a)

Wir stellen zunächst die benötigte Formel für die Stromstärke auf. Gemäß den Kirchhoff’schen Maschenregel gilt für die Quellenspannung

\( U_Q = RI + R_{in}\)

Und daher für die Stromstärke

\(I = \frac{U_Q}{(R+R_{in})}\)

b)

Die Leistung ist gegeben durch \(P = RI^2\)

1. Kirchoffsche Regeln

Maschenregel : Beim Durchlaufen einer geschlossenen Schleife eines Sgromkreises ist die Summe aller Spannungen in dieser Schleife gleich null

\(\sum_{i=1}^n I_i = 0\)

Knotenregel : Die Summe aller Ströme, die zu einem Verzweigungspunkt in einem Stromkreis hinfließen, ist gleich der Summe aller Ströme, die von diesem Punkt wegfließen.

\(\sum_{i=1}^n U_i = 0\)

2. Ohm’sches Gesetz

Der Widerstand von Materialien, die sich nach dem Ohm’schen Gesetz verhalten, hängt weder vom Strom noch von der Spannung ab:

\(U = R I\) , R ist konstant

U...Spannung

I...Strom

R...Widerstand

3. Leistung

Einem Bauelement zugeführte Leistung (Energieverlust pro Zeiteinheit)

\(P = IU = RI^2\)

P...Leistung

1. Schritt:

Berechnen der Hintereinanderschaltung der drei 10 \(\Omega\) Widerstände ("innere" Serienschaltung):

\(R_1 = 10 \Omega + 10 \Omega + 10 \Omega = 30 \Omega\)

2. Schritt:

Berechnen der Parallelschaltung von \(R_1\) und des 100 \(\Omega\) Widerstandes:

\(R_2 = \frac{1}{\frac{1}{R1} + \frac{1}{100}} = 23,07 \Omega\)

3. Schritt:

Berechnen der Hintereinanderschaltung von \(R_2\) und der Widerstände 47 \(\Omega\) und 22 \(\Omega\) (Serienschaltung):

\(R = 47 \Omega + 22 \Omega + R_2 = 92,1 \Omega\)

4. Schritt:

Berechnen der Gesamtstromstärke I mittels des Ohmschen Gesetzes R = U / I, also:

\(I = \frac{U}{R} = \frac{9V}{92,1 \Omega} \approx 0,1 A\)

Bei einer Parallelschaltung zweier ohmscher Widerstände gilt für die Berechnung des Ersatzwiderstands:

\(R_{ges}=\(\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}\) \)

Für den Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung gilt:

\(\frac{1}{R_{ges}}\) = \(\frac{1}{R_1}\) + \(\frac{1}{R_2}\)

Konkret bei diesem Beispiel bedeutet das:

\(\frac{1}{R_{ges}}\) = \(\frac{1}{12\Om}\) + \(\frac{1}{9\Om}\) = \(\frac{7}{36\Om} \)

\(R_{ges} = \(\frac{36}{7}\) \Om\)

Der Widerstand eines stromdurchflossenen Leiters errechnet sich folgendermaßen \(R=\rho \cdot \frac{L}{A}\).

\(\rho\) ist der spezifische Widerstand, eine materialabhängige Konstante, \(L\) ist die Länge des Drahtes und \(A\) ist die Querschnittsfläche des Drahtes.

Um die gesuchte Länge des Drahtes zu errechnen, formen wir die Formel für den Widerstand nach \(L\) um, setzen für die Querschnittsfläche

\(A=r^2 \cdot \pi\) ein, rechnen den Radius \(r\) in SI-Einheiten um \(r=0,73\,mm=7,3\cdot 10^{-4}\,m\) und

setzen alles in die Fromel für die Länge des Drates ein \(L = \frac{RA}{\rho} = \frac{2,5 \Omega \cdot \pi \cdot \left,\left(7,3 \cdot 10^{-4} m\right)\right,^2}{10^{-6} \Omega m} = 4,2 \ \ m\).

Ersatzwiderstand

Reihenschaltung Ohm’scher Widerstände

\(R = R_1 + R_2 + R_3 + ...\)

Prallelschaltung Ohm’scher Widerstände

\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ...\)

Der Widerstand vieler Materialien, insbesondere der meisten Metalle, hängen weder von der Spannung noch vom Strom ab. Man bezeichnet diesen Widerstand als Ohm'schen Widerstand und spricht vom Ohm'schen Verhalten. Bei vielen solchen Materialien bleibt der WIderstand in einem weiten Bereich äußerer Bedingungen konstant. Die Spannung über einem Leiterabschnitt ist in diesem Fall dem Strom direkt proportional.

\(U = RI\), \(R\) ist konstant

\(U\)...Spannung

\(R\)...Ohm'scher Widerstand

\(I\)...Strom

Die Widerstände werden nacheinander zusammengefasst.

Zu beachten ist nur, ob es sich um eine Serien -oder Parallelschaltung handelt.

Erster Schritt: Die Widerstände \(R_4\) und \(R_5\) zusammenfassen:

\(R_{45}=\(\frac{3 \cdot 8}{3+8}\) \Om = \(\frac{24}{11}\) \Om\)

Zweiter Schritt: \(R_{45}\) und \(R_2\) zusammenfassen:

\(R_{452}=\(\frac{24}{11}\)\Om+7\Om=\(\frac{101}{11}\) \Om\)

Dritter Schritt: \(R_{452}\) und \(R_3\) zusammenfassen:

\(R_{4523}=\(\frac{\(\frac{101}{11}\) \cdot 2 }{\(\frac{101}{11}\) +2}\) \Om= \(\frac{202}{123}\) \Om\)

Letzter Schritt: \(R_{4523\) und \(R_1\) zusammenfassen:

\(R_{ges}=\(\frac{202}{123}\)\Om + 3\Om =\(\frac{571}{123}\) \Om\)