Fragenliste von Druck und Auftrieb

Der Luftdruck beträgt in Bodennähe $p = 101\;325Pa$ . Verwenden Sie ihn, sowie den mittleren Erdradius von $R = 6371km$ um mittels Gravitationskraft das Gewicht der Atmosphäre abzuschätzen. Nr. 4135
	$m = 7,19\cdot10^{15}kg$
	$m = 5,27\cdot10^{18}kg$
	$m = 3,49\cdot10^{21}kg$
	$m = 1,56\cdot10^{24}kg$
Lösungsweg Druck ist definiert als Kraft pro Fläche $p = \frac{F}{A}$ Betrachtet man den Luftdruck als die Gravitationskraft $F = mg$ (mit der Schwerebeschleunigung $g = 9,81\frac{m}{s^2}$ ), die die Masse unserer Atmosphäre auf die Erdoberfläche ausübt, so kann man die Atmosphärenmasse abschätzen. Die Erdoberfläche lässt sich mit dem Radius $R = 6371km$ als Kugeloberfläche annähern: $A = 4\pi R^2 = 5,1\cdot 10^{14}m^2$ Setzt man in die obige Formel ein, kann man nach der Masse auflösen $p = \frac{mg}{A}$ $m = \frac{pA}{g} = 5,27\cdot10^{18}kg$

Wie lässt sich die abgeleitete SI-Einheit des Drucks Pascal nach SI-Basiseinheiten zerlegen? Nr. 4192
	$[Pa]=[\frac{kg }{m^3 \cdot s^2}]$
	$[Pa]=[\frac{kg \cdot m}{ s^2}]$
	$[Pa]=[\frac{kg }{m \cdot s^2}]$
	$[Pa]=[\frac{kg \cdot m^2}{ s}]$
Lösungsweg Druck wird in der Mechanik über die Beziehung Kraft pro Fläche, d.h. $p=\frac{F}{A}$ definiert, wobei $F=\mid\vec{F}_{\perp}\mid$ die Normalkomponente der Kraft bezeichnet, die senkrecht auf die Referenzfläche $A$ steht. Diese hat die Einheit Newton, während die Fläche natürlich in Quadratmetern gemessen wird. Da sich die abgeleitete SI-Einheit Newton wie folgt nach SI-Basiseinheiten zerlegen lässt $[N]=[\frac{kg \cdot m}{s^2}]$ , findet man für die SI-Einheit des Drucks Pascal $[Pa]=[\frac{kg }{m \cdot s^2}]$ .

In einem Rohrsystem befindet sich Wasser unter dem Druck von $p=1300\,hPa$ . Berechne den Betrag der Kraft $F_D$ , die auf ein $A=3 \, cm^2$ großes Fächenstück der Rohrwand wirkt. Nr. 4453
	$F_D=3900\,N$
	$F_D=390\,kN$
	$F_D=0,39\,N$
	$F_D=39\,N$
	$F_D\quad\approx\quad 43333\,N$
Lösungsweg Zuerst formen wir auf SI-Einheiten um: $p=1300\,hPa=1300 \cdot 10^2\,Pa$ und $A=3,0\,cm^2=3,0\cdot10^{-4}\,m^2$ Nun nutzen wir die Formel für den Druck und setzen ein: $p=\frac{F_D}{A} \qquad \Rightarrow \qquad F_D=p\cdot A$ $F_D=p\cdot A=1300\cdot10^2\,Pa \cdot 3,0\cdot 10^{-4}\,m^2=39\,N$

Auf ein $A=5,0\,cm^2$ großes Stück der Innenwand eines Autoreifens wirkt eine Kraft vom Betrag $F_D=90\,N$ . Berechne den Druck $p$ in $Pa$ im Autoreifen. Nr. 4454
	$p=18\,Pa$
	$p=1800\,Pa$
	$p=0,045\,Pa$
	$p=1,8 \cdot 10^5\, Pa$
	$p=556\,Pa$
Lösungsweg Zuerst formen wir auf SI-Einheiten um: $A=5,0\,cm^2=5,0\cdot10^{-4}\,m^2$ Nun nutzen wir die Formel für den Druck und formen sie um: $F_D=p\cdot A$ $p=\frac{F_D}{A} = \frac{90\,N}{5,0\cdot 10^{-4}\,m^2}=1,8\cdot 10^{5}\,Pa$

