Antworten 3 & 4 sind korrekt.

Die extensive Zustandsgröße Entropie \(S\) eines thermodynamischen Systems wird oft als dessen Grad der Unordnung interpretiert. Befindet sich ein System im Gleichgewicht, dann sind dessen Zustandsgrößen, durch die das System beschrieben wird, konstant in der Zeit.

Für die Entropie \(S\) gilt dann, dass diese maximal sein muss und das Differential \(\mathrm{d}S = 0\).

Antwort 1 ist korrekt.

Die Entropie \(S\) ist ein Maß für die Unordnung eines Systems. Bei einer Reaktion/Zustandsänderung verändert sich das System freiwillig in jene Richtung, in der die Entropie zunimmt (2. Hauptsatz der Thermodynamik). Das höchste Maß an Unordnung, und damit der Entropie, bedeutet also, dass das System im Gleichgewicht ist. Die Atome/Moleküle der Substanz haben die höchste Anzahl an Möglichkeiten sich innerhalb der Kristallstruktur in der Substanz anzuordnen. Das ist vergleichbar mit einem Tropfen Farbe, die sich im Wasser verteilt.

Bei einer absoluten Temperatur von 0 gibt es keine thermische Bewegung der Atome/Moleküle mehr. Jedes Atom/Molekül befindet sich auf einem festen Platz, es hat keine Möglichkeit, diesen Platz zu verlassen. Damit ist auch die Entropie gleich 0.

Man kann es auch so interpretieren, dass wenn alle Atome/Moleküle an einem wohldefinierten Platz ruhen, es dann keine Unordnung mehr gibt.

Antwort 1 ist korrekt.

Üblicherweise wird die Entropie eines Systems mit dessen Grad der Unordnung interpretiert. Dabei ist der Gleichgewichtszustand eines Systems mit dem Maximum von dessen Entropie verbunden (was der Intuition widerspricht). Ist ein System im Gleichgewicht, hat es also den höchsten Grad der Unordnung.

Wird ein System von außen isoliert, sodass weder Energieaustausch noch Materieaustausch stattfinden kann, so durchläuft das System von alleine so lange Zustandsänderungen, bis es sich im Gleichgewicht befindet. Während dieser Zustandsänderungen ins Gleichgewicht wächst die Entropie und sobald das Gleichgewicht erreicht wurde, bleibt die Entropie konstant.

Antwort 3 ist korrekt.

Bei einer reversiblen Zustandsänderung befindet sich das betrachtete System während dem gesamten Prozess im Gleichgewicht. Es gibt von außen keine Einflüsse (von außen kommende Wärmeflüsse, Reibung etc.), welche auf das System wirken. Bei solchen Prozessen ändert sich die Entropie nicht, \(\Delta S = 0\) und daher \(S \,\, = \,\, const.\)

Antwort 1 ist korrekt.

Eingeführt und definiert wurde die Entropie \(S\) durch den Physiker Rudolf Clausius als eine Funktion des einem System zugeführten Wärmeanteils \(dQ\) und der Temperatur \(T\), bei der dieser Übertrag stattfindet.

\(S \,\, = \,\, \frac{dQ}{T}\)

Für die Einheit der Entropie muss man die Einheiten der beiden Größen \(Q\) und \(T\) kennen.

\([Q] \,\, = \,\, J\) (Joule)

Wärme ist eine Form der Energie.

\([T] \,\, = \,\, K\)(Kelvin)

Daher gilt für die Entropie: \([S] \,\, = \,\, \frac{J}{K}\)

Die Entropieänderung \(dS\) wird durch die folgende Formel definiert: \(dS \,\, = \,\, \frac{dQ}{T}\). Dabei ist \(dQ\) eine Wärmemenge, die einem System zugeführt wird und \(T\) die momentane Temperatur des Systems.

Wir betrachten 2 Systeme. Je \(1 \,\, L\) Wasser mit 2 unterschiedlichen Temperaturen. Für beide Systeme werden die Entropieänderungen \(dS_{1}\) und \(dS_{2}\) berechnet. Wäre der Mischvorgang reversibel, dann müsste gelten \(S_{1} \,\, + \,\, S_{2} \,\, = \,\, 0\) und daher ist die Gesamtänderung der Entropie \(dS\) der Mischung der beiden Systeme gleich 0.

