Ein sich auf einer waagrechten Bahn bewegendes Objekt, besitzt in Bezug auf die Bahnhöhe nur kinetische Energie (Bewegungsenergie)

\(W=m\cdot g \cdot h\)

1. Teil des Weges:

\(W_1=(69+12)\cdot 9,81 \cdot 875 \cdot 0,75=521462,813\,J\)

2. Teil des Weges:

\(W_2=69\cdot 9,81\cdot 875\cdot 0,25=148069,686\, J\)

Insgesamt: \(W=W_1+W_2= 669532,5\,J=669,53 \,kJ\)

\(E_{pot}=m \cdot g \cdot h\)

Das bedeutet: \(h=\(\frac{E_{pot}}{m \cdot g}\)\)

\(h=\(\frac{40810J}{1400kg \cdot 9,81\frac{m}{s^2}}\)=2,9714m\)

Die kinetische Energie is definiert wie folgt \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\)

Zuerst Umrechung auf SI-Einheiten: \(m=0,03\,g=3\cdot 10^{-5}\,kg\)

Somit ist die kinetische Energie des Tieres \(E_{kin}=\frac{3\cdot 10^{-5}\cdot8,8^2}{2}=0,00116\,J\)

Wenn wir keine Luftreibung oder ähnliche Effekte annehmen, wird die Energie des Bogen \(E_B\) völlig

in potentielle Energie umgewandelt \(E_{pot}=E_B\). D.h. \(m\cdot g\cdot h= E_B\)

Nach \(h\) aufgelöst und die Masse des Pfeils in SI-Einheiten \(m=0,1\,kg\) eingesetzt  \(h=\frac{E_B}{m\cdot g}=\frac{250\,J}{0,1\,kg\cdot 9,81\,\frac{m}{s^2}}=\frac{250\,\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}{0,981\,\frac{kg\cdot m}{s^2}}=254,852\,m\approx 255\,m\)

Die kinetische Energie ist definiert wie folgt \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\), diese Formel nach \(v\) umgeformt ist \(v=\sqrt{\frac{2\cdot E_{kin}}{m}}\).

Somit ist die Geschwindigkeit des Objektes:\(v=\sqrt{\frac{2\cdot 3976,8}{81}}=9,91\,\frac{m}{s}\)

Damit das Objekt in der Bahn bleibt, muss die Zentrifugalkraft \(F_Z\) mindestens gleich der Schwerkraft \(F_g\) sein. Für den höchsten Punkt der Schleife soll also gelten:

\(\frac{m\cdot v^2}{r} = m\cdot g\)

Daraus erhält man die benötigte Geschwindigkeit:

\(v = \sqrt{g\cdot r}\)

Das Objekt hat anfänglich eine potentielle Energie \(E_{pot} = m\cdot g\cdot h\). Am höchsten Punkt der Schleife befindet es sich auf einer Höhe von \(2\cdot r\), dementsprechend wurde ein Teil seiner Energie in kinetische Energie umgewandelt:

\(E_{kin} = \frac{m\cdot v^2}{2} = m\cdot g\cdot (h - 2\cdot r)\)

Diese gleichung kann man nun nach \(h\) auflösen:

\(h = \frac{v^2}{2\cdot g} + 2\cdot r\)

Schließlich kann man den oben erhaltenen Ausdruck für die Geschwindigkeit \(v\) in die Formel für die Höhe \(h\) einsetzen und erhält:

\(h = \frac{5}{2}\cdot r\)