Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Impuls, Kräfte und Beschleunigung.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Radfahrerin bremst vor einer Kreuzung mit konstanter Bremskraft von $v=25\,\frac{km}{ h}$ bis zum Stillstand. Sie braucht dafür einen Bremsweg von $24m$. Sie wiegt $m_P=65\,kg$ und ihr Rad $m_R=15\,kg$. Welche Beschleunigung $a$ erfährt sie dabei? Nr. 2012
	$a=0,6\frac{m}{s^2}$
	$a=0,8\frac{m}{s^2}$
	$a=1,0\frac{m}{s^2}$
	$a=1,2\frac{m}{s^2}$
	$a=1,4\frac{m}{s^2}$
Lösungsweg Die allgemeine Ortsgleichung $s(t)$ eines Objektes, auf das die Beschleunigung $a$ wirkt,mit dem Anfangsort $s_0$ und der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ lautet $s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}$. Die Beschleunigung $a$ der Radfahrerin ist $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$, wo $\Delta v=v_2-v_1$ und $\Delta t=t_2-t_1$. Mit $v_1=25\,\frac{km}{h}=6,9\bar{4}\,\frac{m}{s}$, $v_2=0\,\frac{m}{s}$, $t_1=0$ und $t_2=t$ mit $t$ ist jener Zeitpunkt an dem die Fahrradfahrerin zum Stillstand kommt und damit am Ende des Bremsweges $s(t)=24$ angekommen ist. Mit $s_0=0$ und $a=\frac{-v_1}{t}$ müssen wir die Gleichung $24=v_1\cdot t-\frac{v_1}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_1 \cdot t - \frac{v_1}{2}\cdot t=\frac{v_1}{2}\cdot t$ nach $t$ auflösen und erhalten $t=\frac{2\cdot 24\,m}{v_1}=\frac{48\,m}{6,9\bar{4}\frac{m}{s}}=6,912\,s$. Daraus folgt $a=\frac{-v_1}{t}=\frac{-6.9\bar{4}\frac{m}{s}}{6,912\,s}=1,0047\,\frac{m}{s^2}$.

5 erreichbare Punkte

Die Geschwindigkeit(sfunktion) $v(t)$ ist die erste Ableitung der Ortsfunktion $x(t)$ nach der Zeit $t$, d.h. $v(t)= \frac{d}{dt} x(t)$. Gegeben sei die Ortsfunktion $x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ $, welche ein gleichmäßig beschleunigtes Objekt beschreibt. Bestimme für dieses Beispiel die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$. Nr. 1553
	$v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} + 100m$
	$v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $
	$v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $
Lösungsweg Die Funktion $x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ $ enthält 3 Terme: Der erste wird durch differenzieren nach $t$ zu $4\cdot2 \frac{m}{s^2}t$, der zweite zu $-32 \frac{m}{s}$, und der letzte verschwindet (weil zeitunabhänig). Somit erhält man insgesamt $v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $ $

3 erreichbare Punkte

Impulserhaltung: Ein Ball $(m_1=0,5kg)$ fliegt mit einer Geschwindigkeit von $v=20\frac ms$ in die Arme des lotrecht hochgesprungenen Torwarts $(m_2=75kg)$, der ihn festhält. Mit welcher Geschwindigkeit $\bar{v}$ fliegt der Torwart nach hinten? Nr. 2068
	$\bar{v}=0,05\frac ms$
	$\bar{v}=0,09\frac ms$
	$\bar{v}=0,13\frac ms$
	$\bar{v}=0,19\frac ms$
	$\bar{v}=0,24\frac ms$
Lösungsweg Das Fangen und Festhalten des Balles durch den Torwart entspricht einem inelastischen Stoß. Für diesen gilt allgemein, dass die Summe der Impulse vor $(p_i)$ und nach $(\bar{p}_i)$ dem Stoß muss gleich groß sein. $\sum_i p_i=\sum_i \bar{p}_i$. Für $i=1,2$ bedeutet dass $m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2=(m_1 + m_2) \cdot \bar{v}$, wo $\bar{v}$ die Geschwindigkeit beider Objekte nach dem Stoß ist: $\bar{v}=\frac{m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1+m_2}$. Da die Geschwindigkeit des Torwarts vor dem Stoß $v_2=0$, ist $\bar{v}=\frac{m_1\cdot v_1 }{m_1+m_2}=\frac{0,5 \,kg \cdot 20\,\frac{m}{s} }{0,5\,kg+75\,kg}=\frac{10 \,kg\cdot \frac{m}{s}}{75,5\,kg}=0,132\,\frac{m}{s}$

