Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Das magnetische Feld.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Was ist die Einheit der magnetischen Feldstärke? Nr. 4383
	\(mJ\)
	\(Am\)
	\(\frac{A}{m}\)
	\(Vs\)
	\(\frac{Vs}{Am}\)
Lösungsweg Die SI-Einheit der magnetischen Feldstärke ist \(\left[H\right]=\frac{A}{m}\), also Ampere pro Meter.

5 erreichbare Punkte

Ein Proton mit der Masse \(m = 2,48 \dot 10^{-27}kg\) , Geschwindigkeit \(v =1,62 \cdot 10^7 m/s\) und der Ladung \(q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\) bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius \(r = 42 cm\) senkrecht zu einem Magnetfeld mit \(\|B\| = 6000 G\). Berechne die Persiode \(T \) der Bewegung. Nr. 2846
	\(T = 154 ns\)
	\(T = 154 s\)
Lösungsweg \(2\pi r = v T\) also \(T = \frac{2\pi r }{v} = \frac{2 \pi \cdot (0,42 m)}{ 1,62 \cdot 10^7 m/s} = 1,54 \cdot 10^{-7} s = 154 ns\) 1. Bewegung von Punktladungen Ein Teilchen mit der Masse m und der Ladung q dass sich mit der Geschwindigkeit v in einer Ebene senkrecht zur Richtung eines homogenen Magnetfelds bewegt, beschreibt eine Kreisbahn. Periode und Frequenz der Kreisbewegung hängen weder vom Radius der Bahn noch von der Geschwindigkeit des Teilchens ab. Bewegung auf Kreisbahn \(\frac{q}{m} v B = \frac{v^2}{r}\) Zyklotronperiode \(T = \frac{2 \pi m}{\|q\vec{B}\|}\) Zyklotronfrequenz \(f = \frac{1}{T} = \frac{\|q\vec{B}\|}{2 \pi m}\) 2. Einheit der Magnetfeldstärke Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Ein Proton mit der Masse \(m = 2,48 \dot 10^{-27}kg\) , Geschwindigkeit \(v =1,62 \cdot 10^7 m/s\) und der Ladung \(q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\) bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius \(r = 42 cm\) senkrecht zu einem Magnetfeld mit \(|B| = 6000 G\).

Berechne die Persiode \(T \) der Bewegung.

Nr. 2846

\(T = 154 ns\)

\(T = 154 s\)

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Ein einfach geladenes (\(q = 1e\)) Molekül mit Masse \(m = 5,35\cdot 10^{-25}kg\) wird in einer Potentialdifferenz von \(U = 50kV\) beschleunigt. Danach tritt es in ein homogenes Magnetfeld ein, welches normal auf die Flugrichtung des Moleküls steht. Wie stark muss das Magnetfeld sein, damit das Molekül auf eine Kreisbahn mit Radius \(r = 1m\) abgelenkt wird? Nr. 4150
	\(B = 0,54T\)
	\(B = 0,29nT\)
	\(B = 400T\)
	\(B = 731mT\)
Lösungsweg Aus dem Energieerhaltungssatz können wir folgern, dass die durch die Spannung verrichtete elektrische Arbeit in die kinetische Energie des Moleküls umgewandelt wird: \(E_{kin} = W_{el}\) \(\frac{mv^2}{2} = qU\) So erhalten wir die Geschwindigkeit des Moleküls \(v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}\) Um auf die gewünscht Kreisbahn zu gelangen, muss die Lorentzkraft der Zentripetalkraft dieser Kreisbahn entsprechen: \(F_L = F_Z\) \(qvB = \frac{mv^2}{r}\) Aufgelöst nach der magnetischen Flussdichte \(B\) erhalten wir \(B = \frac{mv}{qr}\) Nun kann man die oben erhaltene Geschwindigkeit in den Ausdruck für die magnetische Flussdichte einsetzen und erhält \(B = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2mU}{q}}\) Einsetzen der Werte ergibt dann \(B = 7,31\cdot10^{-1}T\) Der hier beschrieben Prozess ist die Funktionsweise eines Massenspektrometers.

