Fragenliste von Komplanare vs. räumliche Kräfte, Zentralkräfte

Die konstante Kraft $\vec{F} = \begin{pmatrix}-12\\1\\3\\\end{pmatrix}$ $N$ verschiebe einen Massepunkt vom Punkte $P_1 = (1;-3;4)$ $m$ aus geradlinig in den Punkt $P_2 = (0;2;5)$ $m$ . Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel $\phi$ zwischen dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor? Nr. 2798
	$\phi = 71,93^\circ$
	$\phi = 93,71^\circ$
Lösungsweg Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft $\vec{F}$ um die Strecke $\vec{s}$ verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft $\vec{F}$ und dem Verschiebungsvektor $\vec{s}$ : $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\cdot \|\vec{s}\| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)$ Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente $\vec{F_s}$ besitzt den Betrag $\| \vec{F_s}\| = F_s = \| \vec{F}\| \cdot \cos(\phi)$ . Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s$ Verschiebungsvektor $\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix}$ Die dabei verrichtete Arbeit $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}-12\\1\\3\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix} = (12 + 5 + 3) Nm = 20 Nm$ Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von $\vec{F}$ und $\vec{s}$ . $\|\vec{F}\| = \sqrt{(-12)^2 + 1^2 + 3^2} N = \sqrt{154} N$ $\|\vec{s}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 1^2} m = \sqrt{27} m$ Dann aber gilt: $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\|\vec{s}\| \cos(\phi)$ $\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{W}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{20 Nm}{\sqrt{154} N \sqrt{27} m} = 0,31$ daraus folgt $\phi = \arccos(0,31) = 71,93^\circ$

Die konstante Kraft $\vec{F} = \begin{pmatrix}4\\8\\0\\\end{pmatrix}$ $N$ verschiebe einen Massepunkt vom Punkte $P_1 = (2;-2;4)$ $m$ aus geradlinig in den Punkt $P_2 = (1;6;3)$ $m$ . Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel $\phi$ zwischen dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor? Nr. 2799
	$\phi = 34,34^\circ$
	$\phi = 43,43^\circ$
Lösungsweg Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft $\vec{F}$ um die Strecke $\vec{s}$ verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft $\vec{F}$ und dem Verschiebungsvektor $\vec{s}$ : $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\cdot \|\vec{s}\| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)$ Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente $\vec{F_s}$ besitzt den Betrag $\| \vec{F_s}\| = F_s = \| \vec{F}\| \cdot \cos(\phi)$ . Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s$ Verschiebungsvektor $\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}$ Die dabei verrichtete Arbeit $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}4\\8\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix} = (-4 + 60 + 0) Nm = 60 Nm$ Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von $\vec{F}$ und $\vec{s}$ . $\|\vec{F}\| = \sqrt{4^2 + 8^2 + 0^2} N = 4\sqrt{5} N$ $\|\vec{s}\| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + (-1)^2} m = \sqrt{66} m$ Dann aber gilt: $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \|\vec{F}\|\|\vec{s}\| \cos(\phi)$ $\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{W}{\|\vec{F}\|\|\vec{s}\|} = \frac{60 Nm}{4\sqrt{5} N \sqrt{66} m} = 0,82572$ und daher $\phi = \arccos(0,82572) = 34,34^\circ$

Elektronen, die mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ in ein Magnetfeld der Flussdichte $\vec{B}$ eintreten, erfahren dort die Lorentz-Kraft $\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{B})$ Wie groß ist die Krafteinwirkung auf ein Elektron, wenn $\vec{v}$ und $\vec{B}$ die folgenden Komponenten besitzen? (Elementarladung $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\,C$ ) $\vec{v} = \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \,\,\frac{m}{s}$ und $\vec{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix}\,\,T$ Nr. 2807
	$\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N$
	$\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}1 \\- 1 \\0\\\end{pmatrix} N$
Lösungsweg Definition und Berechnung Unter dem Vektorprodukt $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. $\vec{c}$ ist sowohl zu $\vec{a}$ als auch zu $\vec{b}$ orthogonal: $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ 2. Der Betrag von $\vec{c}$ ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $\phi: \|\vec{c}\| = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \sin(\phi)$ 3. Die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System Es gilt: $\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}$ $\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{b}) = - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix} C \cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{ Vs}{m^2}$ $= - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}(200 - 0)\\- (200 - 0)\\(0 - 0)\\\end{pmatrix} N$ $= - (1,6 \cdot 10^{-19}) \begin{pmatrix}200 \\- 200 \\0\\\end{pmatrix} N = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N$

