\(s(t) =A \,\cdot cos(\omega t+\psi_0)\) ist nach der Variablen t abzuleiten.

Da die Amplitude \(A\) eine Konstante ist, bleibt sie beim Ableiten als konstanter Faktor stehen. Für die Ableitung der Kosinus-Funktion benötigen wir die Kettenregel ("Äußere mal innerer Ableitung").

\(\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{s} = A\cdot \underbrace{-\sin(\omega t + \psi_0)}_{\mathrm{Ableitung\; der\; cos-Funktion}}\cdot \underbrace{\omega}_{\mathrm{Ableitung\; innen}}\)

Wir erhalten daher:

Zunächst benötigen wir die 1. Ableitung nach der Zeit:

Da die Amplitude \(A\) eine Konstante ist, bleibt sie beim Ableiten als konstanter Faktor stehen. Für die Ableitung der Kosinus-Funktion benötigen wir die Kettenregel ("Äußere mal innerer Ableitung").

\(\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{s} = A\cdot \underbrace{-\,\sin(\omega t + \varphi_0)}_{\mathrm{Ableitung\; der\; cos-Funktion}}\cdot \underbrace{\omega}_{\mathrm{Ableitung\; innen}}\)

Wir erhalten daher für die 1. Ableitung:

Nochmaliges Ableiten ergibt:

\(\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{s} = - \omega A \cdot\, \cos(\omega t + \varphi_o) \cdot \omega\)

\(\ddot{s} = - \omega^2 A\cdot \,\cos(\omega t + \varphi_0)\)

Antworten 2) & 4) sind korrekt!

Die mechanische Gesamtenergie (= kinetische + potentielle Energie) bleibt immer erhalten. Bei der maximalen Auslenkung ist die potentielle Energie am größten, die kinetische Energie ist 0. Bei Position 2 ist die potentielle Energie 0, die kinetische Energie maximal

Ein harmonischer Oszillator zeichnet sich dadurch aus, dass es eine lineare Rückstellgröße gibt. Das bedeutet, ein harmonischer Oszillator bewirkt eine Gegenkraft, die der Auslenkung aus der Ruhelage entgegengesetzt gerichtet und proportional zu dieser ist. Mathematisch lässt sich das mit dem Zusammenhang

\(F(x)=-kx\)

ausdrücken. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Rückstellkraft des Systems (harmonischen Oszillators) der Auslenkung \(x\) entgegenwirkt. Dabei ist \(k\) die Proportionalitätskonstante (Federkonstante, Rückstellkonstante, Richtgröße, ...) der linearen Funktion in \(x\).

Die Geschwindigkeit bei maximaler Auslenkung ist 0. Daher ist in diesem Zeitpunkt die gesamte Energie als potentielle Energie gespeichert. Die maximale Auslenkung entspricht der Amplitude. 

 \(\displaystyle E_{ges}=\frac{1}{2} kx_{max}^2=\frac{1}{2}kA^2\).

Da die Gesamtenergie erhalten ist, kann man nun gleichsetzen und auf \(v\) umformen.

\(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}kA^2 \)

\(mv^2 =kA^2-kx^2\)   

 \(v=\sqrt{\frac{k}{m} \left( A^2-x^2 \right) }\)

Wie angegeben gilt für die Kreisfrequenz des Fadenpendels \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\).

Einsetzen ergibt den Wert \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9.81\,\frac{m}{s^2}}{0.9\,\,m}} = 3.3\,\frac{rad}{s}\).

Mit dem Zusammenhang zwischen Periodendauer \(T\) und Kreisfrequenz \(\omega\) ergibt sich:

\(\omega = \frac{2\pi}{T} \qquad \Rightarrow \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 1.9\,s\)

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.32\,\frac{N}{m}}{0.045\,kg}} = 2.67\,\sqrt{\frac{\frac{\cancel{kg\cdot m}}{s^2\cdot \cancel{m}}}{\cancel{kg}}} = 2.67\,\frac{1}{s}\)

\(T=\frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2.67\,\frac{1}{s}} = 2.35\, s\)

\(x(t) = A\cdot \,\cos(\omega t + \phi)\)

Bei der Ableitung muss die Kettenregel berücksichtigt werden.

Diese kommt zur Anwendung, wenn eine Funktion einer Funktion abgeleitet werden muss - das Argument einer äußeren Funktion selber wieder eine Funktion (innere Funktion) einer Variablen darstellt.

In diesem Fall ist \(f(t) = A\cdot\,\sin(t)\) die äußere Funktion und \(g(t) = \omega t + \phi\) die innere Funktion.

Die verkettete Funktion kommt zustande, wenn die Funktion \(g(t)\) als Argument der Funktion \(f(t)\) eingesetzt wird:

\(x(t) = f\left(g(t)\right) = f\left(\omega t + \phi\right) = A\cdot \,\cos(\omega t + \phi)\)

Bei der Ableitung solcher Verkettungen muss die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert werden:

\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f^{\prime}\left(g(t)\right)\cdot \, g^{\prime}(t)\)

Damit erhalten wir:

\(\dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A\cdot\,\left[-\,\sin(\omega t + \phi)\right]\cdot \underbrace{\omega}_{\mathrm{ innere\\ \qquad \qquad Abl.}} = -A\omega\cdot\,\sin(\omega t + \phi)\)

\(\ddot{x} = -A\omega\cdot\,\cos(\omega t + \phi)\cdot \omega = -A\omega^2\cdot\, \cos(\omega t + \phi)\)

Wir sehen also, dass zwischen der 2. Ableitung und der Ortsfunktion der Zusammenhang besteht:

\(\ddot{x} = -A\omega^2\cdot\, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2\, x(t)\)

Dies lässt sich in eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung umformen:

\(\ddot{x} + \omega^2\,x(t) = 0\)

homogen bedeutet, dass alle additiven Konstanten 0 sind (alle Terme, in denen die Funktion x(t) und deren Ableitungen vorkommen stehen links, auf der rechten Seite der Rest, der in diesem Fall 0 ergibt).

2. Grades ist die Differentialgleichung deshalb, weil die höchste vorkommende Ableitung die 2. Ableitung ist.