Für beide Entropieänderungen \(dS_{1}\) und \(dS_{2}\) wird von der Anfangstemperatur bis zur Endtemperatur der Mischung integriert.

\(S_{1} \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{T_{1}}^{T_{2}} \,\,\,\, \,\, \frac{dQ}{T} \,\,\)

Für die Wärmemenge \(dQ\) gilt: \(dQ \,\, = \,\, c_{W} \,\, \cdot \,\, m \,\, \cdot \,\, dT\). Dies folgt aus der Definition der spezifischen Wärmekapazität \(c\).

Daher gilt:

\(S_{1} \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{T_{1}}^{T_{2}} \,\,\,\, \,\, \frac{1}{T} \,\, \cdot \,\, c_{W} \,\, \cdot \,\, m \,\, \cdot \,\, dT \)

\(S_{1} \,\, = \,\, ln \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) \,\, \cdot c_{W} \,\, \cdot \,\, m\)

\(T_{1}\) beträgt 20°C. Die Temperatur \(T_{2}\) ist eigentlich die Mischtemperatur \(T_{M}\) der beiden Wassermengen. Diese kann mit der folgenden Formel bestimmt werden:

\(T_{M} \,\, = \,\, \frac{m_{1} \,\, \cdot \,\, T_{1} \,\, + \,\, m_{2} \,\, \cdot \,\, T_{2}}{m_{1} \,\, + \,\, m_{2}}\)

Für die beiden Wassermassen gilt: \(m \,\, = \,\, \rho \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, 1000 \,\, \frac{kg}{m^3} \,\, \cdot \,\, 0.001 \,\, m^3 \,\, = \,\, 1 \,\, kg\) (\(1 \,\, L \,\, = \,\, 1 \,\, dm3\))

\(T_{M} \,\, = \,\, \frac{1 \,\, kg \,\, \cdot \,\, 293.15 \,\, K \,\, + \,\, 1\,\, kg \,\, \cdot \,\, 303.15 \,\, K}{1 \,\, kg \,\, + \,\,1 \,\, kg} \,\, = \,\, 298.15 \,\, K \,\,\)

Dies entspricht einer Mischungstemperatur von 25°C.

Nun werden in die Integrale alle Werte eingesetzt:

\(S_{1} \,\, = \,\, ln \left(\frac{298.15 \,\, K}{293.15 \,\, K}\right) \,\, \cdot \,\, 4185 \,\, \frac{J}{kg \,\, \cdot \,\, K} \,\, \cdot \,\, 1 \,\, kg \,\, = \,\, 70.8 \,\, \frac{J}{K}\)

\(S_{2} \,\, = \,\, ln \left(\frac{298.15 \,\, K}{303.15 \,\, K}\right) \,\, \cdot \,\, 4185 \,\, \frac{J}{kg \,\, \cdot \,\, K} \,\, \cdot \,\, 1 \,\, kg \,\, = \,\, - \,\, 69.6 \,\, \frac{J}{K}\)

 \(\Delta \,\, S \,\, = \,\, \,\, 70.8 \,\, \frac{J}{K} \,\, + \,\, (- \,\, 69.6 \,\, \frac{J}{K})\)

Die Gesamtentropieänderung beträgt \(\Delta \,\, S \,\, = \,\, 1.2 \,\, \frac{J}{K}\).

Die Änderung der Entropie berechnen wir durch Integration ihres Differentials:

\(\Delta S = S_2 -S_1 = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T}\)

Da es sich um einen isothermen Prozess handelt (während der Expansion nimmt das Gas Wärmeenergie vom Reservoir auf, sodass dessen Temperatur konstant bleibt), ändert sich die innere Energie des Gases nicht. Aus dem 1. Hauptsatz folgt daher:

\(\mathrm{d}U = \mathrm{d}Q + \mathrm{d}W = 0\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm{d}Q = -\mathrm{d}W\)

Die aufgenommene Wärmemenge entspricht also der Volumenarbeit \(\mathrm{d}Q = -\mathrm{d}W = p\, \mathrm{d}V\).

