Fragenliste von Drehmoment

Der Kreuzritter Richard Löwenherz sitzt in seinem Verlies fest. Der Weg in die Freiheit führt über eine Bodentüre der Länge \(L\), die er von der Unterseite aufstemmen muss, um nach draußen zu gelangen (siehe Abb.). Zu seinem Erschwernis ist die Türe mit einer prall gefüllten Kiste der Masse \(m=250\,kg\) gesichert. Der Schwerpunkt der Kiste liegt im Abstand \(x_{Kiste}=\frac{L}{3}\) vom Scharnier der Türe entfernt. Richard ist schlau und stemmt die Türe am äußeren Ende (im Abstand \(L\) zum Scharnier) nach oben. Mit welcher Kraft muss Richard Löwenherz nach oben drücken, um die Türe öffnen zu können? Nr. 4457
	\(F\quad\gt \quad 1635\,N\)
	\(F\quad\gt \quad 2453\,N\)
	\(F\quad\gt \quad 818\,N\)
	\(F\quad\gt \quad 7358\,N\)
	\(F\quad\gt \quad 1226\,N\)
Lösungsweg Um dieses Beispiel zu lösen, stellen wir zunächst die angreifenden Kräfte auf die Türe schematisch dar ("Freischneiden"). Das ist in der Abbildung rechts dargestellt, wobei die nach unten gerichtete Gewichtskraft der Truhe mit \(\vec F_G\) und die nach oben gerichtete Druckkraft mit \(\vec F_D\) bezeichnet werden. Diese beiden Kräfte wirken auf die Türe bzw. einen waagrechten Balken und bewirken jeweils ein Drehmoment. Die nach unten gerichtete Gewichtskraft \(\vec F_G\) bewirkt eine Drehung um das Scharnier (Drehachse) im Uhrzeigersinn, was einem negativen Drehmoment entspricht. Die entgegengerichtete Druckkraft bewirkt hingegen eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn, dementsprechend ein positives Drehmoment. Das resultierende Drehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente, also: \(M_{res}=\sum_{i}M_i\) (Da in diesem Fall die Drehmomente parallel zu einer festen Drehachse stehen, betrachten wir nur die Beträge der Drehmomente.) Das einzelne Drehmoment, das eine Kraft auf den Balken ausübt, berechnet sich mit \(M_i=R_i\cdot F_i\), wobei \(F_i\) die Kraft \(i\) und \(R_i\) der Hebelarm dieser Kraft ist. Dieser Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und dem Punkt, an dem die Kraft angreift. Damit ergibt sich mit der obigen Vorzeichenkonvention (im bzw. gegen den Uhrzeigersinn rotierendes Drehmoment): \(M_{res}=R_D\cdot F_D - R_G\cdot F_G = L\cdot F_D - \frac{L}{3}\cdot F_G\) Damit Richard Löwenherz die Türe öffnen kann, muss sich die Türe gegen den Uhrzeigersinn drehen, das resultierende Drehmoment also positiv sein. Es muss also gelten: \(M_{res}\quad \gt\quad 0\). Und damit: \(\cancel{L}\cdot F_D - \frac{\cancel{L}}{3}\cdot F_G \quad \gt\quad 0 \hspace*{10mm}/:\,L\) \(F_D\quad \gt \quad \frac{F_G}{3}\) Richard Löwenherz muss also mehr als ein drittel der Gewichtskraft der Truhe aufwenden, um ausbrechen zu können! Mit \(F_G=m_{Truhe}\cdot g=250\, kg\cdot 9,81\, \frac{N}{kg}\) folgt: \(F_D\quad \gt \quad 817,5\, N\)

Seiltrommel und Handkurbel eines Hebelzugs sind fest miteinander verbunden. Die Kurbellänge beträgt \(l=420\,mm\), der Trommeldurchmesser \(d=140\, mm\). Welches Drehmoment \(M\) wird an der Handkurbel erzeugt, wenn eine Handkraft \(F=200\, N\) am Ende der Kurbel angreift? Nr. 4459
	\(M=70\, Nm\)
	\(M=84\, Nm\)
	\(M=84000\, Nm\)
	\(M=56\, Nm\)
	\(M=0,84\, Nm\)
Lösungsweg Für das Drehmoment \(M\) gilt: \(M=h\cdot F\) wobei \(h\) die Länge des Hebelarmes bezeichnet - der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und der Wirklinie, an der die Kraft \(F\) angreift. In diesem Fall ist also der Hebelarm \(h=l=42\,mm=0,42\,m\), die Länge der Handkurbel. Somit erhalten wir für das Drehmoment \(M=l\cdot F = 0,42\,m \cdot 200\,N = 84\,Nm\)

