Die magnetische Kraft zeigt in die Richtung von \((\vec{L} \times \vec{B})\), diese ist die positive z-Richtung.

Die magnetische Kraft ist gegeben durch

\( |\vec{F}| =| I (\vec{L} \times \vec{B})| = I |L| |B| \sin(30) = (5 A) (0,005 m) (0,03 T) (\sin(30)) = 3,75 \cdot 10^{-5} \hat{\vec{z}} N \)
 

\(\hat{\vec{z}}\)...Einheitsvektor in z-Richtung

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiterabschnitt:

\(\vec{F}= I (\vec{L}\times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(\vec{L}\) ... Länge des Leiterabschnittes

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

der Betrag

 \(|{\vec{L} \times \vec{B}| = |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

\(|\vec{F}| = I |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Wir bezeichnen den Leiterabstand als \(x\). Nun kann nach dem Ampère'schen Kraftgesetz die Kraft \(F\) zwischen den beiden Leitern der Länge \(l=35\ m\) durch folgende Formel beschrieben werden:

\(F=\frac{\mu_0*I^2*l}{2*\pi*x}\)

Somit ergibt sich daraus die Arbeit W:

\(W=\int_{x_1}^{x_2} F(x) dx\)

wobei hier \(x_1=10 \ cm\) und \(x_2=30\ cm\) ist.

Jetzt muss nur noch integriert werden.

\(W=\frac{\mu_0*I^2*l}{2*\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}\)

\(W=\frac{\mu_0*I^2*l}{2*\pi}ln\frac{x_2}{x_1}\)

Einsetzen der Werte liefert mit der magnetischen Feldkonstante \(\mu_0 = 1,2566\ldots \cdot 10^{-6}\ \frac{N}{A^2} \ \approx \ 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{N}{A^2}\) eine Arbeit von etwa \(0,0123 \ J = 12,3\ mJ\)

\( E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \omega^2 r^2 = \frac{1}{2} (1,67 \cdot 10^{-27} kg}) (3,26 \cdot 10^7 rad/s)^2 (0,7)^2 = 4,34 \cdot 10^{-13} J\)

\(E_{kin} = 4,34 \cdot 10^{-13} J \cdot \frac{1 eV}{1,60 \cdot 10^{-19} J} = 271 keV\)

1. Kinetische Energie

\(E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2\)

2. Zentripetalbeschleunigung

\(A_n = -a_{ZP} = v^2/r\)

mit

\(\omega = 2 \pi f = \frac{|qB|}{m}\)

3. Maßeinheiten

Elektronenvolt

Das Elektronenvolt (eV) ist die Änderung der elektrischen Energie eines Teilchens mit der Laudung e, das sich einer Potentialdifferenz \Delta \(\phi = \phi_b - \phi_a = 1 \ \ Volt\) von a nach b bewegt:

\(1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} CV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = (- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s) \times (0,45 \hat{\vec{y}} T )] =\)\((- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times (0,45 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} T )] = -0,00726 \hat{\vec{z}} N = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\)

1. Kreuzprodukt

\(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\)

2. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\)

3. Lorenzkraft

Bewegt sich eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft:

\(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\)

der Betrag der Lorenzkraft

\(|{\vec{v} \times \vec{B}| = |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

\(|\vec{F} |= q |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta\)

4.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19}\)

\(E_{kin} = 5 keV = 8,01 \cdot 10^{-16} J\)

\(v = \sqrt{\frac{2E_{kin}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot (8,01 \cdot 10^{-16} J)}{ 1,67 \cdot 10^{-27}}} = 9,7\cdot 10^5 m/s\)

\(r= \frac{mv}{|qB|} = \frac{(1,67 \cdot 10^{-27}) (9,7\cdot 10^5 m/s)}{|(-1,602 \cdot 10^{-19} * 0,487 T)} = 0,02 m = 2 mm\)

1. Geschwindigkeit berechnet man mit dem zweiten Newton’schen Axiom

\(F = m a \rightarrow v |qB| = \frac{mv^2}{r}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

3. Maßeinheiten

\(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\)... Elementarladung

\(1,67 \cdot 10^{-27}\)... Masse des Elektrons

\( 1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(d\vec{L} = -dL \sin \theta \hat{\vec{x}} + dL \cos \theta \hat{\vec{y}}\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})= I (-r \sin \theta \hat{\vec{x}} + r \cos \theta \hat{\vec{y}}) \times B \hat{\vec{z}} =\)\( IrB ( \sin \theta d\theta \hat{\vec{y}} + \cos \theta d\theta \hat{\vec{x}})\)

Integriere nun jede Komponente von \(dF\) von \(\theta = 0\) bis \(\theta = \pi\)

\( F = \int dF = IrB \hat{\vec{x}} \int_0{^\pi} cos \theta d\theta + IrB \hat{\vec{y}} \int_0{^\pi} sin \theta d\theta = IrB \hat{\vec{x}} \cdot (0) + IrB \hat{\vec{y}} \cdot (2) = 2IrB\hat{\vec{y}}\)

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf ein Stromelement

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(d\vec{L}\) ... Länge des Stromelement

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Aus dem Energieerhaltungssatz können wir folgern, dass die durch die Spannung verrichtete elektrische Arbeit in die kinetische Energie des Moleküls umgewandelt wird:

\(E_{kin} = W_{el}\)

\(\frac{mv^2}{2} = qU\)

So erhalten wir die Geschwindigkeit des Moleküls

\(v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}\)

Um auf die gewünscht Kreisbahn zu gelangen, muss die Lorentzkraft der Zentripetalkraft dieser Kreisbahn entsprechen:

\(F_L = F_Z\)

\(qvB = \frac{mv^2}{r}\)

Aufgelöst nach der magnetischen Flussdichte \(B\) erhalten wir

\(B = \frac{mv}{qr}\)

Nun kann man die oben erhaltene Geschwindigkeit in den Ausdruck für die magnetische Flussdichte einsetzen und erhält

\(B = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2mU}{q}}\)

Einsetzen der Werte ergibt dann

\(B = 7,31\cdot10^{-1}T\)

Der hier beschrieben Prozess ist die Funktionsweise eines Massenspektrometers.

\(\vec{B} = \vec{B_L} + \vec{B_R}\)

\(\vec{B} = - 2 |B_L| \cos (\theta \hat{\vec{x}})\)

\(|B_L| = |B_R| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2I}{r}\)

\(r = \sqrt{(3 cm)^2 + (6 cm)^2} = 6,7 cm\)

also

\(|B_L| = |B_R| = (10^{-7} Tm/A) \cdot \frac{2 \cdot (1,7 A)}{0,067 m} = 5,07 \cdot 10^{-6} T\)

\(\cos(\theta) = \frac{6 cm}{r} = \frac{6 cm}{6,7 cm} = 0,894\)

\(\vec{B} = -2 \cdot (5,07 \cdot 10^{-6} T) \cdot (0,894) \hat{\vec{x}} = (- 9,1 \cdot 10^{-6} \hat{\vec{x}} T)\)

1. Magnetisches Feld eines geraden Leiterabschnittes

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\cos\phi_2 - \cos\phi_1)\)

2. Superposition von Magnetfeldern

Magnetfeld in einem Punkt P

\(B (P) = B_L + B_R\)

Annahme: Durch beide Leiter fließt der gleiche Strom, und beide sind gleich weitg vom Punkt P entfernt. Deshalb müssen die Feldstärken |B_L| und |B_R| ebenfalls gleich sind.