Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) :

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}|\cdot |\vec{s}| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\)

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(| \vec{F_s}| = F_s = | \vec{F}| \cdot \cos(\phi)\).

Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\)

Verschiebungsvektor\(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix}\)

Die dabei verrichtete Arbeit\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}-12\\1\\3\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix} = (12 + 5 + 3) Nm = 20 Nm\)

Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(|\vec{F}| = \sqrt{(-12)^2 + 1^2 + 3^2} N = \sqrt{154} N\)

\(|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 1^2} m = \sqrt{27} m\) Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}||\vec{s}| \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{W}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{20 Nm}{\sqrt{154} N \sqrt{27} m} = 0,31\) daraus folgt \(\phi = \arccos(0,31) = 71,93^\circ\)

Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) :

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}|\cdot |\vec{s}| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\)

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(| \vec{F_s}| = F_s = | \vec{F}| \cdot \cos(\phi)\).

Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\)

Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}\)

Die dabei verrichtete Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}4\\8\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix} = (-4 + 60 + 0) Nm = 60 Nm\)

Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 8^2 + 0^2} N = 4\sqrt{5} N\)

\(|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + (-1)^2} m = \sqrt{66} m\) Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}||\vec{s}| \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{W}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{60 Nm}{4\sqrt{5} N \sqrt{66} m} = 0,82572\) und daher \(\phi = \arccos(0,82572) = 34,34^\circ\)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix} \)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix} \)

\(\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{b}) = - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix} C \cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{ Vs}{m^2}\)\( = - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}(200 - 0)\\- (200 - 0)\\(0 - 0)\\\end{pmatrix} N \)\(= - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}200 \\- 200 \\0\\\end{pmatrix} N = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N \)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

Daraus folgt: \(F=\sqrt{(4000N)^2+(6000N)^2+2\cdot 4000N \cdot 6000N \cdot cos(38,99)}=9450,3N\)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

\(F=\sqrt{(5000N)^2+(13000N)^2+2 \cdot 5000N \cdot 13000N \cdot cos(71,57)}=15 \; 333N\)

Antworten 2) & 5) sind korrekt!

Ein zentrales Kräftesystem ist dadurch definiert, dass sich die Wirklinien der auf einen Körper wirkenden Kräfte in einem Punkt schneiden. Dieser gemeinsame Schnittpunkt wird "Zentralpunkt" genannt.

Da die Kräfte entlang ihrer Wirklinie verschoben werden dürfen (nach dem Längsverschiebungssatz) haben sie bezüglich des Zentralpunkts keinen Hebelarm und damit auch kein Drehmoment.

In einem zentralen Kräftesystem treffen sich die Wirklinien aller Kräfte in einem Punkt. Die Resultierende \(\vec F_r\) ist die vektorielle Summe der Einzelkräfte:

\(\vec F_r = \displaystyle\sum_i \vec F_i = \sum_i \left( \begin{array}{centering} F_{ix}\\ F_{iy}\\ \end{array} \right) =\)\(\,\left( \begin{array}{centering} \sum F_{ix}\\ \sum F_{iy}\\ \end{array} \right)\)

Ein Vektor, dessen Betrag \(F = |\vec F|\) und Richtungswinkel \(\alpha\) (= Winkel, den der Vektor \(\vec F\) mit der positiven x-Achse einschließt) bekannt sind, lässt sich darstellen als:

\(\vec F =\left( \begin{array}{centering} F_x \\ F_y \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{centering} F\cdot\, \cos(\alpha) \\ F\cdot\, \sin(\alpha) \\ \end{array}\right)\)

Die x- und y-Komponenten der Resultierenden \(\vec F_r\) sind somit die Summen der Komponenten der Einzelkräfte:

\(F_{rx} = \displaystyle\sum_i F_{ix} = \sum_i F_i \cdot \,\cos(\alpha_i)\) und

\(F_{ry} = \displaystyle\sum_i F_{iy} = \sum_i F_i \cdot \,\sin(\alpha_i)\)

Der Betrag des Vektors \(\vec F_r\):

\(F_r = |\vec F_r| = \sqrt{F_{rx}^2 + F_{ry}^2}\)

Für den Betrag der Resultierenden als vektorielle Summe der Einzelkräfte ergibt sich daher:

\(F_r = \displaystyle\sqrt{\left[\sum F_i \cdot\,\cos(\alpha_i) \right]^2 + \left[\sum F_i \cdot\,\sin(\alpha_i) \right]^2}\)

\(= \sqrt{\left[ \cos(25)\cdot 120 + \cos(60)\cdot 210 + \cos(170)\cdot 90 \right]^2 + \left[ \sin(25)\cdot 120 + \sin(60)\cdot 210 + \sin(170)\cdot 90 \right]^2}\)

\(F_r = 278\,N\)

Die drei Kräfte \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) sind im Gleichgewicht. Somit ist die Kraft \(F_3\) der Resultierenden der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) gleich groß entgegengesetzt. Die Resultierende ist die vektorielle Summe der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\). Der Betrag der Kraft \(F_3\) entspricht der der Resultierenden und ist ihr entgegengerichtet, wie in der Abbildung zu sehen ist.

