Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(8-9)^2+(10-14)^2}=4,12\)

Vektoren werden komponentenweise addiert, dh. \(\left( \begin{array}2 \\3 \end{array} \right) + \left(\begin{array}4\\1\end{array}\right)=\left( \begin{array}2+4 \\3+1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}6 \\4 \end{array} \right)\).

\(\vec{s} = 4 \begin{pmatrix}1\\-3\\2\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\2\\2\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-16\\6\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Die Länge der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array} \right)\) ist der der Absolutbetrag: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Zurückgelegte Strecke: \(s= |\vec{s_1}|+ |\vec{V_2}|=\sqrt{s_1_x^2+s_1_y^2}+\sqrt{s_2_x^2+s_2_y^2}\)

\(s=20+15,8114=35,8114\,km\)

Hierbei berechnet man 

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =(\vec{A}-\vec{B})\left\{ \vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\right\} \)\(=\vec{A}(\vec{A}\times\vec{C})+\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{A}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{B}\times\vec{C})\).

Benützt man nun die Identitäten

\(\vec{X}(\vec{Y}\times\vec{Z})=\vec{Z}(\vec{X}\times\vec{Y})=\vec{Y}(\vec{Z}\times\vec{X})\)

beziehungsweise 

\(\vec{X}\times\vec{Y}=-\vec{Y}\times\vec{X}\),

die für beliebige Vektorfelder\(\vec{X}\), \(\vec{Y}\) und \(\vec{Z}\) gelten, so erhält man

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})\)\(=2\vec{C}(\vec{A}\times\vec{B})\)\(=2\vec{B}(\vec{C}\times\vec{A})\).

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-2\\-4\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)\)