Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=3\) ergibt das \(v(2)=8\cdot 3=24\,\frac{m}{s}\).

Die Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die Bedingung \(x=12\,m\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(x(t)=12.\)

D.h. \(12=4\,t^2+12\,\rightarrow\,4\,t^2=0\,\rightarrow\,t^2=0\,\rightarrow\,t=0\). 

Diese muss nun in die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Geschwindgkeit zu erhalten.

\(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=2\cdot 4 t=8\,t\). Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=0\) ergibt das \(v(2)=8\cdot 0=0\,\frac{m}{s}\).

\(6=-2t^4+8t\)

Die Lösung \(t=1\) kann leicht durch ausprobieren oder mit einem Computeralgebraprogramm gefunden werden.

Durch einmaliges Differenzieren erhält man:

\(v(t)=-8t^3+8\)

\(v(1)=0\)

Die Steigung einer Sekante gibt die durchschnittliche Änderungsrate in dem von den beiden Schnittpunkten begrenzten Bereich an. Da es sich hier um eine Geschwindigkeitsfunktion handelt, kann man aus der Sekante die durchschnittliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, also der Beschleunigung, herauslesen.

Wir machen den Ansatz

\(z(t)=e^{\lambda t}\).

Durch zweimaliges Ableiten nach dem Zeitparameter \(t\) erhält man

\(\ddot{z}=\lambda^{2}z\)

und folglich

\((\lambda^{2}+1)z=0\).

Die Gleichung ist also erfüllt, falls

\(\lambda=\pm i\)

gilt. Aus dem Superpositionsprinzip, das besagt, dass Lösungen linearer Differntialgleichungen zu neuen Lösungen addiert werden können, lässt sich dann folgern, dass die Gesamtlösung der zu lösenden Bewegungsgleichung von der From

\(z(t)=z_{1}e^{it}+z_{2}e^{-it}\)

sein muss. Die Randbedingungen \(z(0)=0\) und \(z(\frac{\pi}{2})=1\) liefern dann die Ergebnisse

\(z_1 + z_2 = 0\) und \(i(z_1 - z_{2})=1\).

Daraus folgt dann aber \(z_1 = \frac{1}{2i}\) und \(z_2 = -\frac{1}{2i}\) und damit

\(z(t)=\sin t\).

Das Integral (=die Fläche unter einer Funktion bzw. zwischen zwei Funktionen) einer Geschwindigkeitsfunktion ist die Bewegungsfunktion

\(\int v(t) dt = s(t)\)

\(a(t)=3t^2+8t-4\)

t wird gleich 5 gesetzt.

\(a(5)=3\cdot 5^2+40-4=111\)

Die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}\).

Die zweite Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) ist die Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}\).

Die Bedingung \(v=456\frac ms\) stellte die Frage zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(v(t)=456\).

Zuerst berechnen wir die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=3\cdot 9 t^2+24=27\,t^2+24\).

D.h. \(456=27\,t^2+24\,\rightarrow\,27\,t^2=432\,\rightarrow\,t^2=16\,\rightarrow\,t=\pm4\). Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(t=4\) und \(t=-4\). Da die Zeit \(t\) keine negativen Werte annehmen kann \((t\,\geq\,0)\), kann nur \(t=4\) die physikalisch richtige Lösung sein.

Diese muss nun in die Beschleunigungssfunktion \(a(t)\) eingesetzt werden um die gesuchte Beschleunigung zu erhalten.

Daher berechnen wir nun die Beschleunigungsfunktion \(a(t)=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}=\frac{d\,v(t)}{d\,t}=2\cdot 27t=54t\).

Mit dem eingesetzten Zeitpunkt \(t=4\) ergibt das \(a(4)=54\cdot 4=216\,\frac{m}{s^2}\).