Das Snellius'sche Brechungsgesetz lautet \(n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} \)

Der Grenzwinkel der Totalreflexion tritt bei \(\theta_2=90^{\circ}\) auf. 

\(n_1 \sin{\theta_T}= n_2 \sin{90^\circ}\) 

\(\theta_T= \arcsin{\frac{n_2}{n_1} }\)

\(\theta_T=48.75^{\circ}\)

Aus  \(\theta_T= \arcsin{\frac{n_2}{n_1} }\) wird auch ersichtlich, wieso Totalreflexion nur beim Übergang von einem optisch dichteren Medium in ein optisch dünneres Medium auftreten kann: Die Arkussinus-Funktion ist nur für Werte aus dem Intervall [-1,1] definiert. Betrachtet man einen Lichtstrahl, der z.B. von Luft in Wasser geht, gilt für das Verhältnis  \(\frac{n_2}{n_1}=1.330\)  eine Zahl, die nicht im oben genannten Intervall liegt und für die die Arkussinusfunktion nicht definiert ist. 

Ein Lichtstrahl, der von einem optisch dünneren in ein optisch dickeres Medium tritt, wird zum Lot hin gebrochen, er kann also gar nicht totalreflektiert werden.

Antwort 2 ist korrekt!

In erster Linie wird hier das Phänomen der Totalreflexion abgebildet. Diese kann nur dann auftreten, wenn Licht von einem optisch dichteren Medium (in diesem Fall Wasser) in ein optisch dünneres Medium (Luft) übergeht. Dafür muss weiters der Grenzwinkel der Totalreflexion im dichten Medium überschritten werden. Das ist hier der Fall, denn wir können keinen aus dem Wasser austretenden Lichtstrahl feststellen. Es wird dann die gesamte Intensität des Lichts reflektiert, weswegen dieses Phänomen "Totalreflexion" genannt wird.

Anm.: Die Intensität des Lichts im Wasser nimmt zwar ab, was allerdings auf Streuung im Wasser (an den Molekülen, kleinen Staubteilchen, Verunreinugungen, ...) zurückzuführen ist und keinen Widerspruch zur Totalreflexion darstellt.

Hinweis für Interessierte: zum Tunneleffekt

Der Tunneleffekt beschreibt das Phänomen, dass ein Teilchen oder eine Welle eine Potentialbarriere (Hindernis) auch dann überwinden kann, wenn seine Energie geringer ist als die (endlich hohe) Barriere. Für klassische/makroskopische Teilchen ist dies unmöglich. etwa wird ein Stein niemals über eine Mauer geworfen werden können, wenn seine kinetische Energie beim Abwurf dafür nicht ausreicht. Quantenmechanische Systeme aber können zumindest teilweise solche Barrieren überwinden oder eben durch diese "hindurchtunneln".

Der Lichtstrahl trifft von unten kommend unter dem Winkel \(\alpha_W\) auf die Grenzfläche zwischen Wasser und Luft und wird dabei gebrochen. Der Brechungswinkel ist dabei \(\alpha_L\). Beide Winkel, der Einfallswinkel und der Brechungswinkel, werden zum Lot gemessen (siehe Abbildung).

Durch Ablesen können die Werte ermittelt werden:

\(\alpha_L = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\)

\(\alpha_W = 270^{\circ} - 238^{\circ} = 32^{\circ}\)

(Achtung: da die Nulllinie des Winkelmesser auf der positiven x-Achse liegt, müssen die abgelesenen Zahlenwerte noch von den Werten des Lots abgezogen werden!)

Mit dem Snellius'schen Brechungsgesetz

\(n_L\cdot\, \sin(\alpha_L) = n_W\cdot\, \sin(\alpha_W) \)

ergibt sich:

\(\underbrace{\cancel{n_L}}_{=1}\cdot\, \sin(\alpha_L) = n_W\cdot\, \sin(\alpha_W) \qquad \Rightarrow \qquad n_W = \frac{\sin(\alpha_L)}{\sin(\alpha_W)}\)

\(n_W = \frac{\sin(\alpha_L)}{\sin(\alpha_W)} = \frac{\sin(45)}{\sin(32)} = 1.334\)

(Was sehr nahe am Literaturwert für Wasser, \(n_W = 1.333\), liegt. Durch die Streuung des Lichtstrahls erstreckt sich seine Breite über etwa 2° des Winkelmessers, die Messunsicherheit beim Ablesen des Winkels ist also recht groß. Dennoch konnte auch mit vergleichsweise einfachen Mitteln ein Ergebnis nahe dem Literaturwert ermittelt werden.)

Für Interessierte:

• Brechungsindex kleiner 1?

Ein Brechungsindex \(n\, < \,\,\,\,1\) ist nicht möglich, da sich das Licht im Medium (in diesem Fall Wasser) mit größerer als der Vakuums-Lichtgeschwindigkeit \(c_0\) fortbewegen würde!

In der Wellentheorie ist dies streng genommen die Gruppengeschwindigkeit - die Geschwindigkeit, mit der Energie oder Information übertragen werden können. Die Phasengeschwindigkeit kann unter Umständen auch größer als \(c_0\) sein, wobei allerdings keine Information übertragen werden kann!

• ein negativer Brechungsindex?

Ein negativer Brechungsindex würde bedeuten, dass beim Übergang in die Luft das Licht in die "falsche Richtung" über das Lot hinaus geworfen werden würde und nicht weg davon. Die Gruppen- sowie Phasengeschwindigkeit des Lichts wären also negativ.

Lange Zeit glaubte man nicht, dass es Materialen mit diesen optischen Eigenschaften geben könnte, es wurden aber mittlerweile solche "Metamaterialen" gefunden, die für elektromagnetische Wellen einen negativen Brechungsindex aufweisen.

Antwort 3 ist korrekt.

Zwischen dem Brechungsindex \(n\) eines Mediums und der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(v\) des Lichts innerhalb dieses Mediums besteht die folgende Beziehung:

\(n \,\, = \,\, \frac{c}{v}\)

Hierbei ist \(c\) die Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum. Ihr Wert wurde experimentell bestimmt und beträgt \(c \,\, = \,\, 3 \,\, \cdot \,\, 10^8 \,\, \frac{m}{s}\).

Aus der obrigen Gleichung kann man bereits erkennen, dass wenn der Brechungsindex \(n\) steigt dann muss die Geschwindigkeit \(v\) sinken damit die Gleichung weiterhin gültig bleibt.

Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit \(c\) ist eine Konstante und darf sich nicht ändern.

Der Brechungsindex \(n\) eines optischen Mediums gibt das Verhältnis von Vakuumlichtgeschwindigkeit \(c_0\) zur Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c_M\) des Lichts in diesem Medium an: \(n = \frac{c_0}{c_M}\).

Im Medium gilt stets \(c_0\, > \,c_M\) und damit, dass \(n \, > \, 1\) ist.

\(n_ 1 = 1.8\) und \(n_1 = 1.5\,\,n_2\qquad \Rightarrow \qquad n_2 = \frac{n_1}{1.5} = \frac{2}{3}\,n_1\)

\(n_2 = \frac{2}{3}\,\cdot 1.8 = \frac{6}{5} = 1.2\)

Damit \(n_2 = \frac{c_0}{c_M} \qquad \Rightarrow \qquad c_M = \frac{c_0}{n_2}\)

\(c_M = \frac{5}{6}\,c_0\)