Ein Ladungsfluss mit der Stromstärke \(I\) kann nur in einem geschlossenen Stromkreis (geschlossenes System aus elektrischen Leitern) ermöglicht werden, wenn an diesen Stromkreis eine Spannungsquelle angeschlossen ist. Diese liefert eine feste elektrische Spannung \(U\).

In der Abbildung ist ein Schaltbild eines einfachen Stromkreises zu sehen.  

Dabei ist ein Ende des Stromkreises mit dem Plus-Pol (Elektronenmangel) der Spannungsquelle und das andere Ende mit dem Minus-Pol (Elektronenüberschuss) der Spannungsquelle angeschlossen. Dieser Potentialunterschied \(\Delta \phi\) zwischen Plus- und Minus-Pol verursacht ein elektrisches Feld, welches eine Kraft auf die freien Ladungsträger im Leiter ausübt. Dadurch kommt es zur Bewegung der freien Ladungsträger im Leiter und somit zum elektrischen Strom.

Im Schaltbild ist die technische Stromrichtung abgebildet (von Plus- nach Minus-Pol). R ist ein sogenannter Ohm'scher Widerstand und schwächt die Stromstärke im Leiterkreis. So ein ohm'scher Widerstand wird meistens durch den inneren Widerstands eines angeschlossenen Verbrauchers realisiert. 

Eine höhere Spannung \(U\) bedeutet ein größerer Potentialunterschied \(\Delta \phi\) und somit eine größere Stromstärke \(I\).

Der in einem geschlossenen Stromkreis fließende elektrische Strom \(I\) ist daher direkt proportional zur angelegten Spannung \(U\). Ohne Spannung kann kein Strom fließen. Die elektrische Spannung ist daher eine Vorraussetzung dafür, dass sich im geschlossenen Stromkreis Ladungsträger bewegen können.

Ähnlich wie beim Gravitationspotential, hat eine Probeladung \(Q_{P}\) an jedem Punkt in einem elektrischen Feld \(\vec{E}\) einer anderen Ladung \(Q\) eine gewisse potentielle Energie \(E_{pot}\).

Diese potentielle Energie ist die Arbeit \(W\), welche erforderlich ist, um die Probeladung von einem Punkt \(P_{1}\) im \(\vec{E}\)-Feld zu einem anderen Punkt \(P_{2}\) zu bewegen. Die Arbeit ist definiert als das Integral der wirkenden Kraft \(\vec{F}\) über einen bestimmten Weg.

 \(W \,\, = \,\, \displaystyle \,- \,\, \int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{F} \,d\vec{s} \\)

Das Minus-Zeichen kommt daher, dass die Arbeit gegen die Kraftwirkung des Feldes wirkt (Die Richtung des Weges von \(P_{1}\) zu \(P_{2}\) geht gegen die Richtung der Feldstärkevektoren). Falls die Arbeit vom Feld selbst verrichtet wird, dann ist das Integral positiv.

Diese Arbeit, bezogen auf die Probeladung selbst ist das Potential \(\phi\).

\(\phi = \frac{W}{Q_{P}}\)

In der Abbildung ist eine Punktladung \(Q\) mit den Feldstärkevektoren zu sehen (die Vektoren zeigen von der Ladung weg, es handelt sich also um eine positive Ladung). Die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um eine (kleine) Probeladung von \(P_{1}\) zu \(P_{2}\) zu bewegen, ist unabhängig vom Weg, auf dem diese Probeladung bewegt wird.

Es gilt \(\vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q_{p}}\) und zusammen mit der obigen Formel für das Potential kann das Integral vereinfacht werden zu:

\(\phi_{1, 2} \,\, = \,\, \displaystyle \,- \,\, \int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{E}\cdot \,d\vec{s}\)

Das ist die Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten im elektrischen Feld, dies entspricht der elektrischen Spannung.

Für den Coloumb-Potentialausdruck genügt es einfach nur das unbestimmte Integral des \(\vec{E}\)-Feldes zu berechnen.

Das elektrische Potential ist konservativ. Es kommt nicht auf den genauen Weg an, wie die Probeladung vom ersten zum zweiten Punkt gelangt, sondern hängt nur vom radialen Abstand r ab. Daher wird das Integral zu:

Die Coulomb-Kraft zwischen der Ladung \(Q\) und der Probeladung \(Q_{P}\) lautet:

\(F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q \cdot Q_{p}}{r^2}\)

Jetzt muss nur noch der Ausdruck des Elektrischen Feldes eingesetzt werden. Dazu wird das unbestimmte Integral berechnet. (Wir wollen das Coulomb-Potential an einem beliebigen Abstand r, nicht die Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten)

\(\phi \,\, = \,\, \displaystyle \,- \,\, \int \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q}{r^2} \,\, dr \\)

Daher:

\(\phi \,\, (r) \,\, = \,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\, \cdot \,\, \frac{Q}{r} \,\,\,\, + \,\,\,\, C\)

Die Konstante C kommt immer beim unbestimmten Integral dazu. Auf diese kommt es nicht an und sie wird Null gesetzt, sobald konkrete Werte in r eingesetzt werden.

