Gegeben sei der Vektor \( \vec{V}= \left( \begin{array}{c}5\\9\end{array} \right)\). Mit welchem Winkel \(\alpha\) steht dieser Vektor zum Einheitsvektor \(\vec{e_y}\)? Nr. 3290
	\(\alpha=23,81^\circ\)
	\(\alpha=29,05^\circ\)
	\(\alpha=19,6^\circ\)
	\(\alpha=32,7^\circ\)
Lösungsweg Man multipliziert die Vektoren \( \vec{V}= \left( \begin{array}{c}5\\9\end{array} \right)\) mit \( \vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\\1\end{array} \right)\). Daraus ergibt sich das Skalarprodukt \(\vec{V}\cdot\vec{e_y}=5\cdot 0+9\cdot 1=9\). \(\vec{V}\cdot\vec{e_y}=\mid\vec{V}\mid\cdot\mid\vec{e_y}\mid\cos\(\alpha\)\) also \(\alpha=cos^{-1}\(\frac{9}{\sqrt{106}}\)=29,05^\circ\)

Berechne des Skalarprodukt von \(m\cdot(\vec{A}\cdot\vec{B})\) mit \(m=5\), \(\vec{A}=\left(\begin{array}4\\5\\3\end{array}\right)\) und \(\vec{B}= \left(\begin{array}0,3\\0,5\\0,6\end{array}\right)\) Nr. 2577
	\(9,5\)
	\(12,5 \)
	\(26,5 \)
	\(27,5\)
	\(118,5\)
Lösungsweg Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\) Zuerst berechnet man das Skalarprodukt von \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) und das Ergebnis ist ein Skalar, der einfach mit dem Skalar \(m\) multipliziert werden kann.

Gegeben seien zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=12,06\) und der Winkel zwischen ihnen beträgt \(\alpha=80,36^\circ\). Der Vektor \(\vec{A\) ist nur halb so lang wie der Vektor \(\vec{B\). Berechne die Längen der Vektoren Nr. 3282
	\(\|\vec{A}\|=9,89 \) und \(\mid\vec{B}\mid=19,77\)
	\(\|\vec{A}\|=12,11\) und \(\|\vec{B}\|=24,22\)
	\(\|\vec{A}\|=8,45\) und \(\|\vec{B}\|=16,9\)
	\(\|\vec{A}\|=4,85\) und \(\|\vec{B}\|=9,7\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \(\mid\vec{B}\mid =a\) und \(\mid\vec{A} \mid= \frac{a}{2}\) \(\vec{A} \cdot \vec{B} =\frac{a}{2}\cdot a\cos(80,36)=\frac{a^2}{2}\cos(80,36)=12,06\) Also: \(a=\sqrt{\frac{2\cdot 12,06}{cos(80,36)}}}=9,89\)

Berechne das Skalarprodukt von \(\vec{X}=\left(\begin{array}0,5\\2,3\\4,1\end{array}\right)\) und \(\vec{Y}=\left(\begin{array}3,7\\1,8\\0,1\end{array}\right)\) Nr. 2571
	\(2,46\)
	\(3,14\)
	\(6,4\)
	\(7,38\)
	\(\vec{Z}=\left(\begin{array}1,85\\4,14\\0,41\end{array}\right)\)
Lösungsweg Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Welche der folgenden Vektoren ergeben multipliziert das Skalarprodukt x=20,98 ? Nr. 2594
	\(\left(\begin{array}0,5\\2,7\\0,3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4,1\\0,7\\2,3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}3,2\\5,3\\5,3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5,2\\3,2\\7,1\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}7,4\\6,3\\0,9\end{array}\right)\)
Lösungsweg Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Bestimme das Skalarprodukt der angegebenen Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) Nr. 3281
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=16,35\)
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=-14,14\)
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=-16,37\)
	\(\vec{AB} \circ \vec{AC}=12,88\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}=2\cdot 7,07 \cdot cos(180)=-14,14\)

Zwei Vektoren \(\vec{A\) und \(\vec{B\) sind orthogonal. Was ist folglich das Skalarprodukt dieser Vektoren? Nr. 3277
	\(\vec{A} \cdot \vec{B} > 0\)
	\(\vec{A} \cdot \vec{B} <0\)
	\(\vec{A} \cdot \vec{B} =0\)
	\(\vec{A} \cdot \vec{B} =1\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \( \cos(90^{\circ})=0 \rightarrow\vec{A} \cdot \vec{B}=0\)

Berechne den Winkel \(\phi\), den die beiden Vektoren miteinander einschließen \(\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix}\) \(\vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix}\) Nr. 2785
	\(\phi = 171,9^\circ\)
	\(\phi = 1,9^\circ\)
Lösungsweg \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\-3\\-8\\\end{pmatrix} = - 2 - 9 - 48 = -59\) \(\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{48}\) \(\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{74}\) \(\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|} \right) = \frac{-59}{\sqrt{48}\sqrt{74}} = -0,99\) \(\phi = \arccos(-0,99) = 171,9^\circ\) Winkel zwischen zwei Vektoren Der von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) eingeschlossene Winkel \( \phi\) lässt sich wie folgt berechnen \(\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|} \right)\)

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Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

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Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

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Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

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