Das Snellius'sche Brechungsgesetz lautet \(n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} \)

Der Grenzwinkel der Totalreflexion tritt bei \(\theta_2=90^{\circ}\) auf. 

\(n_1 \sin{\theta_T}= n_2 \sin{90^\circ}\) 

\(\theta_T= \arcsin{\frac{n_2}{n_1} }\)

\(\theta_T=48.75^{\circ}\)

Aus  \(\theta_T= \arcsin{\frac{n_2}{n_1} }\) wird auch ersichtlich, wieso Totalreflexion nur beim Übergang von einem optisch dichteren Medium in ein optisch dünneres Medium auftreten kann: Die Arkussinus-Funktion ist nur für Werte aus dem Intervall [-1,1] definiert. Betrachtet man einen Lichtstrahl, der z.B. von Luft in Wasser geht, gilt für das Verhältnis  \(\frac{n_2}{n_1}=1.330\)  eine Zahl, die nicht im oben genannten Intervall liegt und für die die Arkussinusfunktion nicht definiert ist. 

Ein Lichtstrahl, der von einem optisch dünneren in ein optisch dickeres Medium tritt, wird zum Lot hin gebrochen, er kann also gar nicht totalreflektiert werden.

Antwort 2 ist korrekt!

In erster Linie wird hier das Phänomen der Totalreflexion abgebildet. Diese kann nur dann auftreten, wenn Licht von einem optisch dichteren Medium (in diesem Fall Wasser) in ein optisch dünneres Medium (Luft) übergeht. Dafür muss weiters der Grenzwinkel der Totalreflexion im dichten Medium überschritten werden. Das ist hier der Fall, denn wir können keinen aus dem Wasser austretenden Lichtstrahl feststellen. Es wird dann die gesamte Intensität des Lichts reflektiert, weswegen dieses Phänomen "Totalreflexion" genannt wird.

Anm.: Die Intensität des Lichts im Wasser nimmt zwar ab, was allerdings auf Streuung im Wasser (an den Molekülen, kleinen Staubteilchen, Verunreinugungen, ...) zurückzuführen ist und keinen Widerspruch zur Totalreflexion darstellt.

Hinweis für Interessierte: zum Tunneleffekt

Der Tunneleffekt beschreibt das Phänomen, dass ein Teilchen oder eine Welle eine Potentialbarriere (Hindernis) auch dann überwinden kann, wenn seine Energie geringer ist als die (endlich hohe) Barriere. Für klassische/makroskopische Teilchen ist dies unmöglich. etwa wird ein Stein niemals über eine Mauer geworfen werden können, wenn seine kinetische Energie beim Abwurf dafür nicht ausreicht. Quantenmechanische Systeme aber können zumindest teilweise solche Barrieren überwinden oder eben durch diese "hindurchtunneln".

Totalreflexion kann immer nur dann auftreten, wenn ein Lichtstrahl sich durch ein Medium fortbewegt und auf eine Grenzfläche zu einem Medium mit kleinerem Brechungsindex trifft.

Das lässt sich anhand des Snellius'schen Brechungsgesetzes verdeutlichen. Dieses besagt, dass ein Lichtstrahl, wenn er in ein anderes Medium mit kleinerem Brechungsindex übergeht, vom Lot weggebrochen wird (siehe Abbildung).

Denkt man sich den einfallenden Strahl und den gebrochenen Strahl gegen den Uhrzeigersinn gedreht, so wird unter einem gewissen Einfallswinkel \(\alpha_1\) der Strahl um 90° vom Lot weggebrochen. Dadurch tritt kein Lichtstrahl mehr in das andere Medium und der Lichstrahl wird unter dem selben Winkel \(\alpha_1\) in das ursprüngliche Medium reflektiert. Da die gesamte Intensität in das Medium zurückgeworfen wird, wird dieses Phänomen "Totalreflexion" genannt.

Anmerkung: Anhand des Wellenbildes kann gezeigt werden, dass ein kleiner Teil der einfallenden Welle doch in das andere Medium übergeht. Die Intensität nimmt dort aber exponentiell ab, man spricht von einer "evaneszenten" Welle.