Damit gilt:

\(\Delta S = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T} = \frac{1}{T}\, \displaystyle\int\limits^{V_2}_{V_1}p\,\mathrm{d}V\)

Mit der idealen Gasgleichung \(p\cdot V = n\cdot R\cdot T\) lässt sich schreiben:

\(\Delta S = \frac{1}{T}\,\displaystyle\int\limits^{V_2}_{V_1}\frac{n\,\cdot\,R\,\cdot\,T}{V}\,\mathrm{d}V\)\(= n\,\cdot\, R\,\displaystyle\int\limits^{V_2}_{V_1}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V = n\,\cdot\,R\,\left[\ln\left(V_2 \right) - \ln\left(V_1\right) \right]\)

Das lässt sich noch umformen zu \(\Delta S = n\,\cdot\,R\,\cdot\,\ln\left(\frac{V_2}{V_1} \right)\)

Die allgemeine Gaskonstante beträgt \(R \,\approx\,8.314\;\frac{J}{\mathrm{mol}\,\cdot\,K}\) und die Molzahl in diesem Fall \(n = 5\,\mathrm{mol}\). Die gesamte Änderung der Entropie des Gases im Kolben beträgt daher:

\(\Delta S = 5\,\mathrm{mol}\,\cdot 8.314\;\frac{J}{\mathrm{mol}\,\cdot K}\,\cdot\,\ln( 3) = 45.67\,\frac{J}{K}\)

Die Änderung der Entropie berechnen wir durch Integration ihres Differentials:

\(\Delta S = S_2 -S_1 = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T}\)

Da es sich um einen isochoren Prozess handelt (das Volumen des Gases in dem geschlossenen Behälter bleibt gleich), wird keine Volumenarbeit verrichtet. Aus dem 1. Hauptsatz folgt daher:

\(\Delta U = Q + \underbrace{W}_{=0} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta U = Q\)

Die aufgenommene Wärmemenge geht also direkt in die Erhöhung der inneren Energie ein.

Mit der Definition der spezifischen Wärmekapazität \(c = \frac{Q}{m\,\cdot\,\Delta T}\) lässt sich die Erhöhung der inneren Energie ausdrücken:

\(\Delta U = c\,\cdot \,m\,\cdot \Delta T\).

Dabei bezeichnet \(m\) die Gesamtmasse des Gases. Mit der molaren Masse \(M_{\mathrm{CO}} = 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}}\) lässt sich die Masse \(m\) berechnen:

\(m = n\,\cdot\,M_{\mathrm{CO}} = 10\,\mathrm{mol}\,\cdot 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}} = 280\,g = 0.28\,kg\).

Und damit: \(\Delta U = c\,\cdot \,m\,\cdot \Delta T\)

Die Temperatur ist also die Integrationsvariable und wir erhalten:

\(\Delta S = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T} = m\,\cdot\,c\,\cdot\displaystyle\int\limits^{T_2}_{T_1}\frac{1}{T}\;\mathrm{d}T\)

\(\Delta S = m\cdot\,c\cdot\displaystyle\int\limits^{T_2}_{T_1}\frac{1}{T}\;\mathrm{d}T = m\cdot\,c\cdot \left[\ln(T_2) - \ln(T_2) \right]\)

Das lässt sich weiter umformen zu \(\Delta S = m\cdot\, c\cdot\, \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\)

Umrechnen der Temperaturen in die SI-Einheit Kelvin:

\(T_1 = 25\,^{\circ}C = (25 + 273.15)\,K = 298.15\,K\)

\(T_2 = 50\,^{\circ}C = 323.15\,K\)

Die gegebenen Größen eingesetzt erhalten wir schließlich:

\(\Delta S = m\cdot\, c\cdot\, \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 0.28\,kg\cdot\,750\,\,\frac{J}{kg\,K}\cdot\,\ln\left(\frac{323.15\, K}{298.15\, K} \right)\)

\(\Delta S = 16.9\quad\frac{J}{K}\)