Die Einheit des Potentials und der elektrischen Spannung ist das Volt (\(1 V \,\, = \,\, 1 \,\, \frac{J}{C}\)).

Antwort 3 ist korrekt.

Zunächst wird das Coulomb-Potential \(\phi\) der Kugel mit der gegebenen Ladung \(Q \) bestimmt. 

Das Coulomb-Potential ist das unbestimmte Integral des elektrischen Feldes. 

\(\phi \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q}{r^2} \,\, dr \ \)

Hierbei kann auf Vektornotation verzichtet werden, weil das elektrische Potential konservativ ist. Das bedeutet, dass dessen Wert nur vom radialen Abstand r abhängt und daher muss nur nach r integriert werden. Bei der Berechnung der elektrischen Spannung \(U\) braucht man für die Integrationsgrenzen statt den 2 Punkten \(P_{1}\) und \(P_{2}\) nur mehr die 2 radialen Abstände \(r_{1}\) und \(r_{2}\).

\(U \,\, = \,\, \Delta \phi \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{r_{1}}^{r_{2}} \,\,\,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q}{r^2} \,\, dr \ \)

Das Integral ist positiv, da die Arbeit vom Feld ausgeführt wird, nicht gegen das Feld. Die Feldvektoren einer positiven Ladung zeigen von der Ladung weg. Der Weg der Probeladung beginnt vom Punkt \(P_{1}\) bis hin zu einem Punkt \(P_{2}\). Die Probeladung bewegt sich ebenso von innen nach außen, also entlang der Richtung des elektrischen Feldes. Eine andere Interpretation ist, dass die Probeladung positiv ist und dadurch von dem Körper, welche ebenso eine positive Ladung besitzt weggestoßen wird. Bei der Wahl des Vorzeichens gibt es also mehrere Interpretationen und ist bis heute noch eine Sache zur Diskussion. Man muss sich damit also nicht zu sehr den Kopf zerbrechen.

Als nächstes müssen die Distanzen \(r_{1}\) und \(r_{2}\) bestimmt werden.

Dazu müssen erstmals die Ortsvektoren \(\vec{P_{0} \,\, P_{1}}\) und \(\vec{P_{0} \,\, P_{2}}\) bestimmt werden und anschließend dessen Beträge \(|\vec{P_{0} \,\, P_{1}}|\). und \(|\vec{P_{0} \,\, P_{2}}|\).

\(\vec{P_{0} \,\, P_{1}} = P_{1} \,\, - \,\, P_{0}\)  (Spitze-Minus-Schaft Regel für Vektoren)

\(|\vec{P_{0} \,\, P_{1}}| = \sqrt{x^2 \,\, + \,\, y^2 \,\, + \,\, y^2}\) 

Hierbei sind \(x\), \(y\) und \(z\) die Koordinaten des Verbindungsvektors \(\vec{P_{0} \,\, P_{1}}\).

Das Gleiche wird den Ortsvektor zwischen \(P_{0}\) und \(P_{2}\) getan.

\(\vec{P_{0} \,\, P_{1}} \,\, = \,\, \left ( \begin{array}{c} 1 \,\, \mu m\\ 0 \,\, \mu m\\ 0 \,\, \mu m\\ \end{array}\right)\)

\(|\vec{P_{0} \,\, P_{1}}| \,\, = \,\, r_{1} \,\, = \,\, 1 \,\, \mu m\)

\(\vec{P_{0} \,\, P_{2}} \,\, = \,\, \left ( \begin{array}{c} 4 \,\, \mu m\\ 3 \,\, \mu m\\ 0 \,\, \mu m\\ \end{array}\right)\)

\(|\vec{P_{0} \,\, P_{2}}| \,\, = \,\, r_{2} \,\, = \,\, 5 \,\, \mu m\)

\(r_{1} = 1 \,\, \mu m\) 

\(r_{2} = 5 \,\, \mu m\)

\(U \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{1 \,\, \mu m}^{5 \,\, \mu m} \,\,\,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q}{r^2} \,\, dr \ \)

\(U \,\, =\,\, - \,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, Q \cdot \,\,\,\, \left(\frac{1}{5 \,\, \mu m} - \frac{1}{1 \,\, \mu m}\right)\)

Jetzt kann die Ladung \(Q \,\, = \,\, 1.28 \,\, \cdot \,\, 10^{-18} \,\, A \cdot s\) und die elektrische Feldkonstante \(\epsilon_{0} \,\, = \,\, 8.9 \,\, \cdot \,\, 10^{-12} \,\, \frac{A \cdot s}{V \cdot m}\) in die obige Gleichung eingesetzt werden.