Das Snellius'sche Brechungsgesetz gibt den Zusammenhang zwischen Einfallswinkel \(\alpha_1\) und Brechungswinkel \(\alpha_2\) in Abhängigkeit der Brechungsindizes der beiden Medien an:

\(\sin(\alpha_1)\cdot n_1 = \sin(\alpha_2)\cdot n_2\)

Im Falle der Totalreflexion beträgt der Brechungswinkel \(\alpha_{\mathrm{Brechung}}\) gerade 90° und der Lichtstrahl wird unter dem Einfallswinkel \(\alpha_T\) in das Ausgangsmedium reflektiert. Es gilt also für \(\alpha_{\mathrm{Brechung}}= 90^{\circ}\):

\(\sin(\alpha_T)\cdot n_1 = \underbrace{\sin(90^{\circ})}_{=1}\cdot n_2 = n_2\)

und damit \(\frac{n_2}{n_1} = sin(\alpha_T) \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_T = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1} \right)\)

Um den Grenzwinkel für die Totalreflexion berechnen zu können, ist daher nur das Verhältnis der beiden Brechungsindizes zueinander notwendig. Das berechnet sich aus dem Brechungsgesetz und den gegebenen Winkeln:

\(\sin(\alpha_1)\cdot n_1 = \sin(\alpha_2)\cdot n_2 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)}\)

\( \frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)} = \frac{\sin(40^{\circ})}{\sin(74^{\circ})}\)

Und schließlich erhalten wir für den Grenzwinkel der Totalreflexion:
\(\alpha_T = \arcsin\left(\frac{\sin(40^{\circ})}{\sin(74^{\circ})} \right) = 41.97^{\circ}\)

Anworten 2, 3 & 5 sind korrekt!

Totalreflexion tritt beim Übergang zu einem Medium mit kleinerem Brechungsindex als das Ausgangsmedium auf. Dabei wird, nach dem Snellius'schen Brechungsgesetz, der Strahl im neuen Medium vom Lot weg gebrochen. Der Brechungswinkel \(\alpha_2\) muss daher größer sein als der Einfallswinkel \(\alpha_1\).

Das kann man sich auch verdeutlichen, indem man sich den gebrochenen Lichtstrahl in der Abbildung gegen den Uhrzeigersinn gedreht vorstellt. Bei einem kritischen Einfallswinkel \(\alpha_1\) - dem Grenzwinkel für die Totalreflexion - wird der Strahl unter dem Winkel \(\alpha_2 = 90^{\circ}\) gebrochen. Der Strahl tritt nicht mehr in das neue Medium ein und die gesamte Intensität wird in das Ausgangsmedium reflektiert. Das ist in der untenstehenden Abbildung zu sehen.

Damit Totalreflexion auftreten kann, muss der Brechungswinkel größer sein als der Einfallswinkel.

Da der Brechungsindex eines Mediums definiert ist als \(n_M = \frac{c_0}{c_M}\), mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit \(c_0\) und der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c_M\) im Medium, gilt daher:

\(\frac{c_0}{c_2} \,\, < \,\, \frac{c_0}{c_1} \qquad \Rightarrow \qquad c_1\,\,<\,\,c_2\)

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Ausgangsmedium muss daher kleiner sein als im neuen Medium. (Dieser Zusammenhang ist genau umgekehrt wie bei den Brechungsindizes der beiden Medien!)

Durch die runde Form der Linse gelangt das Licht geradlinig durch dessen Oberfläche, während an der flachen Seite Totalreflexion auftritt.

Der Lichtstrahl folgt dabei dem Snellius'schen Brechungsgesetz, der den Einfallswinkel und den Brechungswinkel mit den Brechungsindizes der beiden Medien in Beziehung setzt:

\(n_1 \cdot \,\sin(\alpha_1) = n_2 \cdot\, \sin(\alpha_2)\)

Bei der Totalreflexion ist der Brechungswinkel \(\alpha_2 = 90^{\circ}\), der Lichtstrahl wird unter dem Einfallswinkel \(\alpha_1\) reflektiert. Der kritische Einfallswinkel, bei dem Totalreflexion auftritt, wird als Grenzwinkel für die Totalreflexion, \(\alpha_T\), bezeichnet (bei größeren Einfallswinkeln tritt weiterhin Totalreflexion auf, während bei kleineren Winkeln zum Lot das Licht in das zweite Medium gebrochen wird, also keine Totalreflexion mehr auftritt).

Es gilt also:

\(n_1 \cdot\,\sin(\alpha_T) = n_2 \cdot\,\underbrace{\sin(90^{\circ})}_{=1}\)

Da für den Brechungsindex in Luft gilt \(n_2 = 1\), folgt:

\(n_1 \cdot\,\sin(\alpha_T) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad n_1 = \frac{1}{\sin(\alpha_T)}\)

\(n_1 = \frac{1}{\sin(45^{\circ})} = \sqrt{2} \approx 1.41\)