Seiltrommel und Handkurbel eines Hebelzugs sind fest miteinander verbunden. Die Kurbellänge beträgt \(l=420\,mm\), der Trommeldurchmesser \(d=140\, mm\). Am Ende der Handkurbel greift eine Handkraft \(F=200\,N\) an. Wie groß ist die Seilkraft \(F_S\), die dadurch im Seil hervorgerufen wird? Nr. 4460
	\(F=56\,N\)
	\(F=600\,N\)
	\(F=1,2\,N\)
	\(F=1200\,N\)
	\(F=6000\,N\)
Lösungsweg Um die Seilkraft \(F_S\) zu bestimmen gehen wir von einem Momentengleichgewicht aus. Das Drehmoment, das durch die Handkraft \(F\) erzeugt wird, muss entgegengesetzt gleich groß sein wie das der Seilkraft \(F_S\). Das Drehmoment berechnet sich durch \(M=h\cdot F\). Dabei ist \(h\) die Länge des Hebelarms - der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirklinie, an der die Kraft \(F\) angreift. Der Hebelarm für die Handkraft entspricht der Handkurbel mit Länge \(h=l=140\,mm=0,14\,m\). Der Hebelarm für die Seilkraft entspricht dem halben Durchmesser der Seiltrommel (also deren Radius). Momentengleichgewicht bedeutet, dass die Summe der Drehmomente verschwindet, also \(\displaystyle\sum_i M_i=0\) gilt. Konventionsgemäß werden Drehmomente, die gegen den Uhrzeigersinn drehen, mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend erhalten Drehmomente, die im Uhrzeigersinn drehen, ein negatives Vorzeichen. Die Drehachse geht durch das Gelenk, das in der Mitte der Seiltrommel liegt. Demnach erhalten wir für die Seilkraft ein positives und für die Handkraft ein negatives Vorzeichen des Drehmoments. \(\displaystyle\sum_i M_i= \frac{d}{2}\cdot F_S - l\cdot F=0 \qquad \Rightarrow \qquad F_S=\frac{2l\cdot F}{d}\) Einsetzen der angegebenen Werte: \(F_S=\frac{2l\cdot F}{d} = \frac{2\cdot 0,42\,m\cdot 200\,N}{0,14\,m} = 1200\,N\)

Ein Drehkran wird mit einer Last \(F=10\,kN\) im Abstand \(l_1=6\,m\) von der Drehachse (Punkt A in der Grafik) belastet. Das Eigengewicht des Krans beträgt \(F_E=8\,kN\), der Schwerpunkt befindet sich im Abstand \(l_S=1\,m\) von der Drehachse entfernt. Das Gegengewicht beträgt \(F_G=16\,kN\) und \(l_2=2,5\,m\). Berechne das Drehmoment \(M\) im Punkt A des Krans. Nr. 4461
	\(M=-28\,kNm\)
	\(M=6\,kNm\)
	\(M=-20\,kNm\)
	\(M=-12\,kNm\)
	\(M=+12\,kNm\)
Lösungsweg Das Drehmoment (eigentlich der Betrag des Drehmoments), das von einer Kraft verursacht wird, ist definiert als \(M=h\cdot F\). Dabei bezeichnet \(h\) die Länge des Hebelarms, der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirklinie der angreifenden Kraft \(F\). In diesem Fall wirken drei Kräfte und deren Hebelarm ist stets der horizontale Abstand zur Drehachse, die sich im Punkt A befindet. Die Kräfte sind das Eigengewicht des Krans, die angehängte Last und das Gegengewicht, die in den jeweils angegebenen Abständen zur Drehachse einwirken. Das Eigengewicht wirkt im Schwerpunkt, wie in der Abbildung zu sehen ist. Das Gesamtdrehmoment berechnet sich durch die Summe der einzelnen Drehmomente: \(M_{ges}=\displaystyle\sum_i M_i=\pm M_E \pm M_G \pm M_F\) Konventionsgemäß haben gegen den Uhrzeigersinn drehende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn drehende ein negatives Vorzeichen. In diesem Fall bewirkt das Gegengewicht \(F_G\) (auf der linken Seite des Punkts A) ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment um die Drehachse in Punkt A. Die anderen beiden Kräfte bewirken hingegen eine Drehung im Uhrzeigersinn, wie in der Abbildung dargestellt. Somit ergibt sich mit der entsprechenden Vorzeichenkonvention: \(M_{ges}=- M_E + M_G - M_F = -1\,m\cdot 8\,kN + 2,5\,m\cdot 16\,kN - 6\,m\cdot 10\,kN = -28\,kNm\)