Elektronen, die mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ in ein Magnetfeld der Flussdichte $\vec{B}$ eintreten, erfahren dort die Lorentz-Kraft

$\vec{F_L} = - e (\vec{v} \times \vec{B})$

Wie groß ist die Krafteinwirkung auf ein Elektron, wenn $\vec{v}$ und $\vec{B}$ die folgenden Komponenten besitzen? (Elementarladung $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\,C$ )

$\vec{v} = \begin{pmatrix}1000\\1000\\0\\\end{pmatrix} \,\,\frac{m}{s}$ und $\vec{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\0,2\\\end{pmatrix}\,\,T$

Nr. 2807

$\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}2 \\- 2 \\0\\\end{pmatrix} N$

$\vec{F_L} = - (1,6 \cdot 10^{-17}) \begin{pmatrix}1 \\- 1 \\0\\\end{pmatrix} N$

Lösungsweg

Ein großes Schiff wird von zwei kleineren gezogen. Das erste Schiff $B_1$ zieht mit einer Kraft von $F_1=4000N$ Das zweite Schiff $B_2$ zieht mit einer Kraft von $F_2=6000N$ Berechne mit welcher Kraft $F$ sich das große Schiff (schräg) vorwärts bewegt. Nr. 3540
	$F=9450,3N$
	$F=6423,3N$
	$F=8521N$
	$F=9033,6N$
Lösungsweg Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren. Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird. Für die (längere) Diagonale $e$ eines Parallelogramms gilt: $e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}$ Daraus folgt: $F=\sqrt{(4000N)^2+(6000N)^2+2\cdot 4000N \cdot 6000N \cdot cos(38,99)}=9450,3N$

Zwei kleine Schiffe ziehen ein großes hinter sich her. Das erste Schiff $S_1$ zieht mit einer Kraft von $F_1=5000N$ , während das zweite $S_2$ mit einer Kraft von $F_2=13000N$ zieht. Mit welcher Kraft $F$ wird das große Schiff vorwärts gezogen? Nr. 3541
	$F=15\; 333N$
	$F=11\; 873N$
	$F=19\; 835N$
	$F=17\; 212N$
Lösungsweg Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren. Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird. Für die (längere) Diagonale $e$ eines Parallelogramms gilt: $e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}$ $F=\sqrt{(5000N)^2+(13000N)^2+2 \cdot 5000N \cdot 13000N \cdot cos(71,57)}=15 \; 333N$

An einem starren Körper greifen N Kräftepaare ( $N \qquad \geq \qquad 2$ ) an. Der Betrag der i-ten einzelnen Kraft wird als $F_i$ bezeichnet. Wie groß ist die Resultierende $F_R$ dieses Kraftsystems? Nr. 4756
	$F_R = \displaystyle\sum_{i=1}^{N} F_i = F_1 + F_2 +\, \dots \,+ F_N$
	$F_R =2\,\cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{N} F_i = 2\cdot\,( F_1 + F_2 +\, \dots \,+ F_N )$
	$F_R =\frac{1}{2}\,\cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{N} F_i = \frac{1}{2}\cdot\,( F_1 + F_2 +\, \dots \,+ F_N )$
	$F_R =\frac{1}{N}\,\cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{N} F_i = \frac{1}{N}\cdot\,( F_1 + F_2 +\, \dots \,+ F_N )$
	$F_R = 0$
Lösungsweg Zwei entgegengesetzt gleich große Kräfte bilden ein Kräftepaar. Das bedeutet, ihre Beträge sind gleich groß, sie wirken aber in genau entgegengesetzte Richtungen. Es lässt sich daher schreiben (betrachtet man die Kräfte 1-dimensional): $F_1 = - F_2$ . Der Betrag der Resultierenden eines Kräftepaares ist daher: $F_R = F_1 + F_2 = 0$ . Bei N Kräftepaaren ist also ebenso die Resultierende des i-ten Kräftepaares $F_{R,\,i} = F_{1,\,i} + F_{2,\,i} = 0$ und damit deren Summe (die Resultierende des Gesamtsystems) auch 0.

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