Blended Learning - Übungstest

Fragenliste von Überlagerung von Schwingungen

"Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen ist selbst ebenso eine harmonische Schwingung." Stimmt das? Nr. 4888
	Ja, das stimmt immer.
	Nein, das stimmt nie.
	Das stimmt, wenn die beiden harmonischen Schwingungen die gleiche Amplitude besitzen.
	Das stimmt, wenn die beiden harmonischen Schwingungen die gleiche Frequenz besitzen.
	Das kann nicht stimmen, außer die beiden Schwingungen besitzen die gleiche Phase.
Lösungsweg Atwort 4 ist korrekt. Die Überlagerung von 2 Schwingungen wird in der Physik auch als Interferenz bezeichnet. Harmonische Schwingungen (man bezeichnet diese auch als harmonische Oszillationen) sind solche, welche durch Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden können. Wenn eine harmonische Schwingung ungedämpft ist, dann ist dessen Amplitude zeitlich konstant. Der Körper schwingt regelmäßig in den gleichen Abständen um seinen Ursprung. Dies ist dann der Fall wenn die Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) der beiden Schwingungen (und damit auch die beiden Kreisfrequenzen \(\omega_1\) und \(\omega_2\)) gleich sind. Deren Amplituden und Phasen müssen nicht gleich sein. Im Ort-Zeit-Diagramm beschreiben wir harmonische Schwingungen durch Sinus- und/oder Cosinusfunktionen. Wählen wir für 2 harmonische Einzelschwingungen beispielsweise die folgenden 2 Ortsfunktionen: \(x_1\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_1 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_1 \,) \,\) \(x_2\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_2 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_2 \,) \,\) Beide Schwingungen besitzen die unterschiedlichen Amplituden \(A_1\) und \(A_2\) sowie die unterschiedlichen Phasen \(\phi_1\) und \(\phi_2\). Beide besitzen jedoch die gleiche Kreisfrequenz \(\omega\). Die rechnerische Bestimmung der Überlagerung findet nach dem Superpositionsprinzip statt: \(x_{ges}\,(\,t\,) \,\, = \,\, x_1\,(\,t\,) \,\, + \,\, x_2\,(\,t\,)\) Graphisch kann man sich das schön klarmachen: Hierbei beschreibt der rote Graph die Ortsfunktion \(x_1\,(\,t\,)\) und der blaue Graph die Ortsfunktion \(x_2\,(\,t\,)\). Der schwarze Graph ist die Ortsfunktion der Überlagerung der beiden Schwingungen. Die x-Achse stellt die Zeit dar, während die y-Achse die Elongation - die momentane zeitliche Auslenkung - beschreibt. Die Ortsfunktion der Überlagerung weist eine zeitlich konstante Amplitude auf und ist somit ebenso harmonisch, trotz der unterschiedlichen Amplituden und Phasen der beiden Einzelschwingungen. Nur wenn die Frequenzen der beiden Einzelschwingungen gleich sind, kann die Überlagerung ebenso eine harmonische Schwingung sein. Bei unterschiedlichen Frequenzen ändert sich die Amplitude der Überlagerungsschwingung mit der Zeit.

"Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen ist selbst ebenso eine harmonische Schwingung."

Stimmt das?

Nr. 4888

Ja, das stimmt immer.

Nein, das stimmt nie.

Das stimmt, wenn die beiden harmonischen Schwingungen die gleiche Amplitude besitzen.

Das stimmt, wenn die beiden harmonischen Schwingungen die gleiche Frequenz besitzen.

Das kann nicht stimmen, außer die beiden Schwingungen besitzen die gleiche Phase.

Lösungsweg

Atwort 4 ist korrekt.

Die Überlagerung von 2 Schwingungen wird in der Physik auch als Interferenz bezeichnet.

Harmonische Schwingungen (man bezeichnet diese auch als harmonische Oszillationen) sind solche, welche durch Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden können. Wenn eine harmonische Schwingung ungedämpft ist, dann ist dessen Amplitude zeitlich konstant. Der Körper schwingt regelmäßig in den gleichen Abständen um seinen Ursprung.

Dies ist dann der Fall wenn die Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) der beiden Schwingungen (und damit auch die beiden Kreisfrequenzen \(\omega_1\) und \(\omega_2\)) gleich sind. Deren Amplituden und Phasen müssen nicht gleich sein.
Im Ort-Zeit-Diagramm beschreiben wir harmonische Schwingungen durch Sinus- und/oder Cosinusfunktionen.