Ein Drehkran wird mit folgenden Kräften belastet: Höchstlast \(F=8\,kN\), Eigengewichtskraft \(F_E=6\,kN\) und der Gegengewichtskraft \(F_G=12\,kN\). Die Abstände betragen \(l_1=5,5\,m\), \(l_2=1\,m\) und \(l_3=1,5\,m\). Wie groß ist der Abstand \(l_0\) der Resultierenden \(F_r\) der drei Kräfte von der Drehachse, die durch Punkt A verläuft? Nr. 4462
	\(l_0\quad \approx \quad 1,54\,m\)
	\(l_0\quad \approx \quad 2,92\,m\)
	\(l_0\quad \approx \quad 2,50\,m\)
	\(l_0\quad \approx \quad 1,23\,m\)
	\(l_0\quad \approx \quad 1,88\,m\)
Lösungsweg Da die drei Kräfte parallel zueinander stehen, ist die Resultierende die Summe der einzelnen Kräfte (die Gesamtgewichtskraft): \(F_r=\left\| \vec F_r\right\| = F_G+F_E+F=26\,kN\) Um die Lage der Resultierenden - also den Schwerpunkt - zu bestimmen, verwenden wir die Tatsache, dass dort die Summe der Drehmomente verschwinden muss. Wie aus der Graphik ersichtlich, wird bei der links angreifenden Gegenkraft \(F_G\) der Hebelarm von \(l_3\) auf \(l_3 + l_0\) verlängert, während die Hebelarme der anderen beiden Kräfte jeweils um \(l_0\) verkürzt werden. Anmerkung: dass sich die Resultierende tatsächlich auf der rechten Seite des Punktes A befindet, muss nicht zwingend der Fall sein. Sollte er auf der linken Seite liegen, bekämen wir einen negativen Wert für \(l_0\). Mit der üblichen Vorzeichenkonvention - positives Vorzeichen für Drehmomente gegen den Uhrzeigersinn und negatives für Drehmomente im Uhrzeigersinn - erhalten wir: \(F_G\cdot (l_3+l_0) = F_E\cdot (l_2-l_0) + F\cdot (l_2+l_1 - l_0)\) \(F_G\cdot l_3 + F_G\cdot l_0 = F_E\cdot l_2-F_E\cdot l_0 + F\cdot (l_2 + l_1) - F\cdot l_0 \hspace{18mm} \| \qquad l_0\ \mathrm{herausheben}\) \(l_0\cdot ( \underbrace{F_G + F_E + F}_{F_r} )= F_E\cdot l_2 + F\cdot (l_2 + l_1)-F_G\cdot l_3\) \(\Rightarrow \qquad l_0=\frac{F_E\cdot l_2 + F\cdot (l_2 + l_1)-F_G\cdot l_3}{F_r} = \quad\)\(\frac{6\,kN\cdot 1\,m + 8\,kN\cdot 6,5\,m - 12\,kN\cdot 1,5\,m}{26\,kN} = \frac{40\,kNm}{26\,kN}\qquad \approx \qquad 1,54\,m\) Alternativer Lösungsweg: Ein anderer und wesentlich kürzerer Lösungsweg wäre gewesen, die Schwerpunktformel zu verwenden und dabei die Drehachse bzw. den Punkt A in den Ursprung zu setzen. Interpretieren wir den Kran mit den wirkenden Kräften als System aus drei Massenpunkten, wird die Rechnung wesentlich einfacher. Für ein System aus \(N\) Massenpunkten lässt sich der Schwerpunkt berechnen mit: \(S=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N m_i}\) Dabei bezeichnen \(x_i\) die Abstände der Punktmassen vom Ursprung des Koordinatensystems. Die Masse lässt sich durch die Gewichtskraft ausdrücken: \(F=m\cdot g \qquad \Rightarrow \qquad m=\frac{F}{g}\) Die Erdbeschleunigung \(g\) kürzt sich allerdings in der Formel für den Schwerpunkt stets heraus, weswegen anstatt der Masse \(m\) in der Formel die Gewichtskraft \(F\) geschrieben werden kann (Bonusaufgabe: dies zu überprüfen!). Wenn der Punkt A in den Ursprung gelegt wird, kommt man durch Einsetzen in die Schwerpunktformel auf die obige Gleichung für \(l_0\): \(l_0=S=\frac{-F_G\cdot l_3 + F_E\cdot l_2 + F\cdot\, (l_2+l_3)}{F_G+ F_E + F}\)