Die elektrische SPannung zwischen den beiden Punkten beträgt \(U \,\, = \,\, 0.0091559 \,\, V = \,\, 9155.9 \,\, \mu V\).

Das Elektron trägt die Ladung \(Q_{elektron} \,\, = \,\, - \,\, 1.6 \,\, \cdot \,\, 10^{\,\,-19} \,\, C\) und sitzt im Koordinatenursprung, also im Punkt \((0, \,\,0, \,\,0)\). Es erzeugt ein elektrisches Feld \(\vec{E}\) um sich, wobei die Feldvektoren zum Elektron gerichtet sind.

Die elektrische Spannung \(U\) zwischen 2 Punkten im elektrischen Feld \(\vec{E}\) ist gleich der Potentialdifferenz \(\Delta \phi\) zwischen diesen 2 Punkten (An jedem Punkt des elektrischen Feldes gibt es einen Wert des Potentials. Das Potential selbst entspricht der potentiellen Energie einer Probeladung an einem gewissen Punkt im \(\vec{E}\)-Feld, dividiert durch die Probeladung selbst.) Diese Potentialdifferenz ist das Integral über das elektrische Feld zwischen den 2 Punkten.

\(U \,\, = \,\, \Delta \phi \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{P_{1}}^{P_{2}} \,\,\,\, \vec{E} \,\, d\vec{s} \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{r_{1}}^{r_{2}} \,\,\,\, E (r) \,\, dr \ \) 

Das elektrische Potential ist konservativ, daher es kommt nur auf den Abstand \(r\) zwischen Anfangs- und Endpunkt an, nicht auf den genauen Weg. Daher muss nur nach r integriert werden.

\(E(r) \) erhalten wir aus der Coulomb-Kraft geteilt durch die Probeladung, also: \(E(r) \,\, = \,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q_{elektron}}{r^2}\)

Jetzt müssen die Distanzen \(r_{1}\) und \(r_{2}\) bestimmt werden.

Die Punkte \(P_{1}\) und \(P_{2}\) können auch als Ortsvektoren \(\vec{P_{1}\) und \(\vec{P_{2}\) von Anfangspunkt \((0, \,\,0, \,\,0)\) und Endpunkte \(P_{1}\) und \(P_{2}\) aufgefasst werden.

Daher gilt für  \(r_{1}\) und \(r_{2}\):

\(r_{1} \,\, = \,\, \sqrt{(4\,\, \mu m)^2 \,\, + \,\, (4 \,\, \mu m)^2 \,\, + \,\, (2 \,\, \mu m)^2 } \,\, = \,\, 6 \,\, \mu m\) 

\(r_{2} \,\, = \,\, \sqrt{(-2 \,\, \mu m)^2 \,\, + \,\, (-4 \,\, \mu m)^2 \,\, + \,\, (4 \,\, \mu m)^2} \,\, = \,\, 6 \,\, \mu m\)

\(U \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{r_{1}}^{r_{2}} \,\,\,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{Q_{elektron}}{r^2} \,\, dr \ \)

\(U \,\, = \,\, - \,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, Q_{elektron} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, (\frac{1}{r_{2}} \,\, - \,\, \frac{1}{r_{1}})\)

Jetzt können alle Werte eingesetzt werden.

Man sieht aber, dass \(r_{1} \,\, = \,\, r_{2}\) und somit wird der Ausdruck in der Klammer \(0\).

Dadurch multiplizieren wir alle linken Faktoren mit \(0\) und somit ist die Spannung \(U \,\, = \,\, 0 \,\,V\).

Die beiden Punkte \(P_{1}\) und \(P_{2}\) befinden sich auf einer Äquipotentialfläche. Das Potential hat an dieser Fläche, welche durch einen bestimmten Abstand \(r\) vom Koordinatenursprung beschrieben wird, überall den gleichen Wert. Die beiden Ortsvektoren zu den Punkten haben unterschiedliche Richtungen. Aber dadurch, dass die beiden den gleichen radialen Abstand vom Koordinatenursprung besitzen, liegen sie auf der selben Äquipotentialfläche und haben somit den gleichen Potentialwert. Daher ist deren Potentialdifferenz 0 und somit ist die elektrische Spannung zwischen ihnen 0.

