Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-3\end{array} \right)\) und\( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)\)

\(\vec{s} = 4 \begin{pmatrix}1\\-3\\2\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\2\\2\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-16\\6\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

\(4\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}36\\-16\\8\end{array} \right)\quad,\)     \(2\cdot \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\16\\-168\end{array} \right)\quad ,\)   \(-\)\(-\)\(-\) \(0,5\cdot \vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\0,5\\1,5\end{array} \right)\)

Nun werden alle drei Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, also:

\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)\)

\(\vec{F} = m \vec{a} = 4 kg \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\4\\\end{pmatrix} \frac{m}{s^2} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} kg\frac{m}{s^2} = \begin{pmatrix}4\\-4\\16\\\end{pmatrix} N\)

1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{a} \) mit einem Skalar \(\lambda\)  erfolgt komponentenweise:

\(\lambda \vec{a} = \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\\lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot6^3\cdot11+2\cdot6^2-4\cdot2=11944\)

Finde ein x,y,z damit das Gleichungssystem erfüllt ist:

2 + 1 + 3 + x = 0

5 – 7 – 5 + y = 0

0 + 9 – 3 + z = 0

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-2\\5\\\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}0\\-3\\3\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)