Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen \(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\),\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\),\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\)  berechnet.

Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 80^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(80) - \cos^2(80)} = 0,97 \rightarrow \gamma =14,22^\circ\)

Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind

\(a_x = |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(80) = 0,35\)            \(a_y = |\vec{a}| \cdot \cos(\beta) = 2 \cdot \cos(80) = 0,35\)

\(a_z = |\vec{a}| \cdot \cos(\gamma) = 2 \cdot \cos(14,22) = 1,94\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{33}{\sqrt{385}\cdot \sqrt{134}})=81,65^\circ\)

Der Definition nach gilt

 \(\vec{\nabla}\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{array}\right)\), 

sodass sofort folgt, dass

\(\vec{\nabla}\vec{A}=\partial_{x}A_{1}+\partial_{y}A_{2}+\partial_{z}A_{3}\).

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:

\(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{-111}{\sqrt{126}\cdot \sqrt{186}})=136,5^\circ\)

\(\left(\begin{array}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right) = a _{1} \cdot b _{1}+ a _{2} \cdot b _{2} + a _{3} \cdot b _{3}\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2 \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix} = 0 + 0 + 2 = 2\)

Unter dem Skalarprodukt\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \)versteht man den Skalar

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |a|\cdot |b| \cdot \cos(\phi)\)

wobei \(\phi\) der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.

Rechengesetze für Skalarprodukte

Die Skalarbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv:

Kommutativgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a}\)

Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot\vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)

Ferner gilt für einen beliebigen Skalar \(\lambda\)

\(\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix} = - 2 - 9 - 48 = -59\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{48}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{74}\)

\(\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right) = \frac{-59}{\sqrt{48}\sqrt{74}} = -0,99\)

\(\phi = \arccos(-0,99) = 171,9^\circ\)

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) eingeschlossene Winkel \( \phi\)  lässt sich wie folgt berechnen

\(\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right)\)