Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Vektoralgebra.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gib die Länge des Differenzvektors \(\vec{F}\) an, der durch Abzug des Vektors \(\vec{E}=\left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) \) von Vektor \(\vec{D}=\left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right)\) entsteht! Nr. 2558
	\(\vec{F}=\left(\begin{array}11\\-7\\2\end{array}\right)\)
	\(\mid\vec{F} \mid=174\)
	\(\mid\vec{F} \mid= 18\)
	\(\mid\vec{F} \mid= 13,19\)
	\(\mid\vec{F} \mid= 4,25\)
Lösungsweg 1. Schritt: Errechnen des Differenzvektors \(\vec{F}\): \(\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right) \) 2. Schritt: Errechnen des Betrags (=die Länge) des Differenzvektors \(\vec{F}\): \(\mid\vec{F} \mid = \sqrt{(8--3)^2+(-3-4)^2+(5-3)^2}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben seien folgende Punkte: \(P_1(45\|63)\) und \(P_2(57\|63)\). Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3387
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=16\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=12\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=10\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=22\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(57-45)^2+(63-63)^2}=12\)

4 erreichbare Punkte

Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{u\) und \(\vec{v\) in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{w\) an. Nr. 3463
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)\)
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}3\\4\end{array} \right)\)
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}2\\6\end{array} \right)\)
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}4\\8\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\) Hier. \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}3\\-1\end{array} \right)\), deshalb ist \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\-4\\2\end{array} \right)\), \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-3\\8\\-84\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\1\\3\end{array} \right)\). Berechne: \(\vec{s}= 4\cdot \vec{A}+2\cdot \vec{B}-\frac{1}{2}\cdot \vec{C} \) Nr. 3297
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\0,5\\161,5\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-27\\0,5\\-161,5\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-27\\-0,5\\161,5\end{array} \right)\)
	\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)\)
Lösungsweg Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert. \(4\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}36\\-16\\8\end{array} \right)\quad,\) \(2\cdot \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\16\\-168\end{array} \right)\quad ,\) \(-\)\(-\)\(-\) \(0,5\cdot \vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\0,5\\1,5\end{array} \right)\) Nun werden alle drei Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, also: \(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei Punkte \(P_1(8\|6)\) und \(P_2(6\|6)\) Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3380
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=4\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=3\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=2\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2\)

4 erreichbare Punkte

Zwei Vektoren sind gleich, wenn: Nr. 2503
	sie die gleiche Richtung haben, unabhängig vom Betrag.
	sie den gleichen Betrag haben, unabhängig von der Richtung
	sie die die gleiche Richtung und den gleichen Betrag haben.
	sie aufsummiert Null ergeben.
	ihre Nullvektoren dieselbe Richtung haben.

5 erreichbare Punkte

Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{C}\) an. Nr. 3476
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-6\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\8\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-3\end{array} \right)\) und\( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Welche Aussage bezüglich des Vektors \(\vec{r\) ist korrekt? Nr. 3258
	\(\vec{r}=\vec{r_1}-\vec{BD}\)
	\(\vec{r}=-\vec{DB}+\vec{r_1}\)
	\(\vec{r}=\vec{r_2}+\vec{CD}\)
	\(\vec{r}=\vec{r_2}+(-\vec{DC})\)

4 erreichbare Punkte

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Gegeben seien folgende Punkte: \(P_1(45\|63)\) und \(P_2(57\|63)\). Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3387
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=16\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=12\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=10\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=22\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(57-45)^2+(63-63)^2}=12\)

Gegeben seien zwei Punkte \(P_1(8\|6)\) und \(P_2(6\|6)\) Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3380
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=4\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=3\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=2\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2\)

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