Mit Hilfe der Lagrange Identität

\((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\),

deren Gültigkeit in einem der vorangegangen Beispiele dargelegt wurde, findet man sogleich

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})-(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cos^{2}\theta\)

und daher wegen \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\) 

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=(\vec{A},\vec{A})(\vec{B},\vec{B})\cdot\sin^{2}\theta\)

was gleichbedeutend ist mit

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta\).

Allgemein gilt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

\(\vec{s} = ( \begin{pmatrix}2\\-1\\3\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix} )\times 3 \begin{pmatrix}2\\0\\7\\\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}5\\-4\\0\\\end{pmatrix} \times 3 \begin{pmatrix}2\\0\\7\\\end{pmatrix} \)\(= \begin{pmatrix}-84\\-105\\24\\\end{pmatrix} \)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)aufgespannt wird,

entspricht der Länge des Kreuzpoduktes \(\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid\).

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Also: \(\vec{A}\times \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-93\\58\\78\end{array} \right)\) und davon der Absolutbetrag: \(X=\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid=\sqrt{(-93)^2+58^2+78^2}=134,525\,m^2\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\)  und  \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}4\\-1\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=-1-(-12)=11\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Sei \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}a\\a\end{array} \right)\), dann gilt  \(|\vec{V}|=\sqrt[2]{2a^2}\), also \(65m^2=\sqrt[2]{2a^2}\)

Daraus folgt, dass \(a=45,96194m^2\).

Probe: \(65=\sqrt[2]{45,96194^2+45,96194^2}\)

Verwendet man die Identität 

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B})\),

so ergibt sich unter zyklischer Vertauschung

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})+\vec{B}\times(\vec{C}\times\vec{A})+\vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B})\)\(=\vec{B}(\vec{A}\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B})+\vec{C}(\vec{B}\vec{A})-\vec{A}(\vec{B}\vec{C})+\vec{A}(\vec{C}\vec{B})-\vec{B}(\vec{C}\vec{A})=0.\)

Anmerkung: Die abgeleitete Relation wird als Jacobi-Identität bezeichnet.