Ein Taucher befindet sich im Meer (die Dichte von Salzwasser beträgt $\rho = 1,02 \frac{g}{cm^3}$ ) in einer Tiefe von $h=15,0m$ unter der Wasseroberfläche. Berechnen Sie den Wasserdruck $p$ in $bar$ , dem der Taucher in dieser Tiefe ausgesetzt ist. Nr. 4455
	$p\quad \approx \quad 0,0015\,bar$
	$p\quad \approx \quad 150 093\,bar$
	$p\quad \approx \quad 1,50\,bar$
	$p\quad \approx \quad 1500\,bar$
Lösungsweg Zuerst formen wir auf SI-Einheiten um: $\rho=1,02\,\frac{g}{cm^3}=1,02\,\frac{10^{-3}\,kg}{10{-6}\,m^3}=1,02\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3}$ und halten uns die Erdbeschleunig bereit $g \quad \approx \quad 9,81\ \frac{N}{kg}$ . Mit der Formel für den Schweredruck können wir nun den Wasserdruck ausrechnen: $p=\rho\cdot g\cdot h=1,02\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \,\frac{N}{kg} \cdot 15,0\,m=150093\,Pa \approx 1,50\,bar$ Dabei haben benutzt, dass $1\,bar=10^5\,Pa$ .

Ein Objekt mit dem Volumen $V=250\,cm^3$ befindet sich im Wasser (mit der Dichte $\rho_W=1\,\frac{g}{cm^3}$ ). Wie groß ist die Auftriebskraft $F_A$ ? Nr. 4456
	$F_A=250\,N$
	$F_A=245,25\,N$
	$F_A \quad \approx \quad 2,45\,N$
	$F_A=0,004\,N$
	$F_A=2,5\,N$
Lösungsweg Zuerst formen die Dichte und das Volumen auf SI-Einheiten um: $\rho=1,00\,\frac{g}{cm^3}=1,00\,\frac{10^{-3}\,kg}{10^{-6}\,m^3}=1,00\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3}$ $V=250\,cm^3=2,5 \cdot 10^{-4}\,m^3$ und halten uns die Erdbeschleunig bereit $g \quad \approx \quad 9,81\ \frac{N}{kg}$ . Mit der Formel für die Auftriebskraft (auch bekannt als Gesetz des Archimedes) können wir ausrechnen: $F_A=\rho_W\cdot V \cdot g=1,00\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3} \cdot 2,5 \cdot 10^{-4}\,m^3 \cdot 9,81 \,\frac{N}{kg}\approx 2,45\,N$

In einem Becherglas mit der Querschnittsfläche $A =20\, cm^2$ befinden sich $m_W=180\, g$ Wasser. Um wie viele $cm$ steigt der Wasserspiegel im Becherglas, wenn man Stahlkugeln der Gesamtmasse $m_S=285\,g$ hineingibt? (Dichte von Stahl: $\rho_S = 7,85\, \frac{g}{cm^3}$ ) Nr. 4458
	$h=0,18\,m$
	$h=1,82\,cm$
	$h=0,55\,cm$
	$h=740,74\,cm$
Lösungsweg Bei dieser Aufgabenstellung kann man der Einfachheit halber bei den Einheiten $[g]$ und $[cm]$ bleiben. Die Stahlkugeln haben das Volumen $V_S=\frac{m_S}{\rho_S}=\frac{285\,g}{7,85\, \frac{g}{cm^3}} \approx 36,31\,cm^3$ und genau dieses Volumen an Wasser verdrängen sie. Daher steigt der Wasserspiegel um $h=\frac{V_S}{A}=\frac{36,31\,cm^3}{20\,cm^2} \approx 1,82\,cm$ .

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