Wählen wir für 2 harmonische Einzelschwingungen beispielsweise die folgenden 2 Ortsfunktionen:

\(x_1\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_1 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_1 \,) \,\)

\(x_2\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_2 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_2 \,) \,\)

Beide Schwingungen besitzen die unterschiedlichen Amplituden \(A_1\) und \(A_2\) sowie die unterschiedlichen Phasen \(\phi_1\) und \(\phi_2\). Beide besitzen jedoch die gleiche Kreisfrequenz \(\omega\).

Die rechnerische Bestimmung der Überlagerung findet nach dem Superpositionsprinzip statt:

\(x_{ges}\,(\,t\,) \,\, = \,\, x_1\,(\,t\,) \,\, + \,\, x_2\,(\,t\,)\)
Graphisch kann man sich das schön klarmachen:

Hierbei beschreibt der rote Graph die Ortsfunktion \(x_1\,(\,t\,)\) und der blaue Graph die Ortsfunktion \(x_2\,(\,t\,)\). Der schwarze Graph ist die Ortsfunktion der Überlagerung der beiden Schwingungen. Die x-Achse stellt die Zeit dar, während die y-Achse die Elongation - die momentane zeitliche Auslenkung - beschreibt. Die Ortsfunktion der Überlagerung weist eine zeitlich konstante Amplitude auf und ist somit ebenso harmonisch, trotz der unterschiedlichen Amplituden und Phasen der beiden Einzelschwingungen.

Nur wenn die Frequenzen der beiden Einzelschwingungen gleich sind, kann die Überlagerung ebenso eine harmonische Schwingung sein. Bei unterschiedlichen Frequenzen ändert sich die Amplitude der Überlagerungsschwingung mit der Zeit.

Bei der Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen mit gleicher Frequenz gibt es die beiden Spezialfälle der konstruktiven und destruktiven Interferenz. Dabei gibt es bestimmte Bedingungen für die Differenz \(\Delta \phi \,\,\) der beiden Anfangsphasen \(\,\, \phi_1 \,\,\) und \(\,\, \phi_2 \,\,\) der beiden Schwingungen. Welche Bedingung muss für die Differenz beiden Phasen gelten, um jeweils konstruktive und destruktive Interferenz zu erhalten? Nr. 4889
	Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\) Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)
	Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\) Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)
	Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\) Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)
	Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\) Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)
Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt. Konstruktive und Destruktive Interferenz sind Spezialfälle bei der Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen mit derselben Frequenz. Harmonische Schwingungen (man bezeichnet diese auch als harmonische Oszillationen) sind solche, welche durch Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden können. Konstruktive Interferenz bezeichnet man als die maximale Verstärkung der resultierenden Schwingung aus der Überlagerung. Destruktive Interferenz bezeichnet man als die maximale Schwächung der resultierenden Schwingung aus der Überlagerung. Wenn wir hier von Verstärkung und Schwächung sprechen, dann betrachten wir den Betrag der Amplitude der resultierenden Schwingung. Bei der konstruktiven Interferenz hat die Amplitude der Überlagerung ihren maximalen Wert. Bei der desktruktiven Interferenz hat die Amplitude der Überlagerung ihren minimalen Wert. Beschreiben wir beispielsweise 2 harmonische Schwingungen durch die beiden Orts-Zeit-Funktionen: \(x_1\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_1 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_1 \,) \,\) \(x_2\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_2 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_2 \,) \,\) Beide Schwingungen besitzen die unterschiedlichen Amplituden \(A_1\) und \(A_2\) sowie die unterschiedlichen Phasen \(\phi_1\) und \(\phi_2\). Beide besitzen jedoch die gleiche Kreisfrequenz \(\omega\) (und damit die gleiche Frequenz \(f\), weil der Zusammenhang gilt \(\omega \,\, = \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, f \,\, \)). Die rechnerische Bestimmung der Überlagerung findet nach dem Superpositionsprinzip statt: \(x_{ges}\,(\,t\,) \,\, = \,\, x_1\,(\,t\,) \,\, + \,\, x_2\,(\,t\,)\) Bei der konstruktiven Interferenz muss die Phasendifferenz (\(\Delta \phi \,\, = \,\, \phi_2 \,\, - \,\, \phi_1 \,\,\)) folgendermaßen aussehen: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\) Bei der destruktiven Interferenz muss die Phasendifferenz folgendermaßen aussehen: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\) Bei der konstruktiven Interferenz muss also die Differenz der beiden Phasen ein gerades Vielfaches von \(\pi\) und bei der desktrutiven Interferenz muss diese Differenz ein ungerades Vielfaches von \(\pi\) (entspricht einem Halbkreis) entsprechen. Hier sehen Sie ein graphisches Beispiel zur konstruktiven Interferenz: Hierbei beschreibt \(x_1\,(\,t\,) \,\,\)den blauen und \(x_2\,(\,t\,) \,\,\) den roten Graphen. Der schwarze Graph ist das Resultat der Überlagerung der beiden Schwingungen. Die Amplitude der überlagerten Schwingung erreicht ihr Maximum. Hier sehen Sie ein graphisches Beispiel zur destruktiven Interferenz: Hierbei beschreibt \(x_1\,(\,t\,) \,\,\)den blauen und \(x_2\,(\,t\,) \,\,\) den roten Graphen. Der schwarze Graph ist das Resultat der Überlagerung der beiden Schwingungen. Die Amplitude der überlagerten Schwingung erreicht ihr Minimum.

