Zuerst erstellen wir zwei Vektoren nach \(P_1\) bzw. \(P_2\) und zwar beide ausgehend vom Schnittpunkt \(S\). Mithilfe imaginärer Steigungsdreiecke kann man leicht ablesen, dass der Vektor \(\vec{SP_2} =\left( \begin{array}{c}-3\\3\end{array} \right)\) ist und \(\vec{SP_1}\left( \begin{array}{c}-3\\-3\end{array} \right)\) ist. 

Nun muss man sie nur noch mulitplizieren: \(\vec{SP_1}\cdot \vec{SP_2} = -3\cdot(-3)+3\cdot(-3)=0\)

Tipp: Um die Vektoren abzulesen hilft es, wenn man S als Ursprung sieht (Vektoren haben ja keine fixe Position)

Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\\a_z\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_x\\b_y\\b_z\end{array} \right)\) wird folgendermaßen berechnet:

\(\vec{A}\cdot \vec{B}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\\5\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}8\\-4\\-4\\\end{pmatrix} = 2\cdot 8 + (-1)\cdot (-4) + 5\cdot (-4) = 0\)

Orthogonale Vektoren

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\vec{a} \) und \( \vec{b}\) stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\).

\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

 Der Einheitsvektor entlang der x-Achse ist definiert als\(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\end{array} \right)\)

Somit ist das Skalarprodukt \(\vec{A}\cdot\vec{e_x}=8\cdot 1+9\cdot 0=8\).
Also gilt: \(\alpha=cos^{-1}\(\frac{8}{12,04}\)=48,37^\circ\)

Der Betrag

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}\)

daraus folgt

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = -\frac{1}{\sqrt{11}} \rightarrow \alpha = 107,5^\circ\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{11}} \rightarrow \beta = 72,45^\circ\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{3}{\sqrt{11}} \rightarrow \gamma = 25,24^\circ\)

Richtungswinkel zwischen einem Vektor und der Koordinatenachse

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen

\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\)

\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\)

\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung

\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

miteinander verknüpft.

Ein Vektor \(\vec{a}\) bildet mit den drei Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel \( \alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die als Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lassen sich aus den skalaren Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{a}\) wie folgt berechnen\(\cos(\alpha) = \frac{a_x}{|\vec{a}|}\),\( \cos(\beta) = \frac{a_y}{|\vec{a}|}\) ,\(\cos(\gamma) = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\).

Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\) miteinander verknüpft. Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel \( \gamma\) wird aus der Beziehung \(\cos\gamma = \pm \sqrt{1 -\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\)  berechnet.

Es kommt nur die positive Lösung in Frage, da \( \gamma\) nach Voraussetzung spitz ist und somit \(\cos(\gamma) > 0\) sein muss. Mit \(\alpha = \beta = 60^\circ\) erhält man: \(\cos\gamma = \sqrt{1 -\cos^2(60) - \cos^2(60)} = 0,7 \rightarrow \gamma = 45^\circ\)

Die skalaren Vektorkomponenten von \(\vec{a}\) sind

\(a_x = |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(60) = 3\)          \(a_y = |\vec{a}| \cdot \cos(\beta) = 6 \cdot \cos(60) = 3\)

\(a_z = |\vec{a}| \cdot \cos(\gamma) = 6 \cdot \cos(45) = 4,2\)