Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Was bedeutet es, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist? Nr. 3275
	Die beiden Vektoren sind orthogonal \((\alpha=90^\circ)\)
	Die beiden Vektoren sind gleichorientiert und parallel \((\alpha=0^\circ)\)
	Die beiden Vektoren sind entgegengesetzt orientiert und parallel \((\alpha=180^\circ)\)
	Der Winkel zwischen beiden Vektoren ist ein stumpfer Winkel \((\alpha>90^\circ)\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

4 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C})\) mit den Vektoren \(\vec{A}=\left(\begin{array}11\\23\\15\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}0,5\\2\\0,7\end{array}\right) \) und \(\vec{C}=\left(\begin{array}0,9\\0,2\\3\end{array}\right)\) Nr. 2507
	\(\left(\begin{array}4,95\\9,2\\31,5\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}15,4\\50,6\\55,5\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5,5\\46\\10,5\end{array}\right) + \left(\begin{array}9,9\\4,6\\45\end{array}\right)\)
	\(121,5\)
	\(142,3\)
Lösungsweg \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \) \( \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} = a_1 \cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 + a_1 \cdot c_1 + a_2\cdot c_2 + a_3 \cdot c_3\)

5 erreichbare Punkte

Bestimme der gegebenen Grafik das Skalarprodukt. Nr. 3278
	\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=29,44\)
	\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=19,371\)
	\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=21,575\)
	\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=18,62\)
	\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=23,996\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) \(\|\vec{AB}\|=7,21 \) und \(\|\vec{AC}\|=6\) \(\alpha=360-303,69=56,31^\circ\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 7,21\cdot 6\cdot cos(56,31^\circ)=23,996\)

5 erreichbare Punkte

Ein Vektor \(\vec{a}\) mit dem Betrag \(\|\vec{a}\| = 2\) bilde mit der x- und y- Achse jeweils einen Winkel von 80° und mit der z-Achse einen spitzen Winkel \(\gamma\). Wie lauten seine skalaren Vektorkomponenten? Nr. 2791
	\(\vec{a} = \begin{pmatrix}0,35\\0,35\\1,94\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{a} = \begin{pmatrix}3,5\\3,5\\-1,7\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen \(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{\|\vec{a}\|}\),\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{\|\vec{a}\|}\),\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{\|\vec{a}\|}\) Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\) berechnet. Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 80^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(80) - \cos^2(80)} = 0,97 \rightarrow \gamma =14,22^\circ\) Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind \(a_x = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(80) = 0,35\) \(a_y = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\beta) = 2 \cdot \cos(80) = 0,35\) \(a_z = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\gamma) = 2 \cdot \cos(14,22) = 1,94\)

2 erreichbare Punkte

Berechne das Produkt der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-36\\22\\-52\end{array} \right) \) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-9\\-14\\21\end{array} \right) \) Nr. 3270
	\(c=-1076\)
	\(c=268\)
	\(c=0\)
	\(c=-374\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=c\) ergibt einen Skalar. Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(c=\sum_i a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=c\)

4 erreichbare Punkte

Gesucht sind die Skalarprodukte von \(\vec{AB} \cdot \vec{AE}\) und \(\vec{AD} \cdot \vec{AC}\) Nr. 3285
	\(\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -17,11 \) \(\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -9,05\)
	\(\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -15\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -11,99\)
	\(\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -21,47\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -11,84\)
	\(\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -23,77\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -20\)
Lösungsweg Da die Absolutbeträge der Vektoren bekannt sind, fehlen nur noch die Winkel zwischen ihnen. Der Winkel \(\gamma \) zwischen \(\vec{AD} \) und \(\vec{AC}\) ist \(\gamma=180-53,13=126,87^\circ\) Das Skalarprodukt \(\vec{AD} \cdot \vec{AC}=5\cdot5\cdot cos(126,87)=8.91\) Der Winkel \(\rho\) zwischen \(\vec{AB} \) und \(\vec{AE}\) ist \(\rho=180-45=135^\circ\) Das Skalarprodukt \(\vec{AB}\cdot \vec{AE}=4\cdot4,24\cdot cos(135)=-11.99\)

4 erreichbare Punkte

Bestimme das Skalarprodukt der angegebenen Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) Nr. 3281
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=16,35\)
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=-14,14\)
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=-16,37\)
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=12,88\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}=2\cdot 7,07 \cdot cos(180)=-14,14\)

4 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von \(\vec{D} \cdot (\vec{E} - \vec{F}) \)mit den Vektoren \(\vec{D}=\left(\begin{array}0,4\\3,1\\2,5\end{array}\right)\), \(\vec{E}=\left(\begin{array}9,4\\4,2\\8,3\end{array}\right)\) und \(\vec{F}=\left(\begin{array}2,1\\6,3\\1,2\end{array}\right)\) Nr. 2596
	\(14,16\)
	\(51\)
	\(51,824\)
	\(114,822\)
	\(117,831\)
Lösungsweg \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden subtrahiert indem sie komponentenw. subtrahiert werden\(\) \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)\). Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\) D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{E}\) und \(\vec{F}\) komponentenweise subtrahieren und dann das Skalarprodukt des Vektors \(\vec{D}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{D}\right.\cdot \left(\vec{E}-\vec{F}\right)= \left( \begin{array}{c}d_1\\d_2\\d_3\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c}e_1-f_1\\e_2-f_2\\e_3-f_3\end{array} \right)\). d.h. \(d_1\cdot e_1-d_1\cdot f_1+d_2\cdot e_2-d_2\cdot f_2+d_3\cdot e_3-d_3\cdot f_3\)

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