\(PS\) ist eine noch immer verwendete aber veraltete Einheit für die Leistung \(P\).

Eine Pferdestärke \(1 PS\) ist jene Leistung \(P\), die aufgebracht werden muss um eine Masse \(m=75\,kg\) in einer Sekunde \(t=1\,s\) um einen Meter \(h=1\,m\) gegen das Schwerefeld der Erde zu heben. Dafür muss die Arbeit \(W=m\cdot g \cdot h\) erbracht werden.

Wir ersetzen \(\frac{h}{t}\) mit der Geschwindigkeit \(v=\frac{h}{t}=\frac{1\,m}{1\,s}=1\,\frac{m}{s}\) und damit ist

die Leistung \(P=\frac{W}{t}=m\cdot g\cdot v=75\,kg \cdot 9,80665\,\frac{m}{s^2}\cdot 1\,\frac{m}{s}=735.49875\,\frac{kg\cdot m^2}{s^3}=735.49875\,W\)

Die Lichtgeschwindigkeit \(c\) ist \(c=299\,792\,458\,\frac{ m}{s}=299\,792,458\,\frac{ km}{s}=1\,079\,252\,848,8\,\frac{km}{h}\).

Quelle: Statistik Austria

Berechne zuerst die Zeit t in Sekunden (s):

\(t\, = \, \frac{Weg \; s}{c}\, = \, \frac{4\, \cdot \, 10^{16}\, m}{3\, \cdot \, 10^{8}\, m\, s^{-1}}\,= \, \frac{4}{3}\, \cdot \, 10^{8}\, s\)

Weiter ist ein Jahr (1a):

\(1\, a\, = \, 365\, \cdot \, 86400\, s\, \approx \, 3,2\, \cdot \, 10^{7}\, s\)

Also ist weiter:

\(t\, = \, \frac{4}{3}\, \cdot \, 10^{8}\, s = \, \frac{4}{3}\,\cdot \, \frac{10}{3,2} \, \cdot \, \left ( 3,2\, \cdot \, 10^{7}\, s \right )\, =\, \frac{4}{3}\,\cdot \,\frac{10}{3,2}\, \cdot \, 1a\)

\(t \, \approx \, 4,2\, a\)

Also ist Proxima Centauri ca. 4,2 Lichtjahre (Ly = Lightyears) entfernt.

Möglicher Lösungsansatz: In Österreich gibt es 2 Profi-Ligen mit jeweils 10 Mannschaften. Jede Mannschaft besteht aus ca. 30 Spielern (inkl. Ersatzspieler). Somit gibt es in Österreich schätzungsweise \(2 \times 10 \times 30 = 600\) Profifußballer. Österreich hat um die 8 Millionen Einwohner. In etwa die Hälfte davon sind Kinder oder Senioren. Also gibt es in Österreich ca. 4 Millionen Erwerbstätige. Somit ergibt sich ein Verhältnis von \(600 : 4.000.000 = 6 : 40.000 \approx 1 : 10.000\)

Druck ist definiert als Kraft pro Fläche

\(p = \frac{F}{A}\)

Betrachtet man den Luftdruck als die Gravitationskraft \(F = mg\) (mit der Schwerebeschleunigung \(g = 9,81\frac{m}{s^2}\)), die die Masse unserer Atmosphäre auf die Erdoberfläche ausübt, so kann man die Atmosphärenmasse abschätzen.

Die Erdoberfläche lässt sich mit dem Radius \(R = 6371km\) als Kugeloberfläche annähern:

\(A = 4\pi R^2 = 5,1\cdot 10^{14}m^2\)

Setzt man in die obige Formel ein, kann man nach der Masse auflösen

\(p = \frac{mg}{A}\)

\(m = \frac{pA}{g} = 5,27\cdot10^{18}kg\)

Schätzen wir zunächst die Abmaße einer Badewanne "normaler" Größe. Die Länge \(l\) könnte ca. 1,5m sein, da in der Regel etwas kürzer als eine Person. Die Breite \(b\) in etwa 50cm, und die Tiefe \(t\) etwas weniger als die Breite; sagen wir ca. 40cm. Ein Liter ist eine Volumeneinheit und ist definiert als ein Kubikdezimeter \((dm)^3\). Zur groben Schätzung können wir das Volumen einer Wanne einfach durch das Volumen eines Quaders nähern, d.h. mit der Formel \(V=l \times b \times t\). Umgerechnet in Dezimeter erhalten wir also für die obigen Schätzwerte \(V= 15 dm \times 5 dm \times 4dm = 300 (dm)^3=300 Ltr.\) Durch die Abweichung vom Quader (wegen der Abschrägungen und Rundungen) verringert sich dieses Volumen in Wirklichkeit noch etwas.

Bei Säugetieren gilt die Faustregel, dass die Herzfrequenz umso niedriger ist, je größer das Tier ist.