5 erreichbare Punkte

In einem Hafen steht ein großes Containerschiff ($m_1=400000\,t$) neben einem Schlepper ($m_1=20\,t$). Der Abstand ihrer Schwerpunkte beträgt $35\,m$. Wie groß ist die Schwerkraft die zwischen den beiden Schiffen wirkt? Nr. 2066
	$F=0,003N$
	$F=0,052N$
	$F=0,436N$
	$F=3,827N$
	$F=12,917N$
Lösungsweg Die Kraft zwischen zwei Objekten aufgrund der Gravitation wird durch dass Newtonsche Graviationsgesetz $F_{G}=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$. $m_1$ und $m_2$ sind die Massen der zwei Objekte, $r$ ist der Abstand der Schwerpunkte der zwei Objekte und $G$ ist die Gravitationskonstante mit dem Wert $G=6,67408 \cdot 10^{-11}\,\frac{m^3}{kg \cdot s^2}$. Die Massen der Schiffe in SI-Einheiten $m_1=400\,000\,t=4\cdot 10^{8}\,kg$ und $m_2=20\,t=2\cdot 10^4\,kg$ eingesetzt mit $r=35\,m$ ergibt $F_G=6,67408\cdot 10^{-11} \frac{4\cdot 10^{8}\cdot 2 \cdot 10^4}{35^2}=0,435858\,N$.

5 erreichbare Punkte

Sie beschleunigen aus dem Stillstand für eine halbe Minute mit der Beschleunigung $a= 2,0 \frac{m}{s^2}$. Wie schnell sind Sie nun? Nr. 1551
	$v= 1,0 \frac{m}{s}$
	$v= 1,0 \frac{km}{h}$
	$v= 60,0 \frac{m}{s}$
	$v= 60,0 \frac{km}{h}$
Lösungsweg $v=a \Delta t = 2,0 \frac{m}{s^2} \cdot 30 s =60 \frac{m}{s}$

4 erreichbare Punkte

Ein Mann bringe exakt $m = 100 [kg]$ auf die Waage. Die Gewichtskraft, die dabei auf ihn einwirkt, unterscheidet sich je nachdem ob er sich auf der Erd- oder der Mondoberfläche befindet. In welchem Verhältnis stehen beide Kräfte zueinander (Mondmasse: ein Einundachtzigstel der Erdmasse $M_{M}=\frac{M_{E}}{81}$; Mondradius: ca. ein drittel des Erdradius $r_{M}=0,27\cdot r_{E}$)? Nr. 4174
	Die Gewichtskraft auf der der Mondoberfläche ist ca. doppelt so groß wie auf der Erdoberfläche.
	Die Gewichtskraft auf der der Mondoberfläche ist ca. halb so groß wie auf der Erdoberfläche.
	Die Gewichtskraft auf der der Mondoberfläche ist ca. ein Drittel derer auf der Erdoberfläche.
	Die Gewichtskraft auf der der Mondoberfläche ist ca. ein Fünftel derer auf der Erdoberfläche.
	Die Gewichtskraft auf der der Mondoberfläche ist ca. ein Zehntel derer auf der Erdoberfläche.
Lösungsweg Die Gewichtskraft in Radialrichtung lautet $\vec{F}=\frac{GmM}{r^{2}}\vec{e}_{r}$, wobei $\vec{e}_{r}=\frac{\vec{r}}{r}$ der in Radialrichtung weisende Einheitsvektor ist. Der zugehörige richtungsunabhängige skalare Kraftausdruck lautet folglich $F=\sqrt{\vec{F}\vec{F}}=\frac{GmM}{r^{2}}$. Die jeweiligen skalaren Gewichtskräfte auf der Erde und am Mond lauten daher $F_{E}=\frac{GmM_{E}}{r_{E}^{2}}$ und $F_{M}=\frac{GmM_{M}}{r_{M}^{2}}$. Für das Verhältnis der Kräfte gilt folglich $\frac{F_{M}}{F_{E}}=\frac{M_{M}r_{E}^{2}}{M_{E}r_{M}^{2}}=\frac{1}{81\cdot(0,27)^{2}}\approx0,17$. Die Gewichtskraft auf der Mondoberfläche ist folglich etwas geringer als ein Fünftel derer auf der Erdöberfläche.