Damit ist gewährleistet, dass ein Kräftegleichgewicht vorliegt, es gilt:

\(\displaystyle\sum_i F_{ix} = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_{1x} + F_{2x} =- F_{3x}\) und analog auch für die y-Komponenten.

Wie zu sehen ist, liegt die Kraft \(F_3\) im IV. Quadranten (die Resultierende der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) im II.).

Wenn man erkennt, dass der eingeschlossene Winkel zwischen den Kräften \(F_1\) und \(F_2\) genau \(90^\circ\) entspricht, so lässt sich der Betrag der Resultierenden und damit auch der Kraft \(F_3\) als Diagonale des von \(F_1\) und \(F_2\) aufgespannten Parallelogramms mit dem Satz von Pythagoras berechnen:

\(F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{160^2 + 220^2} = 272\,N\)

Eine Kraft, deren Betrag \(F = |\vec F|\) und Richtungswinkel \(\alpha\) gegeben sind, kann durch Winkelfunktionen in ihre Komponenten zerlegt werden. Wie in der Abbildung zu sehen ist, ist die x-Komponente der Kräfte der Cosinus des Richtungswinkels gewichtet mit dem Betrag der Kraft. Die y-Komponente ist dementsprechend proportional zum Sinus des Winkels.

Für die x-Komponente der Kräfte ergibt sich also: \(F_{ix} = \cos(\alpha_i)\cdot F_i\)

Und für die y-Komponente: \(F_{iy} = \sin(\alpha_i)\cdot F_i\) (mit \(i = 1,2\)).

Somit lässt sich der Betrag der Resultierenden und damit auch der Kraft \(F_3\) bestimmen:

\(F_3 = |\vec F_3| = \sqrt{(F_{1x} + F_{2x})^2 + (F_{1y} + F_{2y})^2}\)

\(= \sqrt{\left[ \cos(\alpha_1)\cdot F_1 +\, \cos(\alpha_2)\cdot F_2 \,\right]^2 + \left[ \sin(\alpha_1)\cdot F_1 +\, \sin(\alpha_2)\cdot F_2 \,\right]^2}\)

\(= \sqrt{\left[\cos(70)\cdot 160 + \,\cos(160)\cdot 220\right]^2 + \left[\sin(70)\cdot 160 + \,\sin(160)\cdot 220\right]^2} = 272.03\)

\(F_3 = 272\, N\)

Zwei entgegengesetzt gleich große Kräfte bilden ein Kräftepaar. Das bedeutet, ihre Beträge sind gleich groß, sie wirken aber in genau entgegengesetzte Richtungen. Es lässt sich daher schreiben (betrachtet man die Kräfte 1-dimensional): \(F_1 = - F_2\).

Der Betrag der Resultierenden eines Kräftepaares ist daher: \(F_R = F_1 + F_2 = 0\).

Bei N Kräftepaaren ist also ebenso die Resultierende des i-ten Kräftepaares \(F_{R,\,i} = F_{1,\,i} + F_{2,\,i} = 0\) und damit deren Summe (die Resultierende des Gesamtsystems) auch 0.

Ein Vektor \(\bf{F}\) lässt sich in seine i- und j-Komponenten zerlegen:

\(\bf{F} = F_x \bf{i} + F_y \bf{j}\)

Dabei bezeichnen die Skalare \(F_x\) und \(F_y\) die Koordinaten des Vektors \(\bf{F}\).

(Die Aufspaltung eines Vektors in i- und j-Komponenten ist vor allem eine in der technischen Mechanik weit verbreitete Schreibweise. Andere übliche Notationen sind etwa \(\vec{e}_x\) oder \(\hat{e}_1\) für den Einheitsvektor in x-Richtung.)

WH:

Der Einheitsvektor \(\vec{e}_x\) (in x-Richtung) ist gegeben als \(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)\) während der Einheitsvektor \(\vec{e}_x\) (in y-Richtung) als \(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\) gegeben ist. Dies gilt im kartesischen System.

Die Resultierende eines Kräftesystems ist die Vektorsumme der Vektoren. Um die Summe der Vektoren zu erhalten, werden deren Komponenten addiert:

\(\bf{F}_R = \sum \bf{F} = \sum F_x \cdot \bf{i} + \sum F_y \cdot\bf{j}\)

Es müssen daher die x- und y-Koordinaten der Vektoren addiert werden.

In dieser Schreibweise sind die Vektoren:

\(\bf{F}_1 = 3\bf{i}\)

\(\bf{F}_2 = 2\bf{i} + \bf{j}\)

\(\bf{F}_3 = -\bf{i} + \bf{j}\)

\(\bf{F}_4 = -\bf{i} - 3\bf{j}\)

Und deren Summe:

\(\sum \bf{F} = \left( 3 + 2 +1 -3 \right)\bf{i} + \left( 1 +1 -3 \right)\bf{j} = 3\bf{i} - \bf{j}\)

\(\bf{F}_R = 3\bf{i} - \bf{j} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right)\)

(Anm.: Die Aufspaltung des Vektors in seine Komponenten scheint eine sperrige Schreibweise zu sein, allerdings sind hier die Koordinaten bezüglich der Basis direkt abzulesen. In den allermeisten Fällen wird die Standardbasis (kanonische Basis) gewählt, sodass die Koordinaten auch in der expliziten Schreibweise vorkommen. Dies muss allerdings nicht der Fall sein.)