2}+2\beta\lambda+\omega^{2})x=0\).

Die Gleichung wird demnach gelöst, falls

\(\lambda_{\pm}=\pm i\tilde{\omega} -\beta\)

gilt, wobei \(\tilde{\omega}=\sqrt{\omega ^2 - \beta ^2}\) benutzt wurde. Aufgrund des Superpositionsprinzips lässt sich die Lösung der Gleichung folglich in der Gestalt

\(x(t)=e^{-\beta t}(x_{1}e^{i \tilde{\omega} t}+x_{2}e^{-i \tilde{\omega} t})\)

schreiben. Benutzt man die Eulersche Formel \(e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t\), so erhält man die alternative Form

\(x(t)=e^{-\beta t}(A\cos\tilde{\omega} t+B\sin\tilde{\omega} t)\),

wobei die Definitionen \(A:=x_{1}+x_{2}\) und \(B:=i\left(x_{1}-x_{2}\right)\) benutzt wurden

Zuerst müssen wir herausbekommen, was 100g für eine Gewichtskraft darstellt. Wir nutzen dazu das Gesetz für die Gewichtskraft: \(F_G= m \cdot g\)

Da wir nur die Ausdehnung der Schraubenfeder aus der Ruhelage brauchen, ziehen wir \(h_0=3\, cm\) von den \(h_m=7,7\, cm\) ab: \(\Delta h = h_m - h_0\)

Die Federkraft ("Rückstellkraft") wird mit dem Hooke'schen Gesetz beschrieben:

\(F_R=-k \cdot s\)

mit der Federkonstanten \(k\) und der Auslenkung aus der Ruhelage \(s\).

Bei Auslenkung der Feder durch die angehängte Masse sind die Federkraft und Gewichtskraft im Gleichgewicht, die beiden Kräfte sind also entgegengesetzt gleich groß. Das führt zu:

\(F_G=-F_R=k \cdot \Delta h\)

und umgefort auf die Federkonstante:

\(k = \frac{F_G}{\Delta h} = \frac{0,1\, kg \cdot 9,81\, \frac{N}{kg}}{0,077\,m-0,03\,m} \quad \approx \quad 21\, \frac{N}{m}\)

Es gilt das Hooke'sche Gesetz:

\(F=k \cdot s\)

Da wir an der Ausdehungslänge \(s\) interessiert sind, müssen wir umformen und einsetzen:

\(s = \frac{F}{k} = \frac{36\, N }{ 60\ \frac{N}{m}}=0,6\,m\)

Es gilt das Hooke'sche Gesetz für die Federkraft (achte auf die Umrechnung in SI-Einheiten):

\(F=k \cdot s = 60\ \frac{N}{m} \cdot 0,35\,m=21\, N\)

Dabei bezeichnen \(k\) die Federkonstante und \(s\) die Ausdehnung der Feder aus der Ruhelage, wenn die Kraft \(F\) an der Feder angreift.

Ein harmonischer Oszillator zeichnet sich dadurch aus, dass es eine lineare Rückstellgröße gibt. Das bedeutet, ein harmonischer Oszillator bewirkt eine Gegenkraft, die der Auslenkung aus der Ruhelage entgegengesetzt gerichtet und proportional zu dieser ist. Mathematisch lässt sich das mit dem Zusammenhang

\(F(x)=-kx\)

ausdrücken. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Rückstellkraft des Systems (harmonischen Oszillators) der Auslenkung \(x\) entgegenwirkt. Dabei ist \(k\) die Proportionalitätskonstante (Federkonstante, Rückstellkonstante, Richtgröße, ...) der linearen Funktion in \(x\).