\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}3\\0\\-1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix} = 6 + 0 - 1 = 5\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\)

\(\cos(\phi) = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right) = \frac{5}{3\sqrt{10}} = 0,53\)

\(\phi = \arccos(0,53) = 58,2^\circ\)

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) eingeschlossene Winkel \( \phi\)  lässt sich wie folgt berechnen

\(\phi = \arccos \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \right)\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

mit \(\mid\vec{B}\mid =a\) und \(\mid\vec{A} \mid= \frac{a}{2}\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\frac{a}{2}\cdot a\cos(80,36)=\frac{a^2}{2}\cos(80,36)=12,06\)

Also: \(a=\sqrt{\frac{2\cdot 12,06}{cos(80,36)}}}=9,89\)

Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\\a_z\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_x\\b_y\\b_z\end{array} \right)\) wird folgendermaßen berechnet:

\(\vec{A}\cdot \vec{B}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}3\\1\\2\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-2\\\end{pmatrix} = 3\cdot 3 + 1\cdot 2 + \cdot (-2) = 4\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)

 \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden subtrahiert indem sie komponentenw. subtrahiert werden\(\) \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{array} \right)\). 

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{E}\) und \(\vec{F}\) komponentenweise subtrahieren und dann das Skalarprodukt des Vektors \(\vec{D}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{D}\right.\cdot \left(\vec{E}-\vec{F}\right)= \left( \begin{array}{c}d_1\\d_2\\d_3\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c}e_1-f_1\\e_2-f_2\\e_3-f_3\end{array} \right)\).

d.h. \(d_1\cdot e_1-d_1\cdot f_1+d_2\cdot e_2-d_2\cdot f_2+d_3\cdot e_3-d_3\cdot f_3\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus

\(\alpha=arccos( \frac{-38}{\sqrt{277}\cdot \sqrt{20}})=120,7^\circ\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\3\\\end{pmatrix} = 1 - 2 - 9 = 8\)

\(|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (3)^2 = 14\)

Die Komponente des Vektors \(\vec{b}\) in Richtung des Vektors \(\vec{a}\) lautet dann

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a} = \frac{8}{14} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/7\\8/7\\12/7\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\-6\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\1\\\end{pmatrix} = 2\cdot 4 + 1\cdot (-2) + 1\cdot (-6) = 0\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)