Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Vektor \(\vec{a}\) mit dem Betrag \(\|\vec{a}\| = 6\) bilde mit der x- und y- Achse jeweils einen Winkel von 60° und mit der z-Achse einen spitzen Winkel \(\gamma\). Wie lauten seine skalaren Vektorkomponenten? Nr. 2790
	\(\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\3\\4,2\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{a} = \begin{pmatrix}4\\4\\3,2\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{\|\vec{a}\|}\),\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{\|\vec{a}\|}\) ,\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{\|\vec{a}\|}\). Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\) berechnet. Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 60^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(60) - \cos^2(60)} = 0,7 \rightarrow \gamma = 45^\circ\) Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind \(a_x = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(60) = 3\) \(a_y = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\beta) = 6 \cdot \cos(60) = 3\) \(a_z = \|\vec{a}\| \cdot \cos(\gamma) = 6 \cdot \cos(45) = 4,2\)

2 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei gleich lange Vektoren\(\mid\vec{A}\mid=\mid\vec{B}\mid=a\), die in einem Winkel von \(\alpha=74^\circ\) zueinander stehen und deren Skalarprodukt \(\vec{A}\cdot \vec{B}=23\) ist. Wie lang sind die Vektoren? Nr. 3280
	\(\mid\vec{A}\mid=\mid\vec{B}\mid=19,32\)
	\(\mid\vec{A}\mid=\mid\vec{B}\mid=11,27\)
	\(\mid\vec{A}\mid=\mid\vec{B}\mid=9,13\)
	\(\mid\vec{A}\mid=\mid\vec{B}\mid=8,66\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \(\vec{A} = \vec{B}= a\) deshalb \(23=a^2\cdot cos(74)\) folglich: \(a=\sqrt{ \frac{23}{cos(74)}}=9,13\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=12,06\) und der Winkel zwischen ihnen beträgt \(\alpha=80,36^\circ\). Der Vektor \(\vec{A\) ist nur halb so lang wie der Vektor \(\vec{B\). Berechne die Längen der Vektoren Nr. 3282
	\(\|\vec{A}\|=9,89 \) und \(\mid\vec{B}\mid=19,77\)
	\(\|\vec{A}\|=12,11\) und \(\|\vec{B}\|=24,22\)
	\(\|\vec{A}\|=8,45\) und \(\|\vec{B}\|=16,9\)
	\(\|\vec{A}\|=4,85\) und \(\|\vec{B}\|=9,7\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \(\mid\vec{B}\mid =a\) und \(\mid\vec{A} \mid= \frac{a}{2}\) \(\vec{A} \cdot \vec{B} =\frac{a}{2}\cdot a\cos(80,36)=\frac{a^2}{2}\cos(80,36)=12,06\) Also: \(a=\sqrt{\frac{2\cdot 12,06}{cos(80,36)}}}=9,89\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\-3\\6\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-4\\11\\-7\end{array} \right)\). In welchem Winkel \(\alpha\) stehen diese Vektoren zueinander? Nr. 3286
	\(\alpha=97,9^\circ\)
	\(\alpha=124,63^\circ\)
	\(\alpha=136,5^\circ\)
	\(\alpha=111,73^\circ\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus \(\alpha=arccos( \frac{-111}{\sqrt{126}\cdot \sqrt{186}})=136,5^\circ\)

4 erreichbare Punkte

Berechne das Skalarprodukt von \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C})\) mit den Vektoren \(\vec{A}=\left(\begin{array}11\\23\\15\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}0,5\\2\\0,7\end{array}\right) \) und \(\vec{C}=\left(\begin{array}0,9\\0,2\\3\end{array}\right)\) Nr. 2507
	\(\left(\begin{array}4,95\\9,2\\31,5\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}15,4\\50,6\\55,5\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5,5\\46\\10,5\end{array}\right) + \left(\begin{array}9,9\\4,6\\45\end{array}\right)\)
	\(121,5\)
	\(142,3\)
Lösungsweg \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \) \( \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} = a_1 \cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 + a_1 \cdot c_1 + a_2\cdot c_2 + a_3 \cdot c_3\)

5 erreichbare Punkte

Gesucht ist der Winkel \(\alpha\) zwischen folgenden Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}12\\-4\\15\end{array} \right)\)und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}10\\3\\-5\end{array} \right)\) Nr. 3406
	\(\alpha=81,65^\circ\)
	\(\alpha=76,35^\circ\)
	\(\alpha=79,42^\circ\)
	\(\alpha=84,39^\circ\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus \(\alpha=arccos( \frac{33}{\sqrt{385}\cdot \sqrt{134}})=81,65^\circ\)

4 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Vektoren ergeben multipliziert das Skalarprodukt x=20,98 ? Nr. 2594
	\(\left(\begin{array}0,5\\2,7\\0,3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4,1\\0,7\\2,3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}3,2\\5,3\\5,3\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}5,2\\3,2\\7,1\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}7,4\\6,3\\0,9\end{array}\right)\)
Lösungsweg Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}8\\9\end{array} \right)\). in welchem Winkel \(\alpha\) steht er zum Einheitsvektor \( \vec{e_x}\)? Nr. 3288
	\(\alpha=52,61^\circ\)
	\(\alpha=43,24^\circ\)
	\(\alpha=48,37^\circ\)
	\(\alpha=34,78^\circ\)
Lösungsweg Der Einheitsvektor entlang der x-Achse ist definiert als\(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\end{array} \right)\) Somit ist das Skalarprodukt \(\vec{A}\cdot\vec{e_x}=8\cdot 1+9\cdot 0=8\). Also gilt: \(\alpha=cos^{-1}\(\frac{8}{12,04}\)=48,37^\circ\)

4 erreichbare Punkte

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Gegeben seien zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=12,06\) und der Winkel zwischen ihnen beträgt \(\alpha=80,36^\circ\). Der Vektor \(\vec{A\) ist nur halb so lang wie der Vektor \(\vec{B\). Berechne die Längen der Vektoren Nr. 3282
	\(\|\vec{A}\|=9,89 \) und \(\mid\vec{B}\mid=19,77\)
	\(\|\vec{A}\|=12,11\) und \(\|\vec{B}\|=24,22\)
	\(\|\vec{A}\|=8,45\) und \(\|\vec{B}\|=16,9\)
	\(\|\vec{A}\|=4,85\) und \(\|\vec{B}\|=9,7\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \(\mid\vec{B}\mid =a\) und \(\mid\vec{A} \mid= \frac{a}{2}\) \(\vec{A} \cdot \vec{B} =\frac{a}{2}\cdot a\cos(80,36)=\frac{a^2}{2}\cos(80,36)=12,06\) Also: \(a=\sqrt{\frac{2\cdot 12,06}{cos(80,36)}}}=9,89\)

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