Antwort 3 und 4 sind korrekt.

In der Thermodynamik werden System mit hoher Teilchenzahl mit Hilfe weniger makroskopischer Zustandsgrößen beschrieben. Man unterscheidet zwischen intensiven und extensiven Zustandsgrößen.

Intensive Zustandsgrößen sind jene, die sich nicht verändern, sobald man in einem thermodynamischen System nur gewisse Größenbereiche betrachtet. Bei extensiven Größen ist das nicht so.

Als Beispiel betrachtet man ein thermodynamisches System, welches durch die Zustandsgrößen Teilchenzahl \(N\), Volumen \(V\), Temperatur \(T\) und Druck \(P\) beschrieben wird.

Teilt man das System in der Mitte (zb. durch eine Wand) dann erhält man 2 Teilsysteme. Beide davon besitzen die Zustandsgrößen \(\frac{N}{2}\), \(\frac{V}{2}\), \(T\) und \(P\).

Die Größen Teilchenzahl und Volumen wurden halbiert, die Zustandsgrößen Druck und Temperatur sind gleich geblieben.

Daher sind Druck \(P\) und Temperatur \(T\) intensive Zustandsgrößen während Teilchenzahl \(N\) und Volumen \(V\) extensive Zustandsgrößen sind.

Antwort 3 ist korrekt.

Ein thermodynamisches System befindet sich im Gleichgewicht mit seiner Umgebung, wenn sich keine seiner Zustandsgrößen verändert. Jedes System hat das Verlangen, sein Gleichgewicht zu erreichen.

Ohne einen Einfluss von außen (durch mechanische Kräfte oder Wärme) erreicht jedes System seinen Gleichgewichtszustand von selbst nach einer gewissen Zeit.

Antwort 4 ist korrekt.

Man spricht von einer Zustandsänderung eines Systems, wenn mindestens eine Zustandsgröße ihren numerischen Wert geändert hat. Welche Zustandsgröße das ist, ist nicht von Bedeutung.

Antwort 3 und 5 sind korrekt.

Zustandsgrößen wie Volumen, Temperatur und Teilchenzahl beschreiben den aktuellen Zustand eines thermodynamischen Systems. Wenn diese zeitlich konstant sind, dann befindet sich das System im Gleichgewicht mit seiner Umgebung.

Wärme und Arbeit sind keine Zustandsgrößen sondern sogenannte Prozessgrößen. Sie werden dazu verwendet, um jegliche Energiezufuhr oder Energieverlust bei einem Prozess zu beschreiben. Solche Prozesse sind Zustandsänderungen, bei denen Energiezufuhr und Energieverlust zur Änderung von Zustandsgrößen führt.

Antwort 2  ist korrekt.

Das ideale Gas ist das hier betrachtete thermodynamische System. Das Ziel ist es, die Wärmemenge \(dQ\) zu bestimmen, welche die am System ausgeübte mechanische Arbeit \(dW\) kompensiert.

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt die Änderung der inneren Energie \(U\), welche von den Änderungen der am System augeübten oder vom System abgeführten Arbeit \(W\)und die in das System einfließende oder vom System abfließende Wärmemenge \(Q\). Daher: \(dU \,\, = \,\, dQ \,\, + \,\, dW\)

Die Temperatur des Systems wird konstant gehalten. Die innere Energie eines idealen Gases hängt von dessen Temperatur ab.

\( \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) 

Beim idealen Gas ist dessen innere Energie \(U\) gleich der mittleren kinetischen Energie \( \overline{E_{kin}}\) aller Gasteilchen. Wenn also die Temperatur konstant bleibt, dann bleibt auch die innere Energie \(U\)konstant und daher kann sich diese nicht ändern. Es gilt also \(dU \,\, = \,\, 0\).

Die Gleichung \(dU \,\, = \,\, dQ \,\, + \,\, dW\) verändert sich daher zu \(dW \,\, = \,\, -\,\, dQ\). Eine Zustandsänderung bei der die Temperatur konstant bleibt wird als isotherm bezeichnet.

Die mechanische Arbeit \(dW\), welche einem Gas zugeführt oder vom Gas abgeführt wird, kann man auch umschreiben als \(dW \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, dV\). Man bezeichnet das als die Volumenänderungsarbeit. Das ist die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um das Volumen eines Körpers (in unserem Beispiel das Gas) gegen dessen Druck zu verändern.

