Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von verrichteter Arbeit \(W\) zur zugeführten Wärme, in diesem Fall \(Q_{CD}\).

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt für die innere Energie \(U\):

\(U = Q + W\), wobei wir \(Q\) auf die Teilwärmen der 4 Schritte aufteilen können: \(Q = Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CD} + Q_{DA}\)

Für die Wärme gilt außerdem \(Q = T\Delta S\) (oder eigentlich in differentieller Form \(dQ = TdS\))

Da das System seinen Ausgangszustand nach einem Zyklus wieder erreicht, gilt \(\Delta U = 0\) und somit

\(Q + W = 0\) bzw. \(W = -Q\)

Berechnen wir nun die Wärmen für die einzelnen Schritte:

\(A\right B: \qquad\qquad\qquad Q_{AB} = T \Delta S = T_K (S_2 - S_1)\)

\(B\right C: \qquad\qquad\qquad Q_{BC} = 0\), da die Entropie Konstant bleibt und somit \(\Delta S = 0\)

\(C\right D: \qquad\qquad\qquad Q_{CD} = T_H (S_1 - S_2)\)

\(D\right A: \qquad\qquad\qquad Q_{DA} = 0\), analog zu \(B \right C\).

Unsere Arbeit beträgt somit

\(W = -Q = -Q_{AB} - Q_{CD} = -T_K (S_2 - S_1) - T_H(S_1 -S_2)\)

oder umgeformt

\(W = (T_H - T_K ) \cdot (S_2 - S_1)\)

Wie eingangs erwähnt ist der Wirkungsgrad

\(\epsilon = \frac{W}{Q_{CD}} = \frac{(T_H - T_K)\cdot (S_2 - S_1)}{T_H\cdot (S_2 - S_1)} = \frac{T_H - T_K}{T_H}\)

oder

\(\epsilon = 1 - \frac{T_K}{T_H}\)