5 erreichbare Punkte

Ein Auto mit einer Masse $m=1,4\,t$ braucht $t=9,8\,s$ um aus dem Stand die finale Geschwindigkeit $v=130\,\frac{km}{h}$ zu erreichen. Welche Kraft muss der Motor durchschnittlich dafür aufbringen? Nr. 3130
	$F=5,158kN$
	$F=515N$
	$F=51587N$
	$F=51,8kN$
Lösungsweg $F=m\cdot a$ Die Geschwindigkeit umgeformt $v=130\,\frac{km}{h}\rightarrow 36.1\,\frac{m}{s}$ $F=1400\cdot \frac{36,1}{9,8}=5158,7N$

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt aus dem Stillstand zu einer Geschwindigkeit $v=180\,\frac{km}{h}$ in einer Zeit von $t=4,8\,s$. Wenn es nun mit der selben gleichmäßigen Beschleunigung $a$ für eine Zeit $t=10,5\,s$ beschleunigt, wie gross ist die Momentangeschwindigkeit $v$ des Objektes zu diesem Zeitpunkt? Nr. 3112
	$v=30,38 m/s$
	$v=109,38 \,\frac{m}{s}$
	$v=109,38 \,\frac{km}{h}$
	$v=393,75\,\frac{km}{h}$
Lösungsweg $180\, \frac{km}{h}=50\,\frac{m}{s}$ $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{50-0}{4,8-0}$=10,42m/s^2 \) $\rightarrow \text{nach}\qquad t=10,5\,s \qquad\text{ist}\qquad v=109,38\,\frac{m}{s}=393,75\,\frac{km}{h}$

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Eine Radfahrerin bremst vor einer Kreuzung mit konstanter Bremskraft von \(v=25\,\frac{km}{ h}\) bis zum Stillstand. Sie braucht dafür einen Bremsweg von \(24m\). Sie wiegt \(m_P=65\,kg\) und ihr Rad \(m_R=15\,kg\). Welche Beschleunigung \(a\) erfährt sie dabei? Nr. 2012
	\(a=0,6\frac{m}{s^2}\)
	\(a=0,8\frac{m}{s^2}\)
	\(a=1,0\frac{m}{s^2}\)
	\(a=1,2\frac{m}{s^2}\)
	\(a=1,4\frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg Die allgemeine Ortsgleichung \(s(t)\) eines Objektes, auf das die Beschleunigung \(a\) wirkt,mit dem Anfangsort \(s_0\) und der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) lautet \(s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}\). Die Beschleunigung \(a\) der Radfahrerin ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), wo \(\Delta v=v_2-v_1\) und \(\Delta t=t_2-t_1\). Mit \(v_1=25\,\frac{km}{h}=6,9\bar{4}\,\frac{m}{s}\), \(v_2=0\,\frac{m}{s}\), \(t_1=0\) und \(t_2=t\) mit \(t\) ist jener Zeitpunkt an dem die Fahrradfahrerin zum Stillstand kommt und damit am Ende des Bremsweges \(s(t)=24\) angekommen ist. Mit \(s_0=0\) und \(a=\frac{-v_1}{t}\) müssen wir die Gleichung \(24=v_1\cdot t-\frac{v_1}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_1 \cdot t - \frac{v_1}{2}\cdot t=\frac{v_1}{2}\cdot t\) nach \(t\) auflösen und erhalten \(t=\frac{2\cdot 24\,m}{v_1}=\frac{48\,m}{6,9\bar{4}\frac{m}{s}}=6,912\,s\). Daraus folgt \(a=\frac{-v_1}{t}=\frac{-6.9\bar{4}\frac{m}{s}}{6,912\,s}=1,0047\,\frac{m}{s^2}\).

Die Geschwindigkeit(sfunktion) \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) nach der Zeit \(t\), d.h. \(v(t)= \frac{d}{dt} x(t)\). Gegeben sei die Ortsfunktion \(x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ \), welche ein gleichmäßig beschleunigtes Objekt beschreibt. Bestimme für dieses Beispiel die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). Nr. 1553
	\(v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} + 100m\)
	\(v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} \)
	\(v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} \)
Lösungsweg Die Funktion \(x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ \) enthält 3 Terme: Der erste wird durch differenzieren nach \(t\) zu \(4\cdot2 \frac{m}{s^2}t\), der zweite zu \(-32 \frac{m}{s}\), und der letzte verschwindet (weil zeitunabhänig). Somit erhält man insgesamt \(v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $ \)