Welche Aussagen sind korrekt? Ein Kräftepaar besteht aus zwei ... Nr. 4463
	gleichen Kräften.
	Kräften, die in entgegengesetzte Richtungen wirken.
	beliebigen Kräften.
	Kräften mit gleichem Betrag.
	Kräften, die parallel zueinander sind.
Lösungsweg Ein Kräftepaar bezeichnet in der technischen Mechanik zwei Kräfte, die o) den gleichen Betrag haben (also gleich große Kräfte) o) aber in entgegengesetzte parallele Richtungen wirken

Auf einen homogenen Balken wirken zwei gleich große parallele, aber entgegengesetzte Kräfte \(\vec F\) und \(-\vec F\) gemäß der Abbildung. Es handelt sich also um ein Kräftepaar, das auf den Balken wirkt. Die Wirklinien der beiden Kräfte sind gestrichelt dargestellt. Der Schwerpunkt des Balkens wird mit \(S\) bezeichnet. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Nr. 4464
	Die Resultierende der angreifenden Kräfte \(F_r=0\).
	Das resultierende Moment ist \(M=0\).
	Das Kräftepaar bewirkt eine Rotation um den Schwerpunkt \(S\).
	Da sich die beiden Kräfte aufheben, bleibt der Balken in Ruhe.
	Das Kräftepaar bewirkt eine Rotation des Balkens, nicht aber eine Translation.
Lösungsweg Antworten 1) & 5) sind korrekt! 1) Da die beiden Kräfte entgegengesetzt gleich groß sind, also den gleichen Betrag haben und in entgegengesetzte Richtung wirken, ist die Resultierende \(F_r = F + (-F) = 0\). Die beiden Kräfte sind parallel, es kann daher nur mit den Beträgen gerechnet werden. 5) Es ist keine Translation möglich, weil die Resultierende \(F_r=0\). Da die beiden Kräfte aber unterschiedliche Wirklinien haben (bzw. diese im Abstand \(a\) zueinander liegen), bewirken sie ein Drehmoment, also eine Rotation. Die Drehachse liegt in der Mitte der beiden Wirklinien, in diesem Fall geht sie also nicht durch den Schwerpunkt des Balkens!

Ein Kräftepaar mit den Kräften \(F=1,4\, kN\) erzeugt ein Drehmoment \(M=980\,Nm\). Welchen Wirkabstand \(l\) hat das Kräftepaar? Nr. 4467
	\(l=1,43\,m\)
	\(l=0,7\,m\)
	\(l=1,372\,m\)
	\(l=700\,m\)
	\(l=70\,cN\)
Lösungsweg Ein Kräftepaar sind zwei gleich große, parallele, aber entgegengesetzte Kräfte. Das erzeugte Drehmoment berechnet sich durch: \(M=F\cdot l\) Umformen und Einsetzen der Werte ergibt: \(l=\frac{M}{F} = \frac{980\,Nm}{1400\,N}= 0,7\,m\)