4 erreichbare Punkte

Ein Proton mit der Ladung \(q = 5,6 \mu C \) bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\vec{v} = (2,5 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}}) m/s\) parallel zur x-Achse in der Ebene mit \(z = 0\) entlang der Linie mit \(y = 5 m\). Wie groß ist das von dieser Ladung im Koordinatenursprung erzeugte Magnetfeld wenn sich die Ladung im Punkt \(P = (-5,5)\) befindet? Nr. 2853
	\(B= 25 \hat{\vec{z}} \mu T\)
	\(B= 25 \hat{\vec{x}} \mu T\)
Lösungsweg \(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\) Mit \(\vec{v} =v\hat{\vec{x}}\) Berechnung von r und \|r\| \(\vec{r} = (-5 \hat{\vec{x}} + 5 \hat{\vec{y}}) m\) \(\|\vec{r}\| = \sqrt{5^2+5^2} m = 5\sqrt{2}m\) \(\hat{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{\|r\|} = \frac{(-5 \hat{\vec{x}} +5 \hat{\vec{y}}) m}{5 \sqrt{2}m} \) \(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2} = \)\(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3,5 \cdot 10^{-6} (2,5 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}} \times (-5 \hat{\vec{x}} +5 \hat{\vec{y}}) }{(5\sqrt{2})^2 } \ \ \frac{N}{A^2} \ \ \frac{C m/s^2}{m^2} \) \(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(12500 \hat{\vec{z}}) ) }{(5\sqrt{2})^2} \ \ \frac{N}{Am} =0,000025 \hat{\vec{z}} T = 25 \hat{\vec{z}} \mu T\) 1. Das Magnetfeld einer bewegten Ladung \(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\) \(\hat{\vec{r}}\)ist der Einheitsvektor, der von der Laudung q zum Punkt P des Felds zeigt; q bewegt sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}, der Proportionalitätsfaktor \mu_0 heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums): \(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} Tm/A = 4 \pi \cdot 10^{-7} N/A^2\) Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz) \(d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I (d\vec{L} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Ein Proton mit der Ladung \(q = 5,6 \mu C \) bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\vec{v} = (2,5 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}}) m/s\) parallel zur x-Achse in der Ebene mit \(z = 0\) entlang der Linie mit \(y = 5 m\). Wie groß ist das von dieser Ladung im Koordinatenursprung erzeugte Magnetfeld wenn sich die Ladung im Punkt \(P = (-5,5)\) befindet?

Nr. 2853

\(B= 25 \hat{\vec{z}} \mu T\)

\(B= 25 \hat{\vec{x}} \mu T\)

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Eine Leiterschleife mit kreisförmigem Querschnitt hat \(5 \ \ Windungen \ \ (n = 5)\), mit dem Radius von \(r=5 cm\). Durch diese fließt ein Strom von \(I=6 A\). Berechne die im Draht bewegte Ladung (in Coulomb) unter der Annahme, dass die Driftgeschwindigkeit der freien Elektronen gleich \(v_d=1,4 \cdot 10^{-4} m/s \) ist. Nr. 2854
	\(q = 7,8 \cdot 10^5 C\)
	\(q = 7,8 C\)
Lösungsweg \(v_d = \frac{L}{\Delta t}\) mit \(L = n2\pi r_{LS}= 5 \cdot 2 \pi (0,06 m) = 1,8 m\) und \(\Delta t = \frac{L}{v_d} = \frac{1,8 m}{1,4 \cdot 10^{-4} m/s } = 1,3 \cdot 10^4 s\) \(q = I \Delta t = (6 A) \cdot (1,3 \cdot 10^4 s) = 7,8 \cdot 10^5 C\) 1. Elektrischer Strom Der elektrische Strom ist definiert als die Rate des Flusses elektrischer Ladungen durch eine Querschnittsfläche, wobei \Delta t gegen null geht: \(I = \frac{\Delta q}{\Delta t}=q(n/V)A v_d \) Mit \(q = -e\); \((n/V)\)...Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen \(A\)...Querschnittsfläche \(v_d\)...Driftgeschwindigkeit. \(I\)...Strom \(\Delta q \)... gesamte freie Ladung \(\Delta t\)...Zeit 2. Bewegte Ladung ergibt sich aus \(q = I \Delta t\) \(\rightarrow v_d = \frac{L}{\Delta t}\) \(L\)...Länge des Leiters mit \(L = n2\pi r_{LS}\) 3. Driftgeschwindigkeit Ein elektrischer Strom I in einem Leiter kommt dadurch zustande, dass negative Ladungsträger (Elektronen), ständig beschleunigt von einem elektrischen Feld im Leiter und wieder abgebremst durch Zusammenstöße mit Gitterionen, langsam den Leiter entlang driften. Typische Driftgeschwindigkeiten \(v_d\) von Elektronen in Metalldrähten liegen bei wenigen Millimetern pro Sekunde. Für Ladungsträger, die sich in Positiver Richtung bewegen gilt \(v_d = \frac{I}{Aq(n/v)}\) Mit \(q = -e\); \((n/V)\) ist die Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen, \(A\) die Querschnittsfläche und \(v_d\) die Driftgeschwindigkeit.

Eine Leiterschleife mit kreisförmigem Querschnitt hat \(5 \ \ Windungen \ \ (n = 5)\), mit dem Radius von \(r=5 cm\). Durch diese fließt ein Strom von \(I=6 A\). Berechne die im Draht bewegte Ladung (in Coulomb) unter der Annahme, dass die Driftgeschwindigkeit der freien Elektronen gleich \(v_d=1,4 \cdot 10^{-4} m/s \) ist.

