Druck ist definiert als Kraft pro Fläche

\(p = \frac{F}{A}\)

Betrachtet man den Luftdruck als die Gravitationskraft \(F = mg\) (mit der Schwerebeschleunigung \(g = 9,81\frac{m}{s^2}\)), die die Masse unserer Atmosphäre auf die Erdoberfläche ausübt, so kann man die Atmosphärenmasse abschätzen.

Die Erdoberfläche lässt sich mit dem Radius \(R = 6371km\) als Kugeloberfläche annähern:

\(A = 4\pi R^2 = 5,1\cdot 10^{14}m^2\)

Setzt man in die obige Formel ein, kann man nach der Masse auflösen

\(p = \frac{mg}{A}\)

\(m = \frac{pA}{g} = 5,27\cdot10^{18}kg\)

Druck wird in der Mechanik über die Beziehung Kraft pro Fläche, d.h.

\(p=\frac{F}{A} \)

definiert, wobei \(F=\mid\vec{F}_{\perp}\mid\) die Normalkomponente der Kraft bezeichnet, die senkrecht auf die Referenzfläche \(A\) steht. Diese hat die Einheit Newton, während die Fläche natürlich in Quadratmetern gemessen wird. Da sich die abgeleitete SI-Einheit Newton wie folgt nach SI-Basiseinheiten zerlegen lässt

\([N]=[\frac{kg \cdot m}{s^2}]\),

findet man für die SI-Einheit des Drucks Pascal

\([Pa]=[\frac{kg }{m \cdot s^2}]\).

Zuerst formen wir auf SI-Einheiten um:

\( p=1300\,hPa=1300 \cdot 10^2\,Pa \) und \(A=3,0\,cm^2=3,0\cdot10^{-4}\,m^2\)

Nun nutzen wir die Formel für den Druck und setzen ein:

\(p=\frac{F_D}{A} \qquad \Rightarrow \qquad F_D=p\cdot A\)

\(F_D=p\cdot A=1300\cdot10^2\,Pa \cdot 3,0\cdot 10^{-4}\,m^2=39\,N\)

Zuerst formen wir auf SI-Einheiten um:

\(A=5,0\,cm^2=5,0\cdot10^{-4}\,m^2\)

Nun nutzen wir die Formel für den Druck und formen sie um:

\(F_D=p\cdot A\)

\(p=\frac{F_D}{A} = \frac{90\,N}{5,0\cdot 10^{-4}\,m^2}=1,8\cdot 10^{5}\,Pa\)

Zuerst formen wir auf SI-Einheiten um:

\(\rho=1,02\,\frac{g}{cm^3}=1,02\,\frac{10^{-3}\,kg}{10{-6}\,m^3}=1,02\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3}\)

und halten uns die Erdbeschleunig bereit \(g \quad \approx \quad 9,81\ \frac{N}{kg}\).

Mit der Formel für den Schweredruck können wir nun den Wasserdruck ausrechnen:

\(p=\rho\cdot g\cdot h=1,02\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \,\frac{N}{kg} \cdot 15,0\,m=150093\,Pa \approx 1,50\,bar\)

Dabei haben benutzt, dass

\(1\,bar=10^5\,Pa\).

Zuerst formen die Dichte und das Volumen auf SI-Einheiten um:

\(\rho=1,00\,\frac{g}{cm^3}=1,00\,\frac{10^{-3}\,kg}{10^{-6}\,m^3}=1,00\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3}\)

\(V=250\,cm^3=2,5 \cdot 10^{-4}\,m^3\)

und halten uns die Erdbeschleunig bereit \(g \quad \approx \quad 9,81\ \frac{N}{kg}\).

Mit der Formel für die Auftriebskraft (auch bekannt als Gesetz des Archimedes) können wir ausrechnen:

\(F_A=\rho_W\cdot V \cdot g=1,00\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3} \cdot 2,5 \cdot 10^{-4}\,m^3 \cdot 9,81 \,\frac{N}{kg}\approx 2,45\,N\)

Bei dieser Aufgabenstellung kann man der Einfachheit halber bei den Einheiten \([g]\) und \([cm]\) bleiben.

Die Stahlkugeln haben das Volumen  \(V_S=\frac{m_S}{\rho_S}=\frac{285\,g}{7,85\, \frac{g}{cm^3}} \approx 36,31\,cm^3\) und genau dieses Volumen an Wasser verdrängen sie. Daher steigt der Wasserspiegel um \(h=\frac{V_S}{A}=\frac{36,31\,cm^3}{20\,cm^2} \approx 1,82\,cm\).