Auf einen homogenen Balken der Länge \(l=2,5\,m\) wirken drei Kräfte \(F_1=700\,N\), \(F_2=400\,N\) und \(F_3=500\,N\). Die Winkel betragen \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 45^\circ\) und \(\gamma = 60^\circ\). Bestimme das Nettodrehmoment M im Schwerpunkt S. Nr. 4468
	\(M=408\,Nm\)
	\(M=-484\,Nm\)
	\(M=-242\,Nm\)
	\(M=-130\,Nm\)
	\(M=840\,Nm\)
Lösungsweg Für das Drehmoment einer einwirkenden Kraft \(F\) gilt: \(M_F=F\cdot h\), wobei \(h\) den Hebelarm bezeichnet. Dieser ist der senkrechte Abstand der Wirklinie der Kraft \(F\) zur Drehachse. Da die Kräfte nicht senkrecht auf den Balken stehen, müssen zunächst die senkrechten Komponenten der Kräfte ermittelt werden, da nur diese zum Drehmoment beitragen. Wie in der Grafik ersichtlich ist, korrespondieren diese mit dem Sinus des jeweiligen Winkels, den die Kraft mit dem Balken einschließt. Es sind also: \(F_{1\perp} = F_1 \cdot \,\sin(\alpha)\), \(F_{2\perp} = F_2 \cdot \,\sin(\beta)\) und \(F_{3\perp} = F_3 \cdot \,\sin(\gamma)\). Das Nettodrehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente: \(M=\displaystyle\sum_i M_i=\displaystyle\sum_i F_{i\perp}\cdot h_i\) Dabei werden linksdrehende Momente (gegen den Uhrzeigersinn) mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend rechtsdrehende (im Uhrzeigersinn) mit einem negativen Vorzeichen. Die Kraft \(F_1\) erzeugt daher ein positives und die Kraft \(F_3\) ein negatives Drehmoment. Da das Drehmoment im Schwerpunkt S zu bestimmen ist, und die Kraft \(F_2\) im Schwerpunkt angreift, ist deren Hebelarm \(h_2=0\). Diese Kraft trägt also in diesem Punkt nichts zum Nettodrehmoment bei. Mit der Vorzeichenkonvention ergibt sich: \(M=\displaystyle\sum_i F_i\cdot h_i = F_{1\perp}\cdot h_1 - F_{2\perp} \cdot h_2 = F_1 \sin(\alpha)\cdot 1,25 - F_3\sin(\gamma)\cdot 1,25\) \(M=-242\,Nm\) Der Balken erfährt im Schwerpunkt also ein Drehmoment im Uhrzeigersinn.

Auf einen Balken wirken die drei Kräfte \(\vec F_1\), \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\). Wie groß sind die Beträge der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\), wenn ein Kräftegleichgewicht vorliegt? Geg.: \(F_1 = 500\,N\), \(\alpha = 50^\circ\), \(\beta= 30^\circ\). Nr. 4598
	\(F_2 = 326\,N\) \(F_3 = 440\,N\)
	\(F_2 = 312\,N\) \(F_3 = 188\,N\)
	\(F_2 = 295\,N\) \(F_3= 386\,N\)
	\(F_2 = 440\,N\) \(F_3 = 326\,N\)
	\(F_2 = 386\,N\) \(F_3 = 295\,N\)
Lösungsweg Die Gleichgewichtsbedingungen müssen sowohl für die x- als auch die y-Komponenten der einwirkenden Kräfte erfüllt sein: \(\displaystyle\sum_i F_{ix} = 0\) und \(\displaystyle\sum_i F_{iy} = 0\) mit \(i = (1,2,3)\). Anm.: In diesem Fall würde ebenso ein Drehmoment wirken (abhängig von den Hebelarmen, die aber nicht gegeben sind), das allerdings unabhängig vom Kräftegleichgewicht betrachtet werden muss - auch wenn ein Kräftegleichgewicht vorliegt, kann es ein Nett-Drehmoment geben, und umgekehrt! Die x-Komponente der Kraft \(\vec F_1\) ist 0, es muss also gelten: \(\displaystyle\sum_i F_{ix} = F_{2x} + F_{3x}=0\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die x-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Cosinus des jeweiligen Winkels. Damit gilt für deren Beträge (das negative Vorzeichen ergibt sich durch die entgegengesetzten Richtungen der x-Komponenten): \(F_2\cdot \,\cos(\alpha) - F_3\cdot\, \cos(\beta) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_2 = \frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\) Die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) müssen in Summe entgegengesetzt gleich groß sein, wie die der Kraft \(\vec F_1\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Sinus des jeweiligen Winkels und für die Beträge ergibt sich: \(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\) \(F_1\) ist hierbei der Betrag der Kraft \(\vec F_1\). Da die Kraft \(\vec F_1\) aber nur eine y-Komponente besitzt, ist dessen Betrag auch einfach nur diese y-Komponente. Für \( F_2=\frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\) eingesetzt: \(\frac{F_3\cdot \,\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\) \(\Rightarrow \qquad F_3\cdot\, \left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right] = F_1\) \(F_3= \frac{F_1}{\left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right]} = \frac{500\,N}{\left[\cos(30^\circ) \cdot \,\tan(50^\circ) + \,\sin(30^\circ)\right]}\) \(F_3 = 326.4\,N\) Analog ergibt sich für den Betrag der Kraft \(\vec F_2\): \(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + \frac{F_2\cdot\,\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\cdot \,\sin(\beta) = F_1\) \(\Rightarrow F_2 = \frac{F_1}{\left[ \sin(\alpha) +\, \cos(\alpha)\cdot \tan(\beta) \right]} = 439.7\,N\)

