Zunächst wird der Stromkreis in die zwei inneren (Maschen) unterteilt.

Die linke Masche (abefa):

\(13V-(6\Omega)(I-I_2)=0\) 

mit der Relation \(V=\Om \cdot A\) können wird die Gleichung durch \(\Om\) kürzen:

\(13A-6I+6I_2=0\)

Die rechte Masche (bcdeb):

\(-I_2(3\Omega)-I_2(4\Omega)+(6\Omega)(I-I_2)=0\)

mit der Relation \(V=\Om \cdot A\) können wird die Gleichung durch \(\Om\) kürzen:

\(-13I_2+6I=0\)

Nach der Anwendung des Eliminierungsverfahrens ergibt sich folgende Gleichung:

\(13A-7I_2=0\)

Nun nur noch umformen auf \(I_2\) und das dann in eine der oberen Gleichungen einsetzten um \(I\) zu erhalten.

Aufgrund der Knotenregel gilt \(I=I_1+I_2\)  -> somit erhält man \(I_1\)

Ein ideales Voltmeter hätte einen unendlich hohen Innenwiderstand. Ein Voltmeter besteht im Prinzip aus einem Galvanometer, das mit einem sehr großen Widerstand in Reihe geschaltet ist. Der Widerstand ist aus zwei Gründen sehr groß: Zum Ersten schützt er das Galvanometer, indem er den durch dieses hindurch fließenden Strom begrenzt, und zum Zweiten belastet er den Stromkreis nur wenig, denn er wird ja parallel zu dem Bauteil angeschlossen, an dem der Spannungsabfall gemessen werden soll.

Der Maschensatz besagt folgendes:

Alle Teilspannungen einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. Die Richtung für den Umlauf kann beliebig gewählt werden, ist sie jedoch einmal festgelegt, dann bestimmt sie die Vorzeichen der Teilspannungen. Wenn Zählpfeile entgegen die Umlaufrichtung zeigen, sind die Spannungen mit umgekehrtem Vorzeichen zu versehen.

Dabei haben die Urspannungen (Spannungsquellen) ein anderes Vorzeichen als die Teilspannungen (Spannungsabfälle in einer Masche).

Um den Maschensatz anwenden zu können, müssen zunächst die Stromrichtungen eingetragen werden:

Entsprechend der technischen Stromrichtung fließt der Strom zunächst vom positiven Pol weg (würde man den Strom in die andere Richtung eintragen, würden sich lediglich die Vorzeichen umdrehen - das Ergebnis wäre das selbe). Im ersten Knotenpunkt muss sich daher der zufließende Strom in die Teilströme \(I1\) und \(I3\) wie im Bild gezeigt aufteilen. Die Ströme \(I2\) und \(I4\) ergeben sich sich analog.

Nun können nach dem Ohm'schen Gesetz:

\(U = R\cdot I\)

die Teilspannungen ermittelt werden.

Somit ergeben sich folgende Gleichungen:

\(R1\cdot I1+R2\cdot I2=UB \) für Masche \(I\)

\(R3\cdot I3+R\cdot I-R1\cdot I1=0\) für Masche \(II\)

\(R4\cdot I4-R2\cdot I2-R\cdot I=0\) für Masche \(III\)

Wir wissen:

In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Entsprechend der technischen Stromrichtung fließt der Strom zunächst vom positiven Pol weg (würde man den Strom in die andere Richtung eintragen, würden sich lediglich die Vorzeichen umdrehen - das Ergebnis wäre das selbe). Im ersten Knotenpunkt muss sich daher der zufließende Strom in die Teilströme \(I1\) und \(I3\) wie im Bild gezeigt aufteilen. Die Ströme \(I2\) und \(I4\) ergeben sich sich analog.

Dabei ist zu beachten, dass zu- und abfließende Ströme unterschiedliche Vorzeichen erhalten. Üblicherweise wird für zufließende ein positives und für abfließende entsprechend ein negatives Vorzeichen gewählt.

Somit ergibt sich:

\(I3-I4-I=0 \) für Knotenpunkt A

\(I1+I-I2=0\) für Knotenpunkt B

Wichtig zu beachten ist die Art der Schaltung (Serien -oder Parallelschaltung)

Erster Schritt: \(R_3\) und \(R_4\)  zusammenfassen:

\(R_{34}=\(\frac{4 \cdot 5}{4+5}\) \Om = \(\frac{20}{9}\)\Om \)

Nun sind die verbleibenden drei Widerstände \(R_1\), \(R_2\) und \(R_{34\) in Serie geschalten und müssen nur noch addiert werden

\(R{ges}=\(\frac{20}{9}\)\Om+4\Om+2\Om=\(\frac{74}{9}\) \Om\)

Bei einer Parallelschaltung zweier ohmscher Widerstände gilt für die Berechnung des Ersatzwiderstands:

\(R_{ges}=\(\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}\) \)

Zunächst ersetze die Parallelwiderstände durch ihren Ersatzwiderstand. I sei der Strom durch die 19 V Batterie (links), der Strom I_1 fließe zwischen den Punkten b und e- Zur Berechnung der Ströme wende die Knotenregel auf die Verzweigungspunkte b und e sowie die Maschenregel auf alle Maschen an.

\(\frac{1}{R_{Ersatzw}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7}\)

\(R_{Ersatzw}} = 1,6\ \ \Omega\)

\(I = I_1 + I_2 \)

oder

\(I_1 = I - I_2\)

Maschenregel auf \(abefa\)

\(19 V - (10 \Omega) I- (5 \Omega)(I-I_2) = 0\)

\(\rightarrow 19 A - 15 I + 5 I_2 = 0\)

Maschenregel auf \(bcdeb\)

\(-(4 \Omega) I_2 + 22 V - (1,6 \Omega) I_2 + (5 \Omega) (I-I_2) = 0\)

\(\rightarrow 22 A - 10,6 I_2 + 5I = 0\)

\(I \) und \(I_2\) berechnen

\(19 A - 15 I + 5 I_2 = 0\)

\(3 \cdot 22 + 15 I - 3 \cdot 10,6 = 0\)

\(I = 2,32 A\)

\(I_2 = 3,17 A\)

\(I_1 = -0,85\)

Für den Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung gilt:

\(\frac{1}{R_{ges}}\) = \(\frac{1}{R_1}\) + \(\frac{1}{R_2}\)

Konkret bei diesem Beispiel bedeutet das:

\(\frac{1}{R_{ges}}\) = \(\frac{1}{12\Om}\) + \(\frac{1}{9\Om}\) = \(\frac{7}{36\Om} \)

\(R_{ges} = \(\frac{36}{7}\) \Om\)