Die Steigung einer Sekante gibt die durchschnittliche Änderungsrate in dem von den beiden Schnittpunkten begrenzten Bereich an. Da es sich hier um eine Geschwindigkeitsfunktion handelt, kann man aus der Sekante die durchschnittliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, also der Beschleunigung, herauslesen.

\(6=-2t^4+8t\)

Die Lösung \(t=1\) kann leicht durch ausprobieren oder mit einem Computeralgebraprogramm gefunden werden.

Durch zweimaliges Differenzieren erhält man:

\(a(t)=-24t^2\)

\(a(1)=-24\)

Die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitfunktion \(v(t)\): \(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}\)

Die Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v\left(t\right)\).

\(a\left(t\right)=\frac{dv\left(t\right)}{dt}\)

Die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{dx(t)}{dt}\).

\(\rightarrow v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}4t^2+\frac{d}{dt}5t+\frac{d}{dt}3=8t+5+0\)

Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die Bedingung \(x=60\,m\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(x(t)=60.\)

D.h. \(60=9\,t^2+24\,\rightarrow\,9\,t^2=36\,\rightarrow\,t^2=4\,\rightarrow\,t=\pm2\). Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(t=2\) und \(t=-2\).Da die Zeit \(t\) keine negativen Werte annehmen kann \((t\,\geq\,0)\), kann nur \(t=2\) die physikalisch richtige Lösung sein.

Diese muss nun in die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Geschwindgkeit zu erhalten.

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 9 t=18\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=2\) ergibt das \(v(2)=18\cdot 2=36\,\frac{m}{s}\).

Zunächst muss die Funktion zweimal abgeleitet werden, also:

\(a(t)=18t+18\)

nun wird \(t=3\) gesetzt und das Resultat ist \(72\)

Um von der Bewegungsgleichung auf die Geschwindigkeitsgleichung zu kommen muss man diese einmal ableiten, also:

\(v(t)=16t^3-27t^2-16t+5\) 

Nun wird \(t=5\) gesetzt und das Ergebnis ist \(1250\)