\(\mid \vec{C}\mid = \sqrt{(C_1)^2+(C_2)^2+(C_3)^2}\)

In Komponentenschreibweise gilt

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}\),

wobei der total antisymmetrische Ausdruck \(\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{ikj}\) gemeinhin als \(\varepsilon\)-Tensor bezeichnet wird. Da nach dem Satz von Schwarz für jede Komponente \(F_{k}\) des Vektors \(\vec{F}\) gilt \(\partial_{i}\partial_{j}F_{k}=\partial_{j}\partial_{i}F_{k}\), lässt sich demnach folgern

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{jik}\partial_{j}\partial_{i}F_{k}.\)

Da die Bennenung von Summationsindizes jedoch völlig beliebig ist, lässt sich der gefundene Ausdruck auch als

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}.\)

schreiben. Somit muss aber zwingend gelten 

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0.\)

Ein solcher Widerspruch lässt sich ferner für beliebige Ausdrücke aus der Beobachtung folgern, dass das Produkt eines symmetrischen und eines total antisymmetrischen Ausdrucks stets null ist.

Der Vektor \(\vec{P_1Q}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{P_1P_2}\), jedoch nur von halber Länge:\(\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-3)\\-1 - 3\\1 - 3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\)

\(\vec{a} = \sqrt{6}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2\)

Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=11\quad \Rightarrow v_x=7,78\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\7,78\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\11,78\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{7,78^2+11,78^2}\)=14,12\,km\)