Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:

\(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{-111}{\sqrt{126}\cdot \sqrt{186}})=136,5^\circ\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\-6\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\1\\\end{pmatrix} = 2\cdot 4 + 1\cdot (-2) + 1\cdot (-6) = 0\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)

Der Betrag

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)

daraus folgt

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \alpha = 109,5^\circ\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \beta = 70,1^\circ\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \gamma = 70,1^\circ\)

Richtungswinkel zwischen einem Vektor und der Koordinatenachse

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung

\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

miteinander verknüpft.

 Der Einheitsvektor entlang der x-Achse ist definiert als\(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\end{array} \right)\)

Somit ist das Skalarprodukt \(\vec{A}\cdot\vec{e_x}=8\cdot 1+9\cdot 0=8\).
Also gilt: \(\alpha=cos^{-1}\(\frac{8}{12,04}\)=48,37^\circ\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}=0\), weil \(cos(90)=0\)