\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-2\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\2\\-6\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12\\-12\\6\\\end{pmatrix}\)

 \(A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 6^2} = 18 m^2\)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}4\\-5\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}5\\5\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=20-(-25)=45\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=12-3=9\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Der Definition nach gilt 

\((\vec{A}\times\vec{B})=\left(\begin{array}{c}A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}\\A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3}\\A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\end{array}\right)\).

Daher folgt aber

\(-(\vec{B}\times\vec{A})=\left(\begin{array}{c}-B_{2}A_{3}+B_{3}A_{2}\\-B_{3}A_{1}+B_{1}A_{3}\\-B_{1}A_{2}+B_{2}A_{1}\end{array}\right)\)

und somit \((\vec{A}\times\vec{B})=-(\vec{B}\times\vec{A})\).

Die Gültigkeit des Entwicklungssatzes

 \((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\)

wurde in einer vorangegangenen Aufgabe bewiesen. Basierend auf seiner Gültigkeit ergibt sich

\((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})+(\vec{B}\times\vec{C})(\vec{A}\times\vec{D})+(\vec{C}\times\vec{A})(\vec{B}\times\vec{D})=\)\((\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B} \cdot \vec{C})+\)

\(+(\vec{B}\cdot\vec{A})(\vec{C}\cdot\vec{D})-(\vec{B}\cdot\vec{D})(\vec{A}\cdot\vec{C})+(\vec{C}\cdot\vec{B})(\vec{A}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{C}\cdot\vec{D})\).

Damit folgt aber 

\((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})+(\vec{B}\times\vec{C})(\vec{A}\times\vec{D})+(\vec{C}\times\vec{A})(\vec{B}\times\vec{D})=0.\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Aus der Beziehung

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta,\)

deren Gültigkeit in einem vorangegangenen Beispiel aufgezeigt wurde, lässt sich leicht folgern, dass 

\((\vec{A}\times\vec{B})=AB\cdot\sin\theta\)

gilt. Für parallele Vektoren gilt aber stets \(\sin\theta = 0\), sodass sich

\(\vec{A}\times\vec{B}=0\)

 folgern lässt.

Anmerkung: Man spricht hier in diesem Kontext sehr oft von Kollinearität von Vektoren.