Dazu die Herleitung: \(dW \,\, = \,\, F \cdot \,\, ds\) (Also Kraft mal Wegstück). Wir setzen ein: \(F \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, A\) (Druck mal Fläche), \(dV \,\, = \,\, A \,\, \cdot \,\, ds\) (Fläche mal Wegstück) und kommen dann auf die Gleichung \(dW \,\, = \,\, p \cdot \,\, dV\).

Unsere Gleichung lautet jetzt \(\,\, - \,\, dQ \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, dV\). Wir integrieren auf beiden Seiten.

\(- \,\, \displaystyle \,\, \int _{0}^{Q} \,\, \,\, dQ \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V_{1}}^{V_{2}} \,\,\,\, p \,\, dV \ \)

Auf der rechten Seite integrieren wir vom Anfangsvolumen 24,47 L zum Endvolumen 18 L. Auf der linken Seite wird von der Wärmemenge 0 (am Anfang wird ja keine Wärme abfließen) zur Wärmemenge \(Q\), welche abfließen muss, damit die Volumsänderung durch die Kompression kompensiert wird.

Für das ideale Gas gilt das ideale Gasgesetz \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Hierbei ist n die Stoffmenge (geben in Mol), \(R\) die universelle Gaskonstante und \(T\) die Temperatur des Gases. Die ideale Gaslgleichung wird nach dem Druck \(p\) umgeformt und in das rechte Integral eingesetzt (statt \(p\)).

\(- \,\, Q \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V_{1}}^{V_{2}} \,\,\,\, \frac{n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T}{V} \,\, dV \ \)

\(-\, Q \, = \, n \, \cdot \, R \, \cdot \,T \,\cdot\, \left[\,\, ln(V_{2}) \,\, - \, ln(V_{1}) \,\right] \, = \, n \, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\, \cdot ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)

\(n \,\, = \,\, 1\) (1 Mol), \(R \,\, = \,\, 8.314 \,\, \,\, \,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}\)

Eine Temperatur von 25°C entspricht \(T \,\, = \,\, (25 \,\, + \,\, 273.15 \,\,) \,\, K \,\, = \,\, 298.15 \,\, K\). Die Einheit Kelvin wird verwendet, weil sie die SI-Einheit der Temperatur ist.

Die beiden Volumina \(V_{1} \,\, = \,\, 24,47 \,\, dm^3\) und \(V_{2} \,\, = \,\, 18 \,\, dm^3\) \((1 \,\, L \,\, = \,\, 1 \,\, dm^3)\) müssen nicht in ihre jeweiligen SI-Einheiten umgewandelt werden, weil die beiden in einem Bruch stehen und dadurch kommt unabhängig von der jeweiligen Längen- bzw. Volumseinheit der gleiche Wert heraus.

Daraus folgt für den Betrag der Wärmemenge, welche aus dem System in den Wärmespeicher abfließen muss \(Q \,\, = \,\, 761.2 \,\, J \,\, = \,\, 0.7612 \,\, kJ\).

Antwort 4 ist korrekt.

Reversible Zustandsänderungen/Prozesse werden jene bezeichnet, welche langsam genug ablaufen, sodass sich das System während des gesamtem Durchlaufs des Prozesses immer im Gleichgewicht befindet. Solche Zustandsänderungen sind vollständig umkehrbar.

Antwort 3 ist korrekt.

Bei einer isobaren Zustandsänderung wird der Druck im betrachteten System konstant gehalten. Im P-V-Phasendiagramm entspricht das daher einer waagrechten Gerade. Das Volumen ist frei variabel, aber der Druck bleibt konstant. Damit entspricht jedem beliebigen Volumenwert auf der Abszisse (x-Achse) immer ein konstanter Druckwert auf der Ordinate (y-Achse).

Antwort 2 ist korrekt.

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik stellt für dieses Beispiel die Basis dar. Es gilt \(dU \,\, = \,\, dQ \,\, + \,\, dW\). Die Änderung der inneren Energie \(dU\) eines Systems ist gleich der Summe aus hineinfließender/abfließender Wärmemenge \(dQ\) und hineinfließender/abfließender mechanischer Arbeit \(dW\). Je nachdem, ob die Wärme/Arbeit in das System hineinfließt oder vom System abfließt, haben die Terme ein positives (ins System hineinfließend) oder negatives (vom System abfließend) Vorzeichen. Das kleine \(d\) steht mathematisch für das Differential und man interpretiert es physikalisch als infinitesimal kleine Änderung/kleinen Anteil.