An einem L-förmigen Bauteil greifen zwei Kräftepaare an. Welchen Betrag müssen die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) haben, sodass das resultierende Moment verschwindet? Nr. 4612
	\(F_1 = 6\, kN\) \(F_2 = 0\)
	\(F_1 = F_2 = 13.5\, kN\)
	\(F_1 = F_2 = 6\,kN\)
	\(F_1 = F_2 = 9\, kN\)
	\(F_1 = F_2 = 3\,kN\)
Lösungsweg Das Drehmoment bezüglich eines (Dreh-)Punktes ist definiert als das Produkt aus einwirkender Kraft und deren Hebelarm. Der Hebelarm \(h\) ist der senkrechte Abstand der Wirklinie einer Kraft \(F\) zum Drehpunkt (die Länge \(h\) steht also senkrecht auf die Wirklinie der Kraft). Wirken mehrere Kräfte, so kann es auch mehrere Drehmomente geben, das Gesamtdrehmoment ist dann die Summe der einzelnen Drehmomente. Somit ist das Gesamtdrehmoment: \(M_{ges} = \displaystyle\sum_i F_i \cdot h_{i} = F_1\cdot h_1 + F_2 \cdot h_2 +\, \dots\) In diesem Fall kann als Bezugspunkt nicht die Ecke gewählt werden, da die Abstände der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) zur Ecke nicht bekannt sind. Es muss daher einer der Angriffspunkte gewählt werden. In der Abbildung ist der Fall abgebildet, dass als Bezugspunkt P der Angriffspunkt von \(F_1\) gewählt wird (es kann genauso gut auch der Angriffspunkt von \(F_2\) gewählt werden, die Rechnung ist die selbe). Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneidet die Kraft \(F_1\) den Bezugspunkt P, damit ist ihr Hebelarm gleich \(h_{F1}=0\). Genauso ist der Hebelarm der oberen einwirkenden Kraft (die an der Ecke angreift) bezüglich des Punktes P gleich 0: diese Kraft lässt sich entlang ihrer Wirklinie verschieben (Längsverschiebungssatz) und hat somit keinen senkrechten Abstand zum Punkt P. Wie zu sehen ist, haben nur die Kräfte \(F_1\) und die untere Zugkraft auf den Balken eine senkrechte Komponente. Die Hebelarme sind dabei für die Kraft \(F_2\) gleich \(h_{F_2} = 6\,m\) und für die Kraft am unteren Ende des Balkens \(4\,m\). Nach der üblichen Vorzeichenkonvention erhalten gegen den Uhrzeigersinn rotierende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn rotierende ein negatives Drehmoment. Damit: \(M_{ges} = F_2 \cdot 6\,m - 9\,kN \cdot 4\,m = 0\) \(F_2 = \frac{9\,kN\cdot 4\,\cancel{m}}{6\,\cancel{m}} = 6\,kN\) Da es sich um Kräftepaare handelt, muss der Betrag der Kraft \(F_1\) dem der Kraft \(F_2\) entsprechen: \(F_1 = F_2 = 6\,kN\) Um ein statisches Gleichgewicht zu erhalten, müssen die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) entgegengesetzt gleich groß sein, was einem Kräftepaar entspricht.