Nr. 2854

\(q = 7,8 \cdot 10^5 C\)

\(q = 7,8 C\)

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Zwei lange, gerade Leiter liegen parallel zur z-Achse entlang der Linie mit \(x = -3 cm\) und \(y = 0\) bzw. mit \(x = 3\) und \(y = 0\). Durch beide Leiter fließt in positiver z-Richtung ein Strom von \(1,7 A\). Berechne das Magnetfeld im Punkt P auf der y- Achse bei \(y = 6 cm\). Nr. 2856
	\(\vec{B} = (- 7,2 \cdot 10^{-6} \hat{\vec{x}} T)\)
	\(\vec{B} = (- 7,2 \cdot 10^{-3} \hat{\vec{x}} T)\)
	\(\vec{B} = (- 9,1 \cdot 10^{-6} \hat{\vec{x}} T)\)
	\(\vec{B} = (- 9,1 \hat{\vec{x}} T)\)
Lösungsweg \(\vec{B} = \vec{B_L} + \vec{B_R}\) \(\vec{B} = - 2 \|B_L\| \cos (\theta \hat{\vec{x}})\) \(\|B_L\| = \|B_R\| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2I}{r}\) \(r = \sqrt{(3 cm)^2 + (6 cm)^2} = 6,7 cm\) also \(\|B_L\| = \|B_R\| = (10^{-7} Tm/A) \cdot \frac{2 \cdot (1,7 A)}{0,067 m} = 5,07 \cdot 10^{-6} T\) \(\cos(\theta) = \frac{6 cm}{r} = \frac{6 cm}{6,7 cm} = 0,894\) \(\vec{B} = -2 \cdot (5,07 \cdot 10^{-6} T) \cdot (0,894) \hat{\vec{x}} = (- 9,1 \cdot 10^{-6} \hat{\vec{x}} T)\) 1. Magnetisches Feld eines geraden Leiterabschnittes \(B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\cos\phi_2 - \cos\phi_1)\) 2. Superposition von Magnetfeldern Magnetfeld in einem Punkt P \(B (P) = B_L + B_R\) Annahme: Durch beide Leiter fließt der gleiche Strom, und beide sind gleich weitg vom Punkt P entfernt. Deshalb müssen die Feldstärken \|B_L\| und \|B_R\| ebenfalls gleich sind.

4 erreichbare Punkte

Wie lautet die Maxwellgleichung für Magnetfelder (auch Gauß'sches Gesetz für Magnetfelder genannt)? Nr. 4399
	\(\vec\nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\)
	\(\vec\nabla \times \vec H=\frac{\partial\vec D}{\partial t}+\vec j\)
	\(\vec\nabla\cdot \vec B=0\)
	\(\vec\nabla\cdot \vec D= \rho\)
	\(\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}\)
Lösungsweg Das Gauß'sche Gesetz für Magnetfelder besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte quellenfrei ist. Eine andere Formulierung ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Die quellfreiheit wird mathematisch durch die Divergenz ausgedrückt: \(\mathrm{div}\vec B=\vec\nabla\cdot \vec B=0\)

5 erreichbare Punkte

Ein punktförmiges Teilchen mit einer Ladung \(q = - 4,56 nC\) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s\). Berechne die Kraft, die ein Magnetfeld \(B = 0,45 \hat{\vec{y}} T\) auf das Teilchen ausübt. Nr. 2849
	\(F = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\)
	\(F = -7,26 \hat{\vec{x}} mN\)
Lösungsweg \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = (- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s) \times (0,45 \hat{\vec{y}} T )] =\)\((- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times (0,45 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} T )] = -0,00726 \hat{\vec{z}} N = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\) 1. Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\) 2. Elektrische Ladung Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab. Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e. \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\) 3. Lorenzkraft Bewegt sich eine elektrische Ladung $q~$ mit der Geschwindigkeit $\vec v$ durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft: \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\) der Betrag der Lorenzkraft \(\|{\vec{v} \times \vec{B}\| = \|\vec{v}\| \|\vec{B}\| \sin\theta\) \(\|\vec{F} \|= q \|\vec{v}\| \|\vec{B}\| \sin\theta\) 4.Einheit der Magnetfeldstärke Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Ein punktförmiges Teilchen mit einer Ladung \(q = - 4,56 nC\) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s\). Berechne die Kraft, die ein Magnetfeld \(B = 0,45 \hat{\vec{y}} T\) auf das Teilchen ausübt.

Nr. 2849

\(F = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\)

\(F = -7,26 \hat{\vec{x}} mN\)

Lösungsweg

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