\(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} N = -12 N\)
 

\(|\vec{s}|^2 =(2)^2 + (3)^2 = 11\)

\(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{|\vec{s}|^2}\right) = \frac{-12}{11} \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2,1\\-3,1\\0\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}6\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}0\\10\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=60-0\cdot 0=60\)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

Daraus folgt: \(F=\sqrt{(4000N)^2+(6000N)^2+2\cdot 4000N \cdot 6000N \cdot cos(38,99)}=9450,3N\)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist gegeben durch das Produkt der Längen der Vektoren \(\mid\vec{A}\mid\) und \(\mid\vec{B}\mid\) und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\alpha\).

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid \cos(\alpha)\)

Für den Absolutbetrag bzw die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:

\(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). D.h. die Länge von \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}5\\-2\\1\end{array} \right)\) ist  \(\mid \vec{A}\mid=5,48\)

Die Basisvektoren \(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\\0\end{array} \right)\),\(\vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\\1\\0\end{array} \right)\),\(\vec{e_z}= \left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)\) entsprechen den Achsen und ihre Längen sind  \(\mid \vec{e_x}\mid=\mid \vec{e_y}\mid=\mid \vec{e_z}\mid=1\).

Die Skalarprodukte von \(\vec{A}\) mit den jeweiligen Basisvektoren sind \(\vec{A}\cdot\vec{e_x}=5\),\(\vec{A}\cdot\vec{e_y}=-2\) und \(\vec{A}\cdot\vec{e_z}=1\)

mit \(arccos(x)=cos^{-1}\) der Umkehrfunktion des Kosinus errechen wir den Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)

\(\alpha=arccos\( \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\mid\vec{A}\mid\cdot\mid\vec{B}\mid}\)\)

Somit

\(\alpha=\arccos\(\frac{5}{5,48}\)=24,09^\circ\)

\(\beta=\arccos\(\frac{-2}{5,48}\)=111,42^\circ\)

\(\gamma=\arccos\(\frac{1}{5,48}\)=79,48^\circ\)

Dadurch, dass \(|\vec{V_2}|=150km\) und der Winkel zur y-Achse \(\alpha=60^\circ\), kann man ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und mit \(cos(60^\circ)=\(\frac{AK}{H=150km}\) \) die Ankathete \(AK=75km\) berechnen (die Strecke zwischen B und D). Somit lässt sich die Höhe ausrechnen, und mit \(GK=\(\sqrt{(150km)^2-(75km)^2}\)=129,9km\) die Distanz auf der x-Achse (sprich nach Westen). 

Da nun alle Komponenten des Vektors \(\vec{V_3}=\left( \begin{array}{c}129,9km\\275km\end{array} \right)\) bekannt sind, kann man sich den Absolutbetrag, sprich die Länge, ausrechnen mit \(\sqrt{(129,9km)^2+(275km)^2}\)=304,14km

Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) :

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}|\cdot |\vec{s}| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\)

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(| \vec{F_s}| = F_s = | \vec{F}| \cdot \cos(\phi)\).

Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\)

Verschiebungsvektor\(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix}\)

Die dabei verrichtete Arbeit\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}-12\\1\\3\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\5\\1\\\end{pmatrix} = (12 + 5 + 3) Nm = 20 Nm\)

Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(|\vec{F}| = \sqrt{(-12)^2 + 1^2 + 3^2} N = \sqrt{154} N\)

\(|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 1^2} m = \sqrt{27} m\) Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}||\vec{s}| \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{W}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{20 Nm}{\sqrt{154} N \sqrt{27} m} = 0,31\) daraus folgt \(\phi = \arccos(0,31) = 71,93^\circ\)