Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben

Zwei Vektoren $\vec{A$ und $\vec{B$ sind orthogonal. Was ist folglich das Skalarprodukt dieser Vektoren? Nr. 3277
	$\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} <0$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =0$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =1$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ mit $\cos(90^{\circ})=0 \rightarrow\vec{A} \cdot \vec{B}=0$

4 erreichbare Punkte

Der Skalar $m=57$ ist das Skalarprodukt welcher Vektoren? Nr. 2584
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(\begin{array}5\\8\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}4\\3\\7\end{array}\right)$
	$\vec{A} + \vec{B} =\left(\begin{array}5\\8\\1\end{array}\right) + \left(\begin{array}4\\3\\7\end{array}\right)$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(\begin{array}3\\8\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}1\\3\\7\end{array}\right)$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(\begin{array}3\\4\\5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}2\\4\\7\end{array}\right)$
	$\vec{A} + \vec{B} =\left(\begin{array}3\\4\\5\end{array}\right) + \left(\begin{array}2\\4\\7\end{array}\right)$
Lösungsweg Mit $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der $iten$ Komponenten $\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i$ . $m=\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

5 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von $\vec{D} \cdot (\vec{E} - \vec{F})$ mit den Vektoren $\vec{D}=\left(\begin{array}2\\3\\4\end{array}\right)$ , $\vec{E}=\left(\begin{array}83\\63\\42\end{array}\right)$ und $\vec{F}=\left(\begin{array}52\\43\\16\end{array}\right)$ Nr. 2572
	$\left(\begin{array}523\\297\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}62\\60\\104\end{array}\right)$
	$225$
	$226$
	$523$
Lösungsweg $\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ werden subtrahiert indem sie komponentenw. subtrahiert werden $\text{[math]}$ $\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)$ . Mit $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der $iten$ Komponenten $\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i$ . $\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$ D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren $\vec{E}$ und $\vec{F}$ komponentenweise subtrahieren und dann das Skalarprodukt des Vektors $\vec{D}$ mit dem resultierenden Vektor berechnen. $\left.\vec{D}\right.\cdot \left(\vec{E}-\vec{F}\right)= \left( \begin{array}{c}d_1\\d_2\\d_3\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c}e_1-f_1\\e_2-f_2\\e_3-f_3\end{array} \right)$ . d.h. $d_1\cdot e_1-d_1\cdot f_1+d_2\cdot e_2-d_2\cdot f_2+d_3\cdot e_3-d_3\cdot f_3$

5 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C})$ mit den Vektoren $\vec{A}=\left(\begin{array}11\\23\\15\end{array}\right)$ , $\vec{B}=\left(\begin{array}0,5\\2\\0,7\end{array}\right)$ und $\vec{C}=\left(\begin{array}0,9\\0,2\\3\end{array}\right)$ Nr. 2507
	$\left(\begin{array}4,95\\9,2\\31,5\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}15,4\\50,6\\55,5\end{array}\right)$
	$\left(\begin{array}5,5\\46\\10,5\end{array}\right) + \left(\begin{array}9,9\\4,6\\45\end{array}\right)$
	$121,5$
	$142,3$
Lösungsweg $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) =$ $\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} = a_1 \cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 + a_1 \cdot c_1 + a_2\cdot c_2 + a_3 \cdot c_3$

5 erreichbare Punkte

Gesucht ist der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}12\\-19\\-27\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-47\\58\\-11\end{array} \right)$ Nr. 3412
	$\alpha=121,1^\circ$
	$\alpha=114,74^\circ$
	$\alpha=127,8^\circ$
	$\alpha=105,28^\circ$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ gilt: $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ mit $arccos(x)=cos^{-1}$ die Umkehrfunktion des Kosinus $\alpha=arccos$ \frac{-1369}{\sqrt{1234}\cdot \sqrt{5694}}$=121,095^\circ$

4 erreichbare Punkte

Gesucht ist der Winkel $\alpha$ zwischen folgenden Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-9\\18\\26\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-16\\-9\end{array} \right)$ Nr. 3409
	$\alpha=171,23^\circ$
	$\alpha=116,8^\circ$
	$\alpha=154,6^\circ$
	$\alpha=181,5^\circ$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ gilt: $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ mit $arccos(x)=cos^{-1}$ die Umkehrfunktion des Kosinus $\alpha=arccos$ \frac{-558}{\sqrt{1081}\cdot \sqrt{353}}$=154,596^\circ$

4 erreichbare Punkte

Die Divergenz $div\vec{A}$ eines Vektors $\vec{A}$ , welche auch öfters mit $\vec{\nabla}\vec{A}$ bezeichnet wird, berechnet sich wie folgt? Nr. 4149
	$\vec{\nabla}\vec{A}=\partial_{z}A_{1}+\partial_{x}A_{2}+\partial_{y}A_{3}$
	$\vec{\nabla}\vec{A}=\partial_{x}A_{3}+\partial_{y}A_{2}+\partial_{z}A_{1}$
	$\vec{\nabla}\vec{A}=\partial_{x}A_{1}+\partial_{y}A_{2}+\partial_{z}A_{3}$
Lösungsweg Der Definition nach gilt $\vec{\nabla}\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{array}\right)$ , sodass sofort folgt, dass $\vec{\nabla}\vec{A}=\partial_{x}A_{1}+\partial_{y}A_{2}+\partial_{z}A_{3}$ .

3 erreichbare Punkte

Ein Vektor $\vec{a}$ mit dem Betrag $\|\vec{a}\| = 3$ bilde mit der x- und y- Achse jeweils einen Winkel von 70° und mit der z-Achse einen spitzen Winkel $\gamma$ . Wie lauten seine skalaren Vektorkomponenten? Nr. 2789
	$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\1\\2,6\\\end{pmatrix}$
	$\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\2\\1,6\\\end{pmatrix}$
Lösungsweg Ein Vektor $\vec{a}$ bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors $\vec{a}$ wie folgt berechnen $\cos(\alpha) = \frac{a_x}{\|\vec{a}\|}$ , $\cos(\beta) = \frac{a_y}{\|\vec{a}\|}$ und $\cos(\gamma) = \frac{a_z}{\|\vec{a}\|}$ . Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel $\gamma$ wird aus der Beziehung $\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}$ berechnet. Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da $\gamma$ nach Voraussetzung spitz ist und somit $\cos(\gamma) > 0$ sein muss. Mit $\alpha = \beta = 70^\circ$ erhält man: $\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(70) - \cos^2(70)} = 0,88 \rightarrow \gamma = 29^\circ$ . Die skalaren Vektorkomponenten von $\vec{a}$ sind $a_x = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\alpha) = 3 \cdot \cos(70) = 1$ $a_y = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\beta) = 3 \cdot \cos(70) = 1$ $a_z = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\gamma) = 3 \cdot \cos(29) = 2,6$

2 erreichbare Punkte

Anmelden

Passwort vergessen
Registrieren

NEWS

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die nächsten Qualifikationskurse starten im Februar 2019. Informationen zu dem generallen Ablauf und Kontakt finden Sie auf unserer Website.

Die Infoveranstaltung findet am 19.02.2019 um 17h50 in HS A3.13 statt.

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

weitere News

Wussten Sie schon?

Bei uns können Sie auch reine Mathematik üben: www.mathe.technikum-wien.at

Physik Übungsplattform

Übungstest

Anmelden

NEWS