Impulserhaltung: Ein Ball \((m_1=0,5kg)\) fliegt mit einer Geschwindigkeit von \(v=20\frac ms\) in die Arme des lotrecht hochgesprungenen Torwarts \((m_2=75kg)\), der ihn festhält. Mit welcher Geschwindigkeit \(\bar{v}\) fliegt der Torwart nach hinten? Nr. 2068
	\(\bar{v}=0,05\frac ms\)
	\(\bar{v}=0,09\frac ms\)
	\(\bar{v}=0,13\frac ms\)
	\(\bar{v}=0,19\frac ms\)
	\(\bar{v}=0,24\frac ms\)
Lösungsweg Das Fangen und Festhalten des Balles durch den Torwart entspricht einem inelastischen Stoß. Für diesen gilt allgemein, dass die Summe der Impulse vor \((p_i)\) und nach \((\bar{p}_i)\) dem Stoß muss gleich groß sein. \(\sum_i p_i=\sum_i \bar{p}_i\). Für \(i=1,2\) bedeutet dass \(m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2=(m_1 + m_2) \cdot \bar{v}\), wo \(\bar{v}\) die Geschwindigkeit beider Objekte nach dem Stoß ist: \(\bar{v}=\frac{m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1+m_2}\). Da die Geschwindigkeit des Torwarts vor dem Stoß \(v_2=0\), ist \(\bar{v}=\frac{m_1\cdot v_1 }{m_1+m_2}=\frac{0,5 \,kg \cdot 20\,\frac{m}{s} }{0,5\,kg+75\,kg}=\frac{10 \,kg\cdot \frac{m}{s}}{75,5\,kg}=0,132\,\frac{m}{s}\)

In einem Hafen steht ein großes Containerschiff (\(m_1=400000\,t\)) neben einem Schlepper (\(m_1=20\,t\)). Der Abstand ihrer Schwerpunkte beträgt \(35\,m\). Wie groß ist die Schwerkraft die zwischen den beiden Schiffen wirkt? Nr. 2066
	\(F=0,003N\)
	\(F=0,052N\)
	\(F=0,436N\)
	\(F=3,827N\)
	\(F=12,917N\)
Lösungsweg Die Kraft zwischen zwei Objekten aufgrund der Gravitation wird durch dass Newtonsche Graviationsgesetz \(F_{G}=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\). \(m_1\) und \(m_2\) sind die Massen der zwei Objekte, \(r\) ist der Abstand der Schwerpunkte der zwei Objekte und \(G\) ist die Gravitationskonstante mit dem Wert \(G=6,67408 \cdot 10^{-11}\,\frac{m^3}{kg \cdot s^2}\). Die Massen der Schiffe in SI-Einheiten \(m_1=400\,000\,t=4\cdot 10^{8}\,kg\) und \(m_2=20\,t=2\cdot 10^4\,kg\) eingesetzt mit \(r=35\,m\) ergibt \(F_G=6,67408\cdot 10^{-11} \frac{4\cdot 10^{8}\cdot 2 \cdot 10^4}{35^2}=0,435858\,N\).

Sie beschleunigen aus dem Stillstand für eine halbe Minute mit der Beschleunigung \(a= 2,0 \frac{m}{s^2}\). Wie schnell sind Sie nun? Nr. 1551
	\(v= 1,0 \frac{m}{s}\)
	\(v= 1,0 \frac{km}{h}\)
	\(v= 60,0 \frac{m}{s}\)
	\(v= 60,0 \frac{km}{h}\)
Lösungsweg \(v=a \Delta t = 2,0 \frac{m}{s^2} \cdot 30 s =60 \frac{m}{s}\)

Ein Auto mit einer Masse \(m=1,4\,t\) braucht \(t=9,8\,s\) um aus dem Stand die finale Geschwindigkeit \(v=130\,\frac{km}{h}\) zu erreichen. Welche Kraft muss der Motor durchschnittlich dafür aufbringen? Nr. 3130
	\(F=5,158kN\)
	\(F=515N\)
	\(F=51587N\)
	\(F=51,8kN\)
Lösungsweg \(F=m\cdot a\) Die Geschwindigkeit umgeformt \(v=130\,\frac{km}{h}\rightarrow 36.1\,\frac{m}{s}\) \(F=1400\cdot \frac{36,1}{9,8}=5158,7N\)

Ein Objekt beschleunigt aus dem Stillstand zu einer Geschwindigkeit \(v=180\,\frac{km}{h}\) in einer Zeit von \(t=4,8\,s\). Wenn es nun mit der selben gleichmäßigen Beschleunigung \(a\) für eine Zeit \(t=10,5\,s\) beschleunigt, wie gross ist die Momentangeschwindigkeit \(v\) des Objektes zu diesem Zeitpunkt? Nr. 3112
	\(v=30,38 m/s\)
	\(v=109,38 \,\frac{m}{s}\)
	\(v=109,38 \,\frac{km}{h}\)
	\(v=393,75\,\frac{km}{h}\)
Lösungsweg \(180\, \frac{km}{h}=50\,\frac{m}{s}\) \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{50-0}{4,8-0}\)=10,42m/s^2 \) \(\rightarrow \text{nach}\qquad t=10,5\,s \qquad\text{ist}\qquad v=109,38\,\frac{m}{s}=393,75\,\frac{km}{h}\)

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