\(a(t)=3t^2+8t-4\)

t wird gleich 5 gesetzt.

\(a(5)=3\cdot 5^2+40-4=111\)

Die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v\left(t\right)\).

\(a\left(t\right)=\frac{dv\left(t\right)}{dt}\)

Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=3\) ergibt das \(v(2)=8\cdot 3=24\,\frac{m}{s}\).

Um von der Bewegungsgleichung auf die Geschwindigkeitsgleichung zu kommen, muss sie abgeleitet werden, also:

\(v(t)=42t^2-40t+4\)

Nun wird \(t=7\) gesetzt und das Ergebnis ist \(1782\) 

Um von der Bewegungsgleichung auf die Beschleunigung zu kommen, muss zweimal abgeleitet, also:

\(a(t)=12t-20\)

Nun wird \(t=2 \) gesetzt und das Ergebnis ist \(4\)

Ausdrücke der Form

\(\frac{x\,(t_b)-x\,(t_a)}{b-a}\)

sind Differenzenquotienten, die die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b\) beschreiben. Graphisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante, die den Graphen an den Punkten \(P_a = \left( t_a,\, x(t_a) \right)\) und \(P_b = \left( t_b,\, x(t_b) \right)\) schneidet.

Die Differenzenquotienten

\(\frac{x\,(4)-x\,(0)}{4} = \bar v_1\) und \(\frac{x\,(8)-x\,(4)}{4} = \bar v_2\) sind in der Graphik durch die entsprechenden Sekanten dargestellt. Die Differenzen im Divisor sind bereits ausgerechnet (\(4-0 = 8-4=4\)).

Wie zu sehen ist, hat die Sekante durch die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) eine größere Steigung als die, die durch den Ursprung und \(P_1\) geht. Da es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, muss die Geschwindigkeit mit der Zeit zunehmen (das gilt auch für die mittleren Geschwindigkeiten).

Der Differenzenquotient

\(\lim_{b \to a}\frac{x\,(t_b)-x\,(t_a)}{b-a} = \left.\frac{\mathrm{d}x\,(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_a}= \dot x(t_a)\) beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt \(t_a\). Graphisch entspricht er der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion an der Stelle \(t_a\).

Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=14\) ist in der Graphik durch die entsprechende Tangente eingezeichnet. Da die Ortsfunktion an dieser Stelle ein Maximum aufweist, muss \(\dot x(t=14)=0\) gelten.

Ebenso eingezeichnet ist die Sekante, die die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen \(t_a=14\) und \(t_b=16\) beschreibt. Da diese Sekante fallend ist, also einen negativen Anstieg hat, muss  \(\dot x(14)=0\qquad \gt \qquad \frac{x\,(16)-x\,(14)}{2}\) gelten.

Die Ortsfunktion hat den betragsmäßig größten Anstieg an der Stelle \(t=18\). Zwar fällt die Ortsfunktion an dieser Stelle, also \(\dot x(18) \qquad < \qquad 0\), aber sie fällt steiler, als sie bei \(t=8\) ansteigt.

Daher gilt auch \(\left|\dot x(18)\right|\qquad \gt \qquad \left|\dot x(8)\right|\).

Achtung: das gilt nur für die Beträge!

Ohne Beträge gilt \(\dot x(18)\qquad < \qquad \dot x(8)\), da \(\dot x(18)\qquad <\qquad 0\) und \(\dot x(8)\qquad \gt \qquad 0\)!

Wir machen den Ansatz

\(x=v_{0} t +x_{0}\).

Somit folgt \(\dot{x}=v_{0}\) und \(\ddot{x}=0\). Daher bleibt zu lösen

\(2v_{0}+v_{0}t+x_{0}=2+t\).

Dies liefert die Ergebnisse \(x_0 =0\) und \(v_0 = 1\). Die Lösung der Differentialgleichung lautet folglich

\(x(t)=t\).

Zunächst muss die Funktion abgeleitet werden, \(v(t)=\frac{ds(t)}{dt}\)also

\(v(t)=24t^2+12t-2\).

Nun wird \(t=8 \) gesetzt und das Ergebnis ist \(1630\).