Die Gewichtskraft in Radialrichtung lautet

\(\vec{F}=\frac{GmM}{r^{2}}\vec{e}_{r}\),

wobei \(\vec{e}_{r}=\frac{\vec{r}}{r}\) der in Radialrichtung weisende Einheitsvektor ist. Der zugehörige richtungsunabhängige skalare Kraftausdruck lautet folglich

\(F=\sqrt{\vec{F}\vec{F}}=\frac{GmM}{r^{2}}\).

Die jeweiligen skalaren Gewichtskräfte auf der Erde und am Mond lauten daher

\(F_{E}=\frac{GmM_{E}}{r_{E}^{2}}\) und \(F_{M}=\frac{GmM_{M}}{r_{M}^{2}}\).

Für das Verhältnis der Kräfte gilt folglich

\(\frac{F_{M}}{F_{E}}=\frac{M_{M}r_{E}^{2}}{M_{E}r_{M}^{2}}=\frac{1}{81\cdot(0,27)^{2}}\approx0,17\).

Die Gewichtskraft auf der Mondoberfläche ist folglich etwas geringer als ein Fünftel derer auf der Erdöberfläche.

Damit das Objekt in der Bahn bleibt, muss die Zentrifugalkraft \(F_Z\) mindestens gleich der Schwerkraft \(F_g\) sein. Für den höchsten Punkt der Schleife soll also gelten:

\(\frac{m\cdot v^2}{r} = m\cdot g\)

Daraus erhält man die benötigte Geschwindigkeit:

\(v = \sqrt{g\cdot r}\)

Das Objekt hat anfänglich eine potentielle Energie \(E_{pot} = m\cdot g\cdot h\). Am höchsten Punkt der Schleife befindet es sich auf einer Höhe von \(2\cdot r\), dementsprechend wurde ein Teil seiner Energie in kinetische Energie umgewandelt:

\(E_{kin} = \frac{m\cdot v^2}{2} = m\cdot g\cdot (h - 2\cdot r)\)

Diese gleichung kann man nun nach \(h\) auflösen:

\(h = \frac{v^2}{2\cdot g} + 2\cdot r\)

Schließlich kann man den oben erhaltenen Ausdruck für die Geschwindigkeit \(v\) in die Formel für die Höhe \(h\) einsetzen und erhält:

\(h = \frac{5}{2}\cdot r\)

Zur Berechnung der Kraft gilt das Newtonsche Gravitationsgesetzt:

\(F_1=F_2=G \cdot \(\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\)\)

G...Gravitationskonstante \(6,67 \cdot 10^{-11} \(\frac{m^3}{kg \cdot s^2}\)\)

\(v=a \Delta t = 2,0 \frac{m}{s^2} \cdot 30 s =60 \frac{m}{s}\)

Die allgemeine Ortsgleichung \(s(t)\) eines Objektes, auf das die Beschleunigung \(a\) wirkt,mit dem Anfangsort \(s_0\) und der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) lautet \(s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}\).

Die Beschleunigung \(a\) des Radfahrers ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), wo \(\Delta v=v_2-v_1\) und  \(\Delta t=t_2-t_1\). Mit \(v_1=25\,\frac{km}{h}=6,9\bar{4}\,\frac{m}{s}\), \(v_2=0\,\frac{m}{s}\), \(t_1=0\) und \(t_2=t\) mit \(t\) ist jener Zeitpunkt an dem die Fahrradfahrerin zum Stillstand kommt und damit am Ende des Bremsweges \(s(t)=24\) angekommen ist.

Mit \(s_0=0\) und  \(a=\frac{-v_1}{t}\) müssen wir die Gleichung \(24=v_1\cdot t-\frac{v_1}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_1 \cdot t - \frac{v_1}{2}\cdot t=\frac{v_1}{2}\cdot t\) nach \(t\) auflösen und erhalten

\(t=\frac{2\cdot 24\,m}{v_1}=\frac{48\,m}{6,9\bar{4}\frac{m}{s}}=6,912\,s\)

Die Kraft \(F=m\cdot a\) ergibt mit den Angaben aus dem Beispiel, wobei

die Geschwindigkeit \(v=100\,\frac{km}{h}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\) ist,

\(F=1300\cdot\(\frac{27,\dot{7}}{5,6}\)=6448,41\,N\)

Der Impuls \(p\) ist folgendermaßendefiniert \(p=m\cdot v\).

Eingesetzt erigibt das für den Impuls des Objektes \(p=400\cdot 6,4=2560\,\frac{kg\cdot m}{s}\)

Umrechung der Einheiten: \(v_2=60\,\frac{km}{h}=16,\dot{6}\frac{m}{s}\) und \(v_1=30\,\frac{km}{h}=8,\dot{3}\frac{m}{s}\)

Die Beschleunigung des Fahrzeugs: \(a=\frac{16,\dot{6}-8,\dot{3}}{10}=0,83\frac{m}{s^2}\)

Für die Strecke \(s\) gilt:

\(s(t)=s_0+v_0\cdot t+\frac{1}{2} a\cdot t^2\)

wo \(s_0\) die Anfangsposition ist, in diesem Beispiel \(s_0=0\), und \(v_0\) ist die Anfangsgeschwindigkeit, die hier \(v_0=v_1=30\,\frac{km}{h}\) ist.

Das eingesetzt ergibt: \(s=125m\)