Bei der Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen mit gleicher Frequenz gibt es die beiden Spezialfälle der konstruktiven und destruktiven Interferenz. Dabei gibt es bestimmte Bedingungen für die Differenz \(\Delta \phi \,\,\) der beiden Anfangsphasen \(\,\, \phi_1 \,\,\) und \(\,\, \phi_2 \,\,\) der beiden Schwingungen.

Welche Bedingung muss für die Differenz beiden Phasen gelten, um jeweils konstruktive und destruktive Interferenz zu erhalten?

Nr. 4889

Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Destruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Konstruktive Interferenz: \(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Lösungsweg

Antwort 2 ist korrekt.

Konstruktive und Destruktive Interferenz sind Spezialfälle bei der Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen mit derselben Frequenz. Harmonische Schwingungen (man bezeichnet diese auch als harmonische Oszillationen) sind solche, welche durch Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden können.

Konstruktive Interferenz bezeichnet man als die maximale Verstärkung der resultierenden Schwingung aus der Überlagerung. Destruktive Interferenz bezeichnet man als die maximale Schwächung der resultierenden Schwingung aus der Überlagerung.

Wenn wir hier von Verstärkung und Schwächung sprechen, dann betrachten wir den Betrag der Amplitude der resultierenden Schwingung. Bei der konstruktiven Interferenz hat die Amplitude der Überlagerung ihren maximalen Wert. Bei der desktruktiven Interferenz hat die Amplitude der Überlagerung ihren minimalen Wert.
Beschreiben wir beispielsweise 2 harmonische Schwingungen durch die beiden Orts-Zeit-Funktionen:

\(x_1\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_1 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_1 \,) \,\)

\(x_2\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_2 \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_2 \,) \,\)

Beide Schwingungen besitzen die unterschiedlichen Amplituden \(A_1\) und \(A_2\) sowie die unterschiedlichen Phasen \(\phi_1\) und \(\phi_2\). Beide besitzen jedoch die gleiche Kreisfrequenz \(\omega\) (und damit die gleiche Frequenz \(f\), weil der Zusammenhang gilt \(\omega \,\, = \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, f \,\, \)).

Die rechnerische Bestimmung der Überlagerung findet nach dem Superpositionsprinzip statt:

\(x_{ges}\,(\,t\,) \,\, = \,\, x_1\,(\,t\,) \,\, + \,\, x_2\,(\,t\,)\)

Bei der konstruktiven Interferenz muss die Phasendifferenz (\(\Delta \phi \,\, = \,\, \phi_2 \,\, - \,\, \phi_1 \,\,\)) folgendermaßen aussehen:

\(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Bei der destruktiven Interferenz muss die Phasendifferenz folgendermaßen aussehen:

\(\Delta \phi \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, 2 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, + \,\, \pi\) wobei \(n \,\, = \,\, 0, \,\, 1, \,\, 2, \,\, ...\,\, N\)

Bei der konstruktiven Interferenz muss also die Differenz der beiden Phasen ein gerades Vielfaches von \(\pi\) und bei der desktrutiven Interferenz muss diese Differenz ein ungerades Vielfaches von \(\pi\) (entspricht einem Halbkreis) entsprechen.
Hier sehen Sie ein graphisches Beispiel zur konstruktiven Interferenz:

Hierbei beschreibt \(x_1\,(\,t\,) \,\,\)den blauen und \(x_2\,(\,t\,) \,\,\) den roten Graphen. Der schwarze Graph ist das Resultat der Überlagerung der beiden Schwingungen. Die Amplitude der überlagerten Schwingung erreicht ihr Maximum.
Hier sehen Sie ein graphisches Beispiel zur destruktiven Interferenz:

Hierbei beschreibt \(x_1\,(\,t\,) \,\,\)den blauen und \(x_2\,(\,t\,) \,\,\) den roten Graphen. Der schwarze Graph ist das Resultat der Überlagerung der beiden Schwingungen. Die Amplitude der überlagerten Schwingung erreicht ihr Minimum.

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