Gesucht ist der Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}12\\-19\\-27\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-47\\58\\-11\end{array} \right)\) Nr. 3412
	\(\alpha=121,1^\circ\)
	\(\alpha=114,74^\circ\)
	\(\alpha=127,8^\circ\)
	\(\alpha=105,28^\circ\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus \(\alpha=arccos\( \frac{-1369}{\sqrt{1234}\cdot \sqrt{5694}}\)=121,095^\circ\)

Das Skalarprodukt wird gebildet durch: Nr. 2587
	\(\vec{A} \cdot \vec{B}= a_{1}\,a_{2}\,a_{3}+b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\)
	\( \vec{A} \cdot \vec{B}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+b_{1}+b_{2}+b_{3}\)
	\( \vec{A}\cdot \vec{B}=\mid \vec{A} \mid \cdot \mid\vec{B} \mid \cdot cos (\alpha)\)
	\(\vec{A} \cdot \vec{B}= a_{1}\,b_{1}+a_{2}\,b_{2}+a_{3}\,b_{3} \)
	\(\vec{A} + \vec{B}= a_{1}\,b_{1}+a_{2}\,b_{2}+a_{3}\,b_{3}\)
Lösungsweg Für die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) kann das Skalarprodukt sowohl als die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\) berechnet werden, d.h. \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\). oder als das Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\mid \vec{A}\mid \cdot \mid \vec{B}\mid \cos \left.\left(\alpha\right)\right.\)

Was passiert, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren kleiner als 0 ist? Nr. 3274
	Der Winkel zwischen beiden Vektoren ist ein stumpfer Winkel \((\alpha>90^\circ)\)
	Der Winkel zwischen beiden Vektoren ist ein spitzer Winkel \((\alpha<90^\circ)\)
	Die beiden Vektoren sind orthogonal \((\alpha=90^\circ)\)
	Die beiden Vektoren sind parallel und gleichorientiert \((\alpha=0^\circ)\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Berechne das Skalarprodukt von \(\vec{A}=\left(\begin{array}0,3\\0,5\\0,6\end{array}\right)\) und \(\vec{B}=\left(\begin{array}1,6\\3,2\\5,1\end{array}\right)\) Nr. 2576
	\(3,14\)
	\(3,41\)
	\(5,14\)
	\(5,53\)
	\(6,08\)
Lösungsweg Mit \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) ist das Skalarprodukt die Summe der Produkte der \(iten\) Komponenten \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3 a_i\cdot b_i\). \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Berechne das Skalarprodukt von\( \vec{A}=\left(\begin{array}5\\3\\7\end{array}\right)\) und \(\vec{B}=\left(\begin{array}2\\6\\4\end{array}\right)\) Nr. 2499
	56
	72
	457
	693
	5040
Lösungsweg \(\left(\begin{array}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right) = a _{1} \cdot b _{1}+ a _{2} \cdot b _{2} + a _{3} \cdot b _{3}\)

Gegeben seien die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\-3\\6\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-4\\11\\-7\end{array} \right)\). In welchem Winkel \(\alpha\) stehen diese Vektoren zueinander? Nr. 3286
	\(\alpha=97,9^\circ\)
	\(\alpha=124,63^\circ\)
	\(\alpha=136,5^\circ\)
	\(\alpha=111,73^\circ\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus \(\alpha=arccos( \frac{-111}{\sqrt{126}\cdot \sqrt{186}})=136,5^\circ\)

Das Skalarprodukt von \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}9\\14\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-4\end{array} \right)\)beträgt \(-38\). In welchem Winkel \(\alpha\) stehen sie zueinander? Nr. 3276
	\(\alpha=120,7^\circ\)
	\(\alpha=114,7^\circ\)
	\(\alpha=103,7^\circ\)
	\(\alpha=99,7^\circ\)
	\(\alpha=117,7^\circ\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) die Umkehrfunktion des Kosinus \(\alpha=arccos( \frac{-38}{\sqrt{277}\cdot \sqrt{20}})=120,7^\circ\)

Gegeben seien zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{A}\cdot\vec{B}=12,06\) und der Winkel zwischen ihnen beträgt \(\alpha=80,36^\circ\). Der Vektor \(\vec{A\) ist nur halb so lang wie der Vektor \(\vec{B\). Berechne die Längen der Vektoren Nr. 3282
	\(\|\vec{A}\|=9,89 \) und \(\mid\vec{B}\mid=19,77\)
	\(\|\vec{A}\|=12,11\) und \(\|\vec{B}\|=24,22\)
	\(\|\vec{A}\|=8,45\) und \(\|\vec{B}\|=16,9\)
	\(\|\vec{A}\|=4,85\) und \(\|\vec{B}\|=9,7\)
Lösungsweg Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\). \(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\) mit \(\mid\vec{B}\mid =a\) und \(\mid\vec{A} \mid= \frac{a}{2}\) \(\vec{A} \cdot \vec{B} =\frac{a}{2}\cdot a\cos(80,36)=\frac{a^2}{2}\cos(80,36)=12,06\) Also: \(a=\sqrt{\frac{2\cdot 12,06}{cos(80,36)}}}=9,89\)

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Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
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