Unser System ist hier das Wasser.

Durch die Sonneneinstrahlung wird Wärme ins System gebracht. Da das Volumen des Wassers konstant gehalten wird, handelt es sich um eine isochore Zustandsänderung. Da die Volumenänderungsarbeit als \(dW \,\, = \,\, p \cdot \,\, dV\) angeschrieben wird, fällt dieser Term weg, da \(dV \,\, = \,\, 0\) (weil das Volumen konstant bleibt)

Bei der Gleichung des 1. Hauptsatzes \(dU \,\, = \,\, dQ \,\, + \,\, dW\) wird daher zu \(dU \,\, = \,\, dQ\).

Die Wärmemenge \(dQ\) kann durch die spezifische Wärmekapazität \(c_{W}\) und Masse \(m\) eines Stoffes (hier Wasser) auch als Funktion der Temperatur \(T\) angeschrieben werden.

\(dQ \,\, = \,\, c_{W} \,\, \cdot \,\, m \,\, \cdot \,\, dT\)

Auf beiden Seiten wird integriert (links nach der Wärme \(Q\) und rechts nach der Temperatur \(T\))

(Zusatz: Man könnte die Gleichung als Differentialgleichung erster Ordnung betrachten \(\frac{dQ}{dT} \,\, = \,\, c_{W} \,\, \cdot \,\, m \,\,\). Solche Typen von Differentialgleichungen löst man durch die Methode der Separation der Variablen. Falls dies ein Problem ist, ist es ratsam sich dieses Thema anzuschauen. Es wird hier insbesondere auf die Mathematik-Lernplattform hingewiesen.)

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{0}^{Q} \,\, \,\, dQ \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{T_{1}}^{T_{2}} \,\,\,\, \,\, c_{W} \,\, \cdot \,\, m \,\, \,\, dT \ \)

Auf der rechten Seite integrieren wir von der Anfangstemperatur \(T_{1} \,\, = \,\, 278.15 \,\, K\) bis  zur Endtemperatur  \(T_{2} \,\, = \,\, 285.15 \,\, K\)(Die Temperaturen wurden von Celsius auf Kelvin umgewandelt). Auf der linken Seite wird von der Wärmemenge 0 (man nimmt die erste Temperaturmessung des Wassers als Nullpunkt bzw. Bezugspunkt und wählt dafür den Wert 0. Im Endeffekt geht es nur um die Änderung der Wärmemenge, der Bezugspunkt ist also beliebig wählbar.) zur Wärmemenge \(Q\), welche nach erneuter Messung zu einer Temperaturerhöhung geführt hat.

\(Q \,\, = \,\, c_{W} \,\, \cdot \,\, m \,\, \cdot \,\, ( T_{2} \,\, - \,\, T_{1} )\)

Die Masse \(m\) des Wassers ergibt sich aus seiner Dichte \(\rho\) und seinem Volumen von 5 L. Das Volumen wird in \(m^3\) umgewandelt, damit das Ergebnis auch die korrekte Einheit \(J\) erhält.

\(m \,\, = \,\, 1000 \,\, \frac{kg}{m^3} \,\, \cdot \,\, 0.005 \,\, m^3 \,\, = \,\, 5 \,\, kg\)

\(Q \,\, = \,\, 4182 \,\, \frac{J}{kg \,\, \cdot \,\, K} \,\, \cdot \,\, 5 \,\, kg \,\, \cdot \,\, ( \,\, 285.15 \,\, K \,\, - \,\, 278.15 \,\, K )\)

\(Q \,\, = \,\, 146370 \,\, J \,\, = \,\,146.37 \,\, kJ\)

Antwort 2 ist korrekt.

Um hier die richtige Antwort zu finden, müssen wir die verschiedenen Arten von Zustandsänderungen rekapitulieren.