Ein homogener Balken der Länge \(l_0 = 4\,m\) ist in A gelagert und liegt in B auf einer Mauerkante auf. Die Berührung bei A und B sei reibungsfrei. Die Gewichtskraft des Balkens beträgt \(F_G = 800\,N\), die Abmessungen betragen \(l_1 = 2.5\,m\) und \(l_2 = 2\,m\). Berechnen Sie die Beträge der Stützkräfte \(F_A\) und \(F_B\). (Ergebnisse gerundet) Nr. 4645
	\(F_A = 500\,N\) \(F_B = 625\,N\)
	\(F_A = 607\,N\) \(F_B = 390\,N\)
	\(F_A = 390\,N\) \(F_B = 552\,N\)
	\(F_A = 589\,N\) \(F_B = 312\,N\)
	\(F_A = 552\,N\) \(F_B = 390\,N\)
Lösungsweg In der Abbildung sind die drei Kräfte abgebildet, die miteinander im Gleichgewicht sind: einerseits die Gewichtskraft \(\vec F_G\) und die beiden Lagerkräfte \(\vec F_A\) und \(\vec F_B\). Kräftegleichgewicht: \(\displaystyle\sum F_x = F_{Ax} - F_{Bx} + \underbrace{\cancel{F_{Gx}}}_{=0} = 0\) (x-Komponenten der Lagerkräfte entgegengesetzt, daher negatives Vorzeichen) \(\displaystyle\sum F_y = F_{Ay} + F_{By} - F_{Gy} = 0\) ( Gewichtskraft senkrecht nach unten gerichtet, daher negative y-Komponente) Da es sich beim Lager A um ein Festlager handelt, muss das Lager in Punkt B einem Loslager entsprechen - die Lagerkraft in B ist daher senkrecht zur Lagerfläche (dem Balken) gerichtet. Es muss also für die Komponenten der Kraft B gelten \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1}\) (umgekehrtes Seitenverhältnis wie für Breite und Höhe der Stufe). Alternativ - und möglicherweise einfacher - kann auch über den Winkel \(\alpha = \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\right) = 38,66^\circ\) gerechnet werden, die Ergebnisse sind die selben. Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt A: \(\displaystyle\sum M_A = F_B\cdot h_B - l_G \cdot F_G = 0\) Mit dem Hebelarm \(h_B\) der Lagerkraft \(F_B\), diese steht bereits senkrecht auf den Balken, daher: \(h_B = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{2,5^2 + 2^2} = \sqrt{10,25}\). Der Hebelarm der Gewichtskraft steht senkrecht auf ihre Wirklinie, dieser wurde mit \(l_G\) bezeichnet. Da es sich um einen homogenen Balken handelt, greift die Gewichtskraft \(F_G\) im Schwerpunkt, in der Mitte des Balkens an. Die Länge \(l_G\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen: \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\), wobei \(h_G\) die Höhe bezeichnet, auf der sich der Schwerpunkt des Balkens befindet. Da es sich, wie in der Abbildung zu sehen, um ähnliche Dreiecke handelt, müssen deren Seitenverhältnisse gleich sein: \(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_G}{h_G} \qquad \Rightarrow \qquad h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) Damit lässt sich auf die gesuchte Länge \(l_G\) umformen (Herleitung siehe ganz unten): \( l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2\,m}{2,5\,m}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}} = 1,56172\,m\) (Auf dieses Ergebnis wäre man mit dem Winkel \(\alpha = 38,66^\circ\) ebenso gekommen: \(l_G = \cos(38,66^\circ) \cdot \frac{l_0}{2}= 0,78086\cdot 2 = 1,56172\,m\)) Wir erhalten also für das Momentengleichgewicht: \(F_B \cdot \sqrt{10,25}\quad = F_G \cdot \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}}\) Damit lässt sich die Lagerkraft B bestimmen: \(F_B = \frac{800\,N\cdot 4\,m}{2\cdot \sqrt{10,25 \cdot 1,64}\,m} = 390,2\,N\) Wie oben ausgeführt, gilt für die Komponenten der Lagerkraft \(F_B\): \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1} \qquad \Rightarrow \qquad F_{By} = \frac{F_{Bx}\cdot l_1}{l_2} = 1,25\,F_{Bx}\) Damit lässt sich wiederum mit dem Satz des Pythagoras berechnen: \(F^2 = F_{Bx}^2 + F_{By}^2 = F_{Bx}^2 + 1,25^2\cdot F_{Bx}^2 = F_{Bx}^2\cdot \,\left( 1 + 1,25^2\right)\) \(\Rightarrow \qquad F_{Bx} = \frac{F_B}{\sqrt{(1 + 1,25^2)}}} = 243,8\,N\) (Auf das selbe Ergebnis wären wir mit Hilfe von Winkelfunktionen gekommen: \(F_{Bx} = \sin(\alpha)\cdot F_B = \sin(38,66^\circ)\cdot 307,6 = 243,8\,N\)) Und damit (Gleichgewichtsbedingungen): \(F_{Ax} = F_{Bx} = 243,8\,N\) \(F_{Ay} = F_G - F_{By} = 800\,N - \underbrace{1,25\cdot 243,8\,N}_{F_{By}} =495,25\,N\) \(F_A = \sqrt{F_{Ax}^2 + F_{Ay}^2} = \sqrt{243,8^2 + 495,25^2} = 552\,N\) Herleitung des Hebelarms \(l_G\) der Gewichtskraft: Aus \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\) und \( h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) (siehe oben) wird zunächst: \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + \left( \frac{l_G\cdot l_2}{l_1} \right)^2 = l_G^2 \cdot \left[ 1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2\right]\) (Herausheben!) \(l_G^2 = \frac{\left(\frac{l_0}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}\qquad \Rightarrow \qquad l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}}\)

