1. Schritt: Errechnen des Differenzvektors \(\vec{F}\):

\(\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right) \)

2. Schritt: Errechnen des Betrags (=die Länge) des Differenzvektors \(\vec{F}\):

\(\mid\vec{F} \mid = \sqrt{(8--3)^2+(-3-4)^2+(5-3)^2}\)

Zunächst muss jeder Vektor mit dem angegeben Faktor multipliziert werden.

also \(5\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\45\\40\end{array} \right)\quad , \quad 2\cdot\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-10\\14\end{array} \right) \) 

Das Resultat der Addition bzw. Subtraktion aller Vektoren: \(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-1\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\) , das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\1\end{array} \right)\)

In Komponentenschreibweise gilt

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}\),

wobei der total antisymmetrische Ausdruck \(\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{ikj}\) gemeinhin als \(\varepsilon\)-Tensor bezeichnet wird. Da nach dem Satz von Schwarz für jede Komponente \(F_{k}\) des Vektors \(\vec{F}\) gilt \(\partial_{i}\partial_{j}F_{k}=\partial_{j}\partial_{i}F_{k}\), lässt sich demnach folgern

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{jik}\partial_{j}\partial_{i}F_{k}.\)

Da die Bennenung von Summationsindizes jedoch völlig beliebig ist, lässt sich der gefundene Ausdruck auch als

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}.\)

schreiben. Somit muss aber zwingend gelten 

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0.\)

Ein solcher Widerspruch lässt sich ferner für beliebige Ausdrücke aus der Beobachtung folgern, dass das Produkt eines symmetrischen und eines total antisymmetrischen Ausdrucks stets null ist.

Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=11\quad \Rightarrow v_x=7,78\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\7,78\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\11,78\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{7,78^2+11,78^2}\)=14,12\,km\)

Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

\(4\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}36\\-16\\8\end{array} \right)\quad,\)     \(2\cdot \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\16\\-168\end{array} \right)\quad ,\)   \(-\)\(-\)\(-\) \(0,5\cdot \vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\0,5\\1,5\end{array} \right)\)

Nun werden alle drei Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, also:

\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\5\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\0\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\5\end{array} \right)\)

\(\left(\begin{array}5\\3\\9\end{array}\right) - \left(\begin{array}4\\6\\7\end{array}\right) = \left(\begin{array}5-4\\3-6\\9-7\end{array}\right)\)