Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben seien die Vektoren $\vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}-8\\9\\-2\end{array} \right)$ und $\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}-8\\5\\-4\end{array} \right)$ . In welchem Winkel $\alpha$ stehen diese beiden Vektoren zueinander? Nr. 3287
	$\alpha=20,71^\circ$
	$\alpha=14,72^\circ$
	$\alpha=18,89^\circ$
	$\alpha=23,44^\circ$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)$ gilt: $\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ mit $arccos(x)=cos^{-1}$ die Umkehrfunktion des Kosinus $\alpha=arccos( \frac{117}{\sqrt{149}\cdot \sqrt{105}})=20,71^\circ$

4 erreichbare Punkte

Wie lautet das skalare Produkt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\0\\-2\\\end{pmatrix}$ $\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}$ Nr. 2778
	$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$
	$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$
Lösungsweg $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2 \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix} = 0 + 0 + 2 = 2$ Unter dem Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ versteht man den Skalar $\vec{a} \cdot \vec{b} = \|a\|\cdot \|b\| \cdot \cos(\phi)$ wobei $\phi$ der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Rechengesetze für Skalarprodukte Die Skalarbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv: Kommutativgesetz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a}$ Distributivgesetz: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot\vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ Ferner gilt für einen beliebigen Skalar $\lambda$ $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})$

Wie lautet das skalare Produkt der Vektoren

$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\0\\-2\\\end{pmatrix}$ $\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}$

Nr. 2778

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Berechne den Winkel $\phi$ , den die beiden Vektoren miteinander einschließen $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix}$ $\vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix}$ Nr. 2785
	$\phi = 171,9^\circ$
	$\phi = 1,9^\circ$
Lösungsweg $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix} = - 2 - 9 - 48 = -59$ $\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{48}$ $\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{74}$ $\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|} \right) = \frac{-59}{\sqrt{48}\sqrt{74}} = -0,99$ $\phi = \arccos(-0,99) = 171,9^\circ$ Winkel zwischen zwei Vektoren Der von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossene Winkel $\phi$ lässt sich wie folgt berechnen $\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|} \right)$

Berechne den Winkel $\phi$ , den die beiden Vektoren miteinander einschließen

$\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix}$ $\vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix}$

Nr. 2785

$\phi = 171,9^\circ$

$\phi = 1,9^\circ$

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Gegeben sei $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\9\end{array} \right)$ . in welchem Winkel $\alpha$ steht er zum Einheitsvektor $\vec{e_x}$ ? Nr. 3288
	$\alpha=52,61^\circ$
	$\alpha=43,24^\circ$
	$\alpha=48,37^\circ$
	$\alpha=34,78^\circ$
Lösungsweg Der Einheitsvektor entlang der x-Achse ist definiert als $\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\end{array} \right)$ Somit ist das Skalarprodukt $\vec{A}\cdot\vec{e_x}=8\cdot 1+9\cdot 0=8$ . Also gilt: $\alpha=cos^{-1}$\frac{8}{12,04}$=48,37^\circ$

4 erreichbare Punkte

Bestimme der gegebenen Grafik das Skalarprodukt. Nr. 3278
	$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=29,44$
	$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=19,371$
	$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=21,575$
	$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=18,62$
	$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=23,996$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ $\|\vec{AB}\|=7,21$ und $\|\vec{AC}\|=6$ $\alpha=360-303,69=56,31^\circ$ $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 7,21\cdot 6\cdot cos(56,31^\circ)=23,996$

5 erreichbare Punkte

Gesucht sind die Skalarprodukte von $\vec{AB} \cdot \vec{AE}$ und $\vec{AD} \cdot \vec{AC}$ Nr. 3285
	$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -17,11$ $\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -9,05$
	$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -15$ $\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -11,99$
	$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -21,47$ $\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -11,84$
	$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -23,77$ $\vec{AB} \cdot \vec{AE} = -20$
Lösungsweg Da die Absolutbeträge der Vektoren bekannt sind, fehlen nur noch die Winkel zwischen ihnen. Der Winkel $\gamma$ zwischen $\vec{AD}$ und $\vec{AC}$ ist $\gamma=180-53,13=126,87^\circ$ Das Skalarprodukt $\vec{AD} \cdot \vec{AC}=5\cdot5\cdot cos(126,87)=8.91$ Der Winkel $\rho$ zwischen $\vec{AB}$ und $\vec{AE}$ ist $\rho=180-45=135^\circ$ Das Skalarprodukt $\vec{AB}\cdot \vec{AE}=4\cdot4,24\cdot cos(135)=-11.99$

4 erreichbare Punkte

Das Skalarprodukt von $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\14\end{array} \right)$ und $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-4\end{array} \right)$ beträgt $-38$ . In welchem Winkel $\alpha$ stehen sie zueinander? Nr. 3276
	$\alpha=120,7^\circ$
	$\alpha=114,7^\circ$
	$\alpha=103,7^\circ$
	$\alpha=99,7^\circ$
	$\alpha=117,7^\circ$
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren $\mid\vec{A}\mid$ und $\mid\vec{B}\mid$ und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\alpha$ . $\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)$ mit $arccos(x)=cos^{-1}$ die Umkehrfunktion des Kosinus $\alpha=arccos( \frac{-38}{\sqrt{277}\cdot \sqrt{20}})=120,7^\circ$

5 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von $\vec{D}=\left(\begin{array}6\\3\\2\end{array}\right)$ und $\vec{F}=\left(\begin{array}2\\5\\-4\end{array}\right)$ Nr. 2568
	17
	19
	25
	121
	-121
Lösungsweg $\vec{D}\cdot \vec{F}= \left(\begin{array}d1\\d2\\d3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}f1\\f2\\f3\end{array}\right) = d _{1} \cdot f _{1} + d _{2} \cdot f _{2}\ + d _{3} \cdot f _{3}$

5 erreichbare Punkte

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