Antwort 2 ist korrekt!

Durch den Becher wird das Wasser darin in eine zylindrische Form gebracht und wirkt dabei als (dicke) Bikonvexlinse, da es einen höheren Brechungsindex hat als die umgebende Luft. Bei einer Konvexlinse entsteht ein umgekehrtes reelles Bild, wenn die Gegenstandsweite größer ist als die Brennweite (sich das Objekt hinter der Brennweite der Linse befindet).

Befindet sich das Objekt innerhalb der Brennweite, so entsteht ein vergrößertes, virtuelles und aufrechtes Bild. Das wird bei einer Lupe ausgenutzt.

Antworten 1 & 5 sind korrekt!

Ein virtuelles Bild ist eine optische Abbildung, die an dem Ort wo man sie sieht, nicht auf einem Schirm abgebildet werden kann.

Ein Beispiel hierfür ist ein ebener Spiegel: Das Bild entsteht in gleichem Abstand, in dem sich der Spiegel zum Objekt befindet, allerdings hinter dem Spiegel. Vom Ort, an dem sich das virtuelle Bild befindet, gehen keine Lichtstrahlen aus - es scheint aber so. Da das Bild hinter dem Spiegel nicht eingefangen werden kann, handelt es sich um ein virtuelles Bild.

Das menschliche Auge nimmt den Strahlengang des Lichts als geradlinig an, auch wenn das Licht beim Durchgang durch optische Medien gebrochen wird.

Daher können die Lichtstrahlen in der Abbildung geradlinig verlängert werden, bis sie an einem Punkt zusammenfallen. Das ist in der Abbildung gezeigt, wobei die geradlinige Verlängerung des gebrochenen Strahls (in rot) gestrichelt eingezeichnet ist. Damit wird angezeigt, dass der tatsächliche Strahlengang ein anderer ist.

Da an der Stelle, an der sich die Strahlen zu treffen scheinen, der Lichtstrahl nicht wirklich auftrifft (sondern vorher gebrochen wird), kann das Bild an dieser Stelle nicht eingefangen werden. Solche optischen Abbildungen werden als virtuelle Bilder bezeichnet.

Wie weiters zu erkennen ist, ist die Abbildung aufrecht und im Gegensatz zum Objekt vergrößert.

Wird ein Gegenstand durch eine Sammellinse (Lupe) betrachtet, der sich innerhalb deren Brennweite befindet, so entsteht ein vergrößertes virtuelles Bild. Das Bild ist deshalb virtuell, weil sich der Zentralstrahl (in der Abbildung grün) nicht mit dem Brennpunktstrahl selber trifft, sondern nur mit seiner geradlinigen Verlängerung (gestrichelte Linie). Der Lichtstrahl wird vom menschlichen Auge als geradlinig angenommen, es kann an der Stelle des virtuellen Bildes aber kein Schirm das Licht einfangen.

Es gilt die Linsengleichung:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\)

Mit \(g=\frac{3}{5}\,f\) also:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{5}{3\,f}\)

\(\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{5}{3\,f} = -\frac{2}{3\,f} \qquad \Rightarrow \qquad b = -\frac{3}{2}\,f\)

\(f = 4\, cm\) eingesetzt ergibt:

\(b = -\frac{3}{2}\cdot 4\, cm = -6\,cm\)

Das negative Vorzeichen kommt daher, dass sich das Bild auf der gleichen Seite der Linse befindet wie der Gegenstand (in diesem Fall beide links, Abbildung oben).

Wird ein Gegenstand durch eine Sammellinse (Lupe) betrachtet, der sich innerhalb deren Brennweite befindet, so entsteht ein vergrößertes virtuelles Bild. Das Bild ist deshalb virtuell, weil sich der Zentralstrahl (in der Abbildung grün) nicht mit dem Brennpunktstrahl selber trifft, sondern nur mit seiner geradlinigen Verlängerung (gestrichelte Linie). Der Lichtstrahl wird vom menschlichen Auge als geradlinig angenommen, es kann an der Stelle des virtuellen Bildes aber kein Schirm das Licht einfangen.

Zunächst bestimmen wir den Ort, an dem das Bild entsteht, die Bildweite b.

Es gilt die Linsengleichung:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\)

Mit \(g=\frac{2}{3}\,f\) also:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{3}{2\,f}\)

\(\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{3}{2\,f} = -\frac{1}{2\,f} \qquad \Rightarrow \qquad b = -2\,f\)

Das negative Vorzeichen kommt daher, dass sich das Bild auf der gleichen Seite der Linse befindet wie der Gegenstand (in diesem Fall beide links, Abbildung oben).