Das elektrische Potential \(\phi \) einer Ladung besitzt sogenannte Äquipotentialflächen. Das bedeutet, dass dessen Potentialwert im Raum nur vom radialen Abstand \(r\) abhängt. Ein gewisser Wert des radialen Abstands \(r\) entspricht einer Kugeloberfläche (im 2D-Raum einem Kreis) und an dieser hat das Potential überall den gleichen Wert. 

Dies ist eine Eigenschaft von Skalarfeldern, welche sich durch Integration von konservativen Vektorfeldern berechnen lassen. In der Elektrostatik ist das Vektorfeld das elektrische Feld \(\vec{E}\) und das Skalarfeld das elektrische Potential \(\phi\).

Die Feldvektoren von \(\vec{E}\) stehen dann senkrecht auf diese Äquipotentialflächen und es ist ebenso wirbelfrei, also: 

\(\operatorname{rot} \,\vec E = \vec{\nabla} \,\, \times \,\, \vec{E} \,\, = \,\, 0\)

Atwort 3 ist korrekt.

Eine geschlossene Leiterschleife (in 2D wie in der Skizze abgebildet) oder eine geschlossene Leiteroberfläche (z.B. eine homogen geladene Hohlkugel) stellt einen sogenannten Faraday'schen Käfig dar (benannt nach dessen Entdecker Michael Faraday, nach dem auch die Einheit der elektrischen Kapazität, \(1\,F = 1\ Farad\), benannt ist).

Typische leitfähige Stoff sind Metalle, welche freie Elektronen besitzen, durch die der Stromfluss ermöglicht wird. Im nebenstehenden Bild ist eine homogen geladene Hohlkugel abgebildet. Bei dieser sind die freien Elektronen gleichmäßig in der Kugelschale verteilt.

Ein von außen wirkendes elektrisches Feld \(\vec{E}_{au{\ss}en}\) bewirkt eine Umverteilung der Elektronen im Material. In der Skizze wird das äußere Feld von einer positiven Ladung verursacht. Die Feldvektoren zeigen also von links nach rechts. Die freien Elektronen der Hohlkugel verteilen sich nach links (negative und positive Ladungen ziehen sich an) und somit wird die linke Seite negativ geladen sein. Die rechte Seite der Hohlkugel wird durch den Elektronenmangel von Protonen dominiert und damit positiv geladen.

Im Inneren der Kugel entsteht durch die Ladungsumverteilung ein elektrisches Feld \(\vec{E}_{innen}\) (Richtung positiv \(\rightarrow\) negativ). Dieses Feld ist betragsmäßig gleich groß zum äußeren Feld und zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Die beiden Felder heben sich gegenseitig auf und daher ist das Innere der Kugel feldfrei.

Ein Faraday'scher Käfig ist durch diese gegenseitige Feldauslöschung ein Schutzschild gegen äußere Felder.

Ein Faradayscher Käfig schützt ebenso vor elektromagnetischen Feldern. Dies passiert durch das Phänomen der Induktion, aber das ist ein Thema für eine andere Frage.

Antworten 3 und 4 sind korrekt.

\(W \,\, = \,\, U \,\, \cdot \,\, I \,\, \cdot \,\, t\)

Diese Formel für die elektrische Arbeit kann durch das Ohm'sche Gesetz \(U \,\, = \,\, I \,\, \cdot \,\, R\) umgeformt werden.

\(W \,\, = \,\, I \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, I \,\, \cdot \,\, t \,\, = \,\, I^2 \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, t \,\, = \,\, \frac{U^2}{R} \,\, \cdot \,\, t\)

 \(\left[\frac{U^2}{R} \,\, \cdot \,\, t \right] \,\, = \,\, \frac{[U^2]}{[R]} \,\, \cdot \,\, [t] \,\, = \,\, A^2 \,\, \cdot \,\, \Omega \,\, \cdot \,\, s \,\, = \,\ \frac{V^2}{\Omega} \,\, \cdot \,\, s \)

Hierbei steht \(V\) für Volt, \(\Omega\) für den Ohmschen Widerstand und \(s\) für Sekunde.

Man könnte auch zuerst die Einheit der Gleichung \( U \,\, \cdot \,\, I \,\, \cdot \,\, t\) bilden und danach erst die Einheiten umformen.