\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Mit

\(\vec{v} =v\hat{\vec{x}}\)

Berechnung von r und |r|

\(\vec{r} = (4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) m\)

\(|\vec{r}| = \sqrt{4^2+3^2} m = 5m\)

\(\hat{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{|r|} = \frac{(4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) m}{5 m} = 0,8 \hat{\vec{x}} - 0,6 \hat{\vec{y}}\)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2} = \)\(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3,5 \cdot 10^{-6} (4 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}} \times (4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) ) }{5^2 } \ \ \frac{N}{A^2} \ \ \frac{C m/s^2}{m^2} \) \(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(12000 \hat{\vec{z}}) ) }{5^2} \ \ \frac{N}{Am} =3,36 \cdot 10^{-11} \hat{\vec{z}} T\)

1. Das Magnetfeld einer bewegten Ladung

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(\hat{\vec{r}}\)ist der Einheitsvektor, der von der Laudung q zum Punkt P des Felds zeigt; q bewegt sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}, der Proportionalitätsfaktor \mu_0 heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums):

\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} Tm/A = 4 \pi \cdot 10^{-7} N/A^2\)

Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz)  

\(d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I (d\vec{L} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Im Inneren einer dicht gewickelten Ringspule

\(\vec{B} = \frac{\mu_0}{2 \pi}\frac{nI}{r}\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(d\vec{L} = -dL \sin \theta \hat{\vec{x}} + dL \cos \theta \hat{\vec{y}}\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})= I (-r \sin \theta \hat{\vec{x}} + r \cos \theta \hat{\vec{y}}) \times B \hat{\vec{z}} =\)\( IrB ( \sin \theta d\theta \hat{\vec{y}} + \cos \theta d\theta \hat{\vec{x}})\)

Integriere nun jede Komponente von \(dF\) von \(\theta = 0\) bis \(\theta = \pi\)

\( F = \int dF = IrB \hat{\vec{x}} \int_0{^\pi} cos \theta d\theta + IrB \hat{\vec{y}} \int_0{^\pi} sin \theta d\theta = IrB \hat{\vec{x}} \cdot (0) + IrB \hat{\vec{y}} \cdot (2) = 2IrB\hat{\vec{y}}\)

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf ein Stromelement

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(d\vec{L}\) ... Länge des Stromelement

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = (- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s) \times (0,45 \hat{\vec{y}} T )] =\)\((- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times (0,45 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} T )] = -0,00726 \hat{\vec{z}} N = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\)

1. Kreuzprodukt

\(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\)

2. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\)

3. Lorenzkraft

Bewegt sich eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft:

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\)

der Betrag der Lorenzkraft

\(|{\vec{v} \times \vec{B}| = |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

\(|\vec{F} |= q |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

4.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Die SI-Einheit der magnetischen Feldstärke ist

\(\left[H\right]=\frac{A}{m}\),

also Ampere pro Meter.

\( E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \omega^2 r^2 = \frac{1}{2} (1,67 \cdot 10^{-27} kg}) (3,26 \cdot 10^7 rad/s)^2 (0,7)^2 = 4,34 \cdot 10^{-13} J\)

\(E_{kin} = 4,34 \cdot 10^{-13} J \cdot \frac{1 eV}{1,60 \cdot 10^{-19} J} = 271 keV\)

1. Kinetische Energie

\(E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2\)

2. Zentripetalbeschleunigung

\(A_n = -a_{ZP} = v^2/r\)

mit

\(\omega = 2 \pi f = \frac{|qB|}{m}\)

3. Maßeinheiten

Elektronenvolt

Das Elektronenvolt (eV) ist die Änderung der elektrischen Energie eines Teilchens mit der Laudung e, das sich einer Potentialdifferenz \Delta \(\phi = \phi_b - \phi_a = 1 \ \ Volt\) von a nach b bewegt:

\(1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} CV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

\(v_d = \frac{L}{\Delta t}\)

mit

\(L = n2\pi r_{LS}= 5 \cdot 2 \pi (0,06 m) = 1,8 m\)

und

\(\Delta t = \frac{L}{v_d} = \frac{1,8 m}{1,4 \cdot 10^{-4} m/s } = 1,3 \cdot 10^4 s\)

\(q = I \Delta t = (6 A) \cdot (1,3 \cdot 10^4 s) = 7,8 \cdot 10^5 C\)

1. Elektrischer Strom

Der elektrische Strom ist definiert als die Rate des Flusses elektrischer Ladungen durch eine Querschnittsfläche, wobei \Delta t gegen null geht:

\(I = \frac{\Delta q}{\Delta t}=q(n/V)A v_d \)

Mit

\(q = -e\);

\((n/V)\)...Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen

\(A\)...Querschnittsfläche

\(v_d\)...Driftgeschwindigkeit.

\(I\)...Strom

\(\Delta q \)... gesamte freie Ladung

\(\Delta t\)...Zeit

2. Bewegte Ladung ergibt sich aus

\(q = I \Delta t\)

\(\rightarrow v_d = \frac{L}{\Delta t}\)

\(L\)...Länge des Leiters

mit

\(L = n2\pi r_{LS}\)

3. Driftgeschwindigkeit

Ein elektrischer Strom I in einem Leiter kommt dadurch zustande, dass negative Ladungsträger (Elektronen), ständig beschleunigt von einem elektrischen Feld im Leiter und wieder abgebremst durch Zusammenstöße mit Gitterionen, langsam den Leiter entlang driften. Typische Driftgeschwindigkeiten \(v_d\) von Elektronen in Metalldrähten liegen bei wenigen Millimetern pro Sekunde. Für Ladungsträger, die sich in Positiver Richtung bewegen gilt

\(v_d = \frac{I}{Aq(n/v)}\)

Mit \(q = -e\); \((n/V)\) ist die Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen, \(A\) die Querschnittsfläche und \(v_d\) die Driftgeschwindigkeit.

\(2\pi r = v T\)

also

\(T = \frac{2\pi r }{v} = \frac{2 \pi \cdot (0,42 m)}{ 1,62 \cdot 10^7 m/s} = 1,54 \cdot 10^{-7} s = 154 ns\)

1. Bewegung von Punktladungen

Ein Teilchen mit der Masse m und der Ladung q dass sich mit der Geschwindigkeit v in einer Ebene senkrecht zur Richtung eines homogenen Magnetfelds bewegt, beschreibt eine Kreisbahn. Periode und Frequenz der Kreisbewegung hängen weder vom Radius der Bahn noch von der Geschwindigkeit des Teilchens ab.

Bewegung auf Kreisbahn

\(\frac{q}{m} v B = \frac{v^2}{r}\)

Zyklotronperiode \(T = \frac{2 \pi m}{|q\vec{B}|}\)

Zyklotronfrequenz \(f = \frac{1}{T} = \frac{|q\vec{B}|}{2 \pi m}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Das Gauß'sche Gesetz für Magnetfelder besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte quellenfrei ist. Eine andere Formulierung ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt.

Die quellfreiheit wird mathematisch durch die Divergenz ausgedrückt:

\(\mathrm{div}\vec B=\vec\nabla\cdot \vec B=0\)