Der Gegenstand sowie dessen Abbildung entsprechen den Gegenkatheten rechtwinkliger Dreiecke. Die Winkel in diesen Dreiecken sind alle gleich, der Zentralstrahl verläuft entlang der Hypothenuse, die unter dem Winkel \(\alpha\) zur optischen Achse (Waagrechte) geneigt ist. Es handelt sich daher um ähnliche Dreiecke, der Strahlensatz ist anwendbar. Demnach ist das Seitenverhältnis in beiden Dreiecken für einander entsprechende Seiten das gleiche (also etwa Gegenkathe zu Ankathete beider Dreiecke).

Es gilt daher:

\(\frac{G}{g} = \frac{B}{b}\)

mit den Ankatheten g & b sowie den Gegenkatheten G & B.

Durch Umformen erhalten wir:

\(\frac{G}{g} = \frac{B}{b} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{G}{B} = \frac{g}{b}\)

Das Verhältnis der Größen von Objekt und Abbild ist also das selbe wie das von deren Abständen zur Linse (Gegenstandsweite und Bildweite).

Bis auf die Bildgröße sind alle Werte bekannt - das negative Vorzeichen der Bildweite kann vernachlässigt werden, es geht hier nur um den Betrag. Wir erhalten damit:

\(B = \frac{G\cdot b}{g} = \frac{G\cdot 2\,f}{\frac{2}{3}\,f} = \frac{6\,G}{2} = 3\,G\)

Das Bild ist also drei mal so groß wie der Gegenstand.

\(B = 3\,G = 9\,cm\)

Damit beim Betrachten durch eine Sammellinse (Lupe) ein vergrößertes Bild erzeugt wird, muss sich der betrachtete Gegenstand innerhalb der Brennweite der Linse befinden. Es entsteht ein vergrößertes virtuelles Bild. Das Bild ist deshalb virtuell, weil sich der Zentralstrahl (in der Abbildung grün) nicht mit dem Brennpunktstrahl selber trifft, sondern nur mit seiner geradlinigen Verlängerung (gestrichelte Linie). Der Lichtstrahl wird vom menschlichen Auge als geradlinig angenommen, es kann an der Stelle des virtuellen Bildes aber kein Schirm das Licht einfangen.

Der Gegenstand sowie dessen Abbildung entsprechen den Gegenkatheten rechtwinkliger Dreiecke. Die Winkel in diesen Dreiecken sind alle gleich, der Zentralstrahl verläuft entlang der Hypothenuse, die unter dem Winkel \(\alpha\) zur optischen Achse (Waagrechte) geneigt ist. Es handelt sich daher um ähnliche Dreiecke, der Strahlensatz ist anwendbar. Demnach ist das Seitenverhältnis in beiden Dreiecken für einander entsprechende Seiten das gleiche (also etwa Gegenkathe zu Ankathete beider Dreiecke).

Es gilt daher:

\(\frac{G}{g} = \frac{B}{b}\)

mit den Ankatheten g & b sowie den Gegenkatheten G & B.

Durch Umformen erhalten wir:

\(\frac{G}{g} = \frac{B}{b} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{B}{G} = \frac{b}{g}\)

Das Verhältnis der Größen von Objekt und Abbild ist also das selbe wie das von deren Abständen zur Linse (Gegenstandsweite und Bildweite).

Da sich Gegenstand und Bild auf der selben Seite der Linse (in diesem Fall links) befinden, muss für die Bildweite b ein negatives Vorzeichen angenommen werden!

Es soll nun die Bildgröße B der doppelten Gegenstandsgröße G entsprechen: \(B = 2\cdot G\). Da sich die Größen von Gegenstand und Bild zueinander gleich verhalten, wie deren Abstände zur Linse, muss unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens der Bildweite \(b = -2\,g\) gelten.

Es gilt die Linsengleichung:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\)

Um die Bildweite zu erhalten, setzen wir \(b = -2\, g\) ein:

\(\frac{1}{f} = -\frac{1}{2\,g} + \frac{1}{g} = \frac{1}{2\,g}\qquad \Rightarrow \qquad g = \frac{1}{2}\,f\)

Der Gegenstand muss sich daher genau in der Mitte zwischen der Linse und deren Brennweite befinden, damit das Bild die doppelte Größe hat wie der Gegenstand.