Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Das Skalarprodukt wird gebildet durch: Nr. 2587
	$\vec{A} \cdot \vec{B}= a_{1}\,a_{2}\,a_{3}+b_{1}\,b_{2}\,b_{3}$
	$\vec{A} \cdot \vec{B}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+b_{1}+b_{2}+b_{3}$
	$\vec{A}\cdot \vec{B}=\mid \vec{A} \mid \cdot \mid\vec{B} \mid \cdot cos (\alpha)$
	$\vec{A} \cdot \vec{B}= a_{1}\,b_{1}+a_{2}\,b_{2}+a_{3}\,b_{3}$
	$\vec{A} + \vec{B}= a_{1}\,b_{1}+a_{2}\,b_{2}+a_{3}\,b_{3}$
Lösungsweg Für die Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ kann das Skalarprodukt sowohl als die Summe der Produkte der $iten$ Komponenten $\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i$ berechnet werden, d.h. $\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$ . oder als das Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A}\cdot \vec{B}=\mid \vec{A}\mid \cdot \mid \vec{B}\mid \cos \left.\left(\alpha\right)\right.$

5 erreichbare Punkte

Gesucht ist der Winkel $\alpha$ zwischen den gegebenen Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-9\\13\\-15\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\8\\12\end{array} \right)$ Nr. 3407
	$\alpha=90,5^\circ$
	$\alpha=93,71^\circ$
	$\alpha=87,36^\circ$
	$\alpha=104,22^\circ$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ gilt: $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ mit $arccos(x)=cos^{-1}$ die Umkehrfunktion des Kosinus $\alpha=arccos$ \frac{-22}{\sqrt{475}\cdot \sqrt{244}}$=93,71^\circ$

4 erreichbare Punkte

Zwei Vektoren $\vec{A$ und $\vec{B$ sind orthogonal. Was ist folglich das Skalarprodukt dieser Vektoren? Nr. 3277
	$\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} <0$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =0$
	$\vec{A} \cdot \vec{B} =1$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ mit $\cos(90^{\circ})=0 \rightarrow\vec{A} \cdot \vec{B}=0$

4 erreichbare Punkte

Sind folgende Vektoren orthogonal? $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\-6\\\end{pmatrix}$ $\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\-2\\1\\\end{pmatrix}$ Nr. 2780
	ja
	nein
Lösungsweg $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\-6\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\1\\\end{pmatrix} = 2\cdot 4 + 1\cdot (-2) + 1\cdot (-6) = 0$ Orthogonale Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$

Sind folgende Vektoren orthogonal?

$\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\-6\\\end{pmatrix}$

$\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\-2\\1\\\end{pmatrix}$

Nr. 2780

nein

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt $s=m\cdot(\vec{A}\cdot\vec{B})$ , wenn $m=7$ und $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}5\\3\\6\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}9\\2\\5\end{array} \right)$ sind. Nr. 3316
	$s=531$
	$s=542$
	$s=567$
	$s=581$
	$s=$ $592$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist $\vec{A}\cdot\vec{B}=c$ ergibt einen Skalar. Mit $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der $iten$ Komponenten $c=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i$ . $\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=c$ Anschliessend muss noch $s=m\cdot c$ berechnet werden

5 erreichbare Punkte

Sind folgende Vektoren orthogonal? $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\5\\\end{pmatrix}$ $\vec{b} = \begin{pmatrix}8\\-4\\-4\\\end{pmatrix}$ Nr. 2781
	ja
	nein
Lösungsweg $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}8\\-4\\-4\\\end{pmatrix} = 2\cdot 8 + (-1)\cdot (-4) + 5\cdot (-4) = 0$ Orthogonale Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$

Sind folgende Vektoren orthogonal?

$\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\5\\\end{pmatrix}$

$\vec{b} = \begin{pmatrix}8\\-4\\-4\\\end{pmatrix}$

Nr. 2781

nein

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von $\vec{A}=\left(\begin{array}0,75\\0,25\\0,33\end{array}\right)$ und $\vec{B}=\left(\begin{array}28\\54\\66\end{array}\right)$ ! Nr. 2508
	$\vec{C}=\left(\begin{array}28,75\\54,25\\66,33\end{array}\right)$
	$c=\left(\begin{array}28,75\\54,25\\66,33\end{array}\right)$
	$\vec{C}=\left(\begin{array}21\\13,5\\21,78\end{array}\right)$
	$c=56,28$
	$c=196,84$
Lösungsweg $c=\vec{A}\cdot \vec{B}=\left(\begin{array}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right) = a _{1} \cdot b _{1} + a _{2} \cdot b _{2}\ + a _{3} \cdot b _{3}$

5 erreichbare Punkte

Berechne das Produkt der Vektoren $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-36\\22\\-52\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-9\\-14\\21\end{array} \right)$ Nr. 3270
	$c=-1076$
	$c=268$
	$c=0$
	$c=-374$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist $\vec{A}\cdot\vec{B}=c$ ergibt einen Skalar. Mit $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)$ ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der $iten$ Komponenten $c=\sum_i a_i\cdot b_i$ . $\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=c$

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