Im Abschnitt I ist die Zustandsänderung durch eine waagrechte Gerade dargestellt. Der Druck ist konstant während das Volumen variabel ist, daher ist dieser Abschnitt eine Isobare ("iso" kommt aus dem Griechischen und bedeutet "gleich").

Im Abschnitt II sind jeweils Druck und Volumen nicht konstant. Man sieht aber, dass bei höherem Volumen der Druck niedriger wird. Diese Gesetzmäßigkeit wird durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschrieben welches besagt, dass der Druck bei konstanter Temperatur indirekt proportional zum Volumen ist. Die Temperatur wird daher in diesem Abschnitt konstant gehalten und die Zustandsänderung ist isotherm.

Im Abschnitt III wird die Zustandsänderung von Abschnitt I wiederholt. Es ist wieder eine isobare Zustandsänderung.

Bei Abschnitt IV bleibt nun das Volumen konstant, während der Druck variabel ist. Diese senkrechte Gerade stellt daher eine isochore Zustandsänderung dar.

Antwort 4 ist korrekt.

Die isotherme Zustandsänderung wird durch die Kurve dargestellt, welche die Zustände 1 und 2 verbindet. Die adiabatische Zustandsänderung wird durch die Kurve dargestellt, welche die Zustände 1 und 3 verbindet.

Der Grund für die steilere Kurve ist die zusätzliche Temperaturänderung bei der adiabatischen Zustandsänderung. Die isotherme Zustandsänderung wird durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschrieben: \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, const.\) Wenn sich das Volumen verdoppelt, dann muss sich der Druck halbieren damit dessen Produkt weiterhin konstant bleibt.

\(p\) ist der Druck und \(V\) ist das Volumen des betrachteten Systems (meistens ist das betrachtete System ein ideales Gas). Dessen Produkt ist bei konstanter Temperatur zu jeder Zeit konstant.

Die adiabatische Zustandsänderung wird durch die Adiabatengleichung beschrieben: \(p \,\, \cdot \,\, V^{\kappa} \,\, = \,\, const.\)

Hierbei ist \(\kappa\) der Adiabatenexponent.

Wenn das Volumen hier verdoppelt wird, dann wird durch den Adiabatenexponenten (der immer größer als 1 ist) das Endvolumen größer als das Doppelte davon. Dadurch muss sich der Druck um mehr verringern als nur um die Hälfte. Dadurch wird die resultierende Kurve im P-V-Phasendiagramm steiler.

Man kann sich das auch so vorstellen, dass bei der adiabatischen Zustandsänderung nicht nur Druck und Volumen sich ändern, sondern auch die Temperatur. Bei der im Bild dargestellten adiabatischen Expansion des Gases, gibt es eine Senkung der Temperatur. Daher muss die Kurve steiler werden als bei der isothermen Zustandsänderung.

Antworten 1, 2 & 4 sind korrekt!

Eine extensive Größe ist eine Zustandsgröße, die sich mit der Größe (Ausdehnung) des betrachteten Systems ändert.

Als Beispiel betrachtet man ein thermodynamisches System, welches durch die Zustandsgrößen Teilchenzahl \(N\), Volumen \(V\), Temperatur \(T\) und Druck \(P\) beschrieben wird.

Teilt man das System in der Mitte (zb. durch eine Wand) dann erhält man 2 Teilsysteme. Beide davon besitzen die Zustandsgrößen \(\frac{N}{2}\), \(\frac{V}{2}\), \(T\) und \(P\).

Die Größen Teilchenzahl und Volumen wurden halbiert, die Zustandsgrößen Druck und Temperatur sind gleich geblieben.

Daher sind Druck \(P\) und Temperatur \(T\) intensive Zustandsgrößen während Teilchenzahl \(N\) und Volumen \(V\) extensive Zustandsgrößen sind.

Die spezifische Wärmekapazität \(C\) wird auf die Masse bezogen und wird damit zu einer intensiven Größe (wird das System beispielsweise verdoppelt, so verdoppelt sich zwar dessen Wärmekapazität, aber auch dessen Masse. Die spezifische Wärmekapazität \(c = \frac{C}{m}\) ändert sich daher nicht, wenn sich die Größe des Systems ändert).

Die innere Energie \(U\) ist die gesamte in einem System enthaltene Energie. Da sie von anderen extensiven Größen abhängt, muss auch die innere Energie selber eine extensive Größe sein.