Hier benutzt man, dass einerseits gilt 

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\sin^{2}\theta\)

und andererseits

\((\vec{A}\cdot\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\cos^{2}\theta\),

sodass unter Verwendung von \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\) sofort folgt, dass 

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}+(\vec{A}\cdot\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\).

\(\vec{D}\cdot\vec{F}=\left(\begin{array}d1\\d2\\d3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}f1\\f2\\f3\end{array}\right) = \left(\begin{array}d1\cdot f1\\d2\cdot f2\\d2 \cdot f3\end{array}\right) \)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\).
Der resultierende Vektor \(\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}\) ist orthogonal auf beide Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)-

Selbstverständlich gilt bezüglich Kreuzprodukt die Produkt- alias Leibnizregel. In Komponentenschreibweise gilt nämlich

\((\vec{A}\times\vec{B})_{i}=\frac{d}{dt}\left(\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}A_{j}B_{k}\right)\)\(=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\dot{A}_{j}B_{k}+A_{j}\dot{B}_{k})=(\dot{\vec{A}}\times\vec{B})_{i}+(\vec{A}\times\dot{\vec{B}})_{i}\).

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}=\left( \begin{array}{c}-5\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\left( \begin{array}{c}5\\2\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=-10-(-10)=0\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)