Ein Balken ist wie abgebildet gelagert. Bestimmen Sie die Reaktionskräfte in den Lagern A und B. Die Masse des Balkens und damit seine Gewichtskraft seien vernachlässigbar. Geg.: \(F = 3.5\,kN\), \(l_1 = 0.8\,m\), \(l_2=2\,m\) Nr. 4725
	\(F_A = 2.5\,kN\) \(F_B = 1\,kN\)
	\(F_A = 2.1\,kN\) \(F_B = 1.4\,kN\)
	\(F_A = 1\,kN\) \(F_B = 2.5\,kN\)
	\(F_A = 1.4\,kN\) \(F_B = 2.1\,kN\)
	\(F_A = 1.9\,kN\) \(F_B = 1.6\,kN\)
Lösungsweg Damit das System im Gleichgewicht ist, müssen Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht erfüllt sein. Das Lager in Punkt A ist das Festlager, in B das Loslager. Letzteres kann nur Kraftkomponenten senkrecht zur Lagerfläche aufnehmen, die Komponenten in x-Richtung sind daher alle 0. Für das Kräftegleichgewicht ergibt sich daher: \(\displaystyle\sum_x F = F_{Ax} + \underbrace{F_x}_{=0} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_{Ax} = 0\) \(\displaystyle\sum_y F = F_{Ay} + F_{By} - F_y = 0\) bzw. \(F_{Ay} + F_{By} = F_y\) Da alle x-Komponenten 0 sind, wird weiters \(F_{Ay} = F_A\) und \(F_{By} = F_B\) geschrieben. Momentengleichgewicht bezüglich Punkt A: Wie in der Abbildung zu sehen, hat der Hebelarm der Kraft \(F\) die Länge \(l_1\) und der der Lagerkraft \(F_B\) die Länge \(l_1 + l_2\). Nach der üblichen Vorzeichenkonvention verursacht die Kraft \(F\) eine Drehung im Uhrzeigersinn, also ein negatives Drehmoment. Dementsprechend ist das Drehmoment der Kraft \(F_B\) positiv (gegen den Uhrzeigersinn drehend): \(\displaystyle\sum_i M_i = F_B\cdot (l_1 + l_2) - F\cdot l_1 = 0\) \(\Rightarrow \qquad F_B = \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2}\) Eingesetzt in die Gleichung für das Kräftegleichgewicht: \(F_A +F_ B = F_A + \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\) \(\Rightarrow \qquad F_A = F - \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\cdot\, \left( 1 - \frac{l_1}{l_1+l_2} \right) = 3.5\,kN \cdot\,\left( 1 - \frac{0.8\,m}{2.8\,m} \right) = 2.5\,kN\) \(F_B = F-F_A = 3.5\,kN - 2.5\,kN = 1\,kN\)

Eine einfache Waage besteht aus einem Balken, der in seinem Mittelpunkt drehbar gelagert ist. Die abgebildete Waage hat die Länge 6 und ist mit verschiedenen Gewichten belastet. Um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen, ist nur ein weiteres Gewicht der Masse \(m\) nötig. An welcher Stelle \(x_0\) muss das Gewicht platziert werden, sodass die Waage ausgeglichen ist? (Die anderen Gewichte müssen dabei an ihren Plätzen bleiben). Nr. 4729
	\(x_0 = 0\)
	\(x_0 = 1\)
	\(x_0 = 2\)
	\(x_0 = 3\)
	\(x_0 = 4\)
Lösungsweg Lösung Drehmoment: Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei \(x_D=3\) verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen. Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse \(m\): \(F_G = m\cdot g\), mit der Erdbeschleunigung \(g\). Das Drehmoment einer Kraft \(F\) ist definiert als \(M = h\cdot F\), wobei \(h\) den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei \(x_D = 3\)) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ. Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens: \(M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0\) \(6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3\) Die hinzugefügte Masse \(m\) hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei \(x_0 = 0\). Lösung Schwerpunkt: Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann. Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: \(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\). (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!) Da der Schwerpunkt bei \(x_S = x_D = 3\) liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss:\(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m\). Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt: \(x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3\) \(x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0\) Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments: \(x_0=0\)

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