Einerseits lassen sich die Koordinaten \(x\prime_A\) und \(y\prime_A\) direkt aus dem Diagramm ablesen. Vom Ursprung des Koordinatensystems \(S2\) aus sind es \(3\mathrm{\ Einheiten}\) nach links \(\Rightarrow \qquad x\prime_A=-3\) und \(1\mathrm{\ Einheit}\) nach oben \(\Rightarrow \qquad y\prime_A=1\).

Aus geometrischen Überlegungen ist ersichtlich, dass gelten muss (siehe Grafik):

\(x\prime = x - 5\)

\(y\prime=y-2\)

Die Umrechnung von Kugel- in kartesische Koordinaten lautet

\(x = r \cdot sin(\theta) \cdot cos(\varphi)\)

\(y = r \cdot sin(\theta) \cdot sin(\varphi)\)

\(z = r \cdot cos(\theta)\)

\(r\) ist der Abstand des Punktes \(P\) vom Ursprung \(O\).

\(\theta\) ist der Polarwinkel, der den Winkel zwischen \(z\)-Achse und der Strecke \(OP\) angibt.

\(\varphi\) ist der Azimutwinkel, der den Winkel zwischen der \(x\)-Achse und der Orthogonalprojektion der Strecke \(OP\) in die \(x\)-\(y\)-Ebene angibt.

Die Funktion ist eine Parabel der Form

\(f(x) = a \cdot x^2 + b\)

Aus der Grafik erkennen wir, dass an der Stelle \(x = 0\) gilt:

\(f(0) = 3\)

Durch Vergleich mit der allgemeinen Funktionsgleichung an dieser Stelle erhalten wir

\(b = 3\)

Aus der Grafik erkennen wir, dass an der Stelle \(x = 1\) gilt:

\(f(1) = -1\)

Durch Vergleich erhalten wir

\(a \cdot 1^2 + 3 = -1 \Rightarrow a = -4\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(2\cdot4^2+6\cdot7\cdot2+9=125\)

Die Umrechnung von Polar- zu kartesischen Koordinaten erfolgt durch

\(x = r\cdot cos(\varphi)\)

\(y = r\cdot sin(\varphi)\)

\(r\) ist hierbei der Abstand des Punktes vom Ursprung und \(\varphi\) der Polarwinkel (auch Azimutwinkel genannt).

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(f(x)=y=k\cdot x+d\).

Die Steigung ist  \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\), d.h für die Punkte \(A=(2,8)\) und \(B=(6,4)\) ist in Richtung A nach B \(\Delta x=-4\) und \(\Delta y=4\) und somit \(k=\frac{4}{-4}=-1\). In die Funktionsgleichung eingesetzt \(y=-x+d\)

Jetzt muss noch \(d\) der y-Achsen-Abschnitt ermittelt werden, indem einer der Punkte \(A\) oder \(B\) eingesetzt wird.
Mit \(A\) mit \(x_A=2, y_A=8\rightarrow 8=-2+d\rightarrow d=10\)

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(f(x)=y=k\cdot x+d\).

Die Steigung ist  \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\), d.h für die Punkte \(A=(-1,-5)\) und \(B=(3,3)\) ist in Richtung A nach B \(\Delta x=4\) und \(\Delta y=8\) und somit \(k=\frac{8}{4}=2\). In die Funktionsgleichung eingesetzt \(y=2\cdot x+d\)

Jetzt muss noch \(d\) der y-Achsen-Abschnitt ermittelt werden, indem einer der Punkte \(A\) oder \(B\) eingesetzt wird.
Mit \(B\) mit \(x_B=3, y_B=3\rightarrow 3=2\cdot 3+d\rightarrow d=-3\)

Die Umrechnung von Zylinder- in kartesische Koordinaten lautet

\(x = r\cdot cos(\varphi)\)

\(y = r\cdot sin(\varphi)\)

\(z = z\)

\(r\) ist hierbei der Abstand des Punktes von der \(z\)-Achse. \(\varphi\) ist der Polarwinkel, wobei auf die Einheit des Winkels geachtet werden muss (Grad vs. Radiant)