Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Das magnetische Feld.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Ein einfach geladenes ($q = 1e$) Molekül mit Masse $m = 5,35\cdot 10^{-25}kg$ wird in einer Potentialdifferenz von $U = 50kV$ beschleunigt. Danach tritt es in ein homogenes Magnetfeld ein, welches normal auf die Flugrichtung des Moleküls steht. Wie stark muss das Magnetfeld sein, damit das Molekül auf eine Kreisbahn mit Radius $r = 1m$ abgelenkt wird? Nr. 4150
	$B = 0,54T$
	$B = 0,29nT$
	$B = 400T$
	$B = 731mT$
Lösungsweg Aus dem Energieerhaltungssatz können wir folgern, dass die durch die Spannung verrichtete elektrische Arbeit in die kinetische Energie des Moleküls umgewandelt wird: $E_{kin} = W_{el}$ $\frac{mv^2}{2} = qU$ So erhalten wir die Geschwindigkeit des Moleküls $v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$ Um auf die gewünscht Kreisbahn zu gelangen, muss die Lorentzkraft der Zentripetalkraft dieser Kreisbahn entsprechen: $F_L = F_Z$ $qvB = \frac{mv^2}{r}$ Aufgelöst nach der magnetischen Flussdichte $B$ erhalten wir $B = \frac{mv}{qr}$ Nun kann man die oben erhaltene Geschwindigkeit in den Ausdruck für die magnetische Flussdichte einsetzen und erhält $B = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$ Einsetzen der Werte ergibt dann $B = 7,31\cdot10^{-1}T$ Der hier beschrieben Prozess ist die Funktionsweise eines Massenspektrometers.

4 erreichbare Punkte

Wie lautet die Maxwellgleichung für Magnetfelder (auch Gauß'sches Gesetz für Magnetfelder genannt)? Nr. 4399
	$\vec\nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$
	$\vec\nabla \times \vec H=\frac{\partial\vec D}{\partial t}+\vec j$
	$\vec\nabla\cdot \vec B=0$
	$\vec\nabla\cdot \vec D= \rho$
	$\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}$
Lösungsweg Das Gauß'sche Gesetz für Magnetfelder besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte quellenfrei ist. Eine andere Formulierung ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Die quellfreiheit wird mathematisch durch die Divergenz ausgedrückt: $\mathrm{div}\vec B=\vec\nabla\cdot \vec B=0$

5 erreichbare Punkte

Ein punktförmiges Teilchen mit einer Ladung \(q = - 4,56 nC\) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s\). Berechne die Kraft, die ein Magnetfeld \(B = 0,45 \hat{\vec{y}} T\) auf das Teilchen ausübt. Nr. 2849
	\(F = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\)
	\(F = -7,26 \hat{\vec{x}} mN\)
Lösungsweg \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = (- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s) \times (0,45 \hat{\vec{y}} T )] =\)\((- 4,56) [(3,54 \cdot 10^6 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times (0,45 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} T )] = -0,00726 \hat{\vec{z}} N = -7,26 \hat{\vec{z}} mN\) 1. Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\) 2. Elektrische Ladung Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab. Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e. \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\) 3. Lorenzkraft Bewegt sich eine elektrische Ladung $q~$ mit der Geschwindigkeit $\vec v$ durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft: \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\) der Betrag der Lorenzkraft \(\|{\vec{v} \times \vec{B}\| = \|\vec{v}\| \|\vec{B}\| \sin\theta\) \(\|\vec{F} \|= q \|\vec{v}\| \|\vec{B}\| \sin\theta\) 4.Einheit der Magnetfeldstärke Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Ein punktförmiges Teilchen mit einer Ladung $q = - 4,56 nC$ bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $3,54 \cdot 10^6 \hat{\vec{x}} m/s$. Berechne die Kraft, die ein Magnetfeld $B = 0,45 \hat{\vec{y}} T$ auf das Teilchen ausübt.

Nr. 2849

$F = -7,26 \hat{\vec{z}} mN$

$F = -7,26 \hat{\vec{x}} mN$

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

An der Nordhalbkugel hat das Erdmagnetfeld an einer bestimmten Stelle eine Stärke von \(0,6 \ \ G\) (Einheit Gauß) und ist nach unten, sowie nach Norden gerichtet, wobei es einen Winkel von etwa \(70^\circ\) mit der Horizontalen einschließt. Ein Proton \((q=+e)\) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\\ 10^7\\0\end{pmatrix} m/s \) horizontal nach Norden. Berechne die auf das Proton wirkende magnetische Kraft a) mittels \(\|F\| = q\|v\|\|B\|\sin \theta\) und b) vektoriell als \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\), indem v und B in Komponentenschreibweise mit den Einheitsvektoren \(\hat{\vec{x}}\), \(\hat{\vec{y}} \)und \(\hat{\vec{Z}} \)formuliert werden Nr. 2841
	a) \(F= 9,0 \cdot 10^{-17} N\) b) \(F = ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N\)
	a) \(F= 9N\) b) \(F = ( - 9 \hat{\vec{x}}) N\)
Lösungsweg a) \(F = q v (-B \sin \theta) = - (1,6\cdot 10^{-19} C) \cdot (10 \cdot 10^6 m/s) = 9,0 \cdot 10^{-17} N\) b) \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = - 1,6 \cdot 10^{-19} \left( \begin{pmatrix}0\\ 10^7\\ 0\end{pmatrix}\ \ m/s \times\begin{pmatrix}0\\ 10 \cdot 10^6 \\ 10 \cdot 10^6 \end{pmatrix}\ \ T\right) =\)\( (- 9,0 \cdot 10^{-17} N) \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N\) \(\vec{v} = v_y \hat{\vec{y}}\) \(\vec{B} = B_y \hat{\vec{y}} + B_z \hat{\vec{z}}\) \({\vec{y}}\)...Einheitsvektor in y Richtung \({\vec{z}}\)...Einheitsvektor in z Richtung \(F = q (v x B) = \)\(q (v_y \hat{\vec{y}}) \times (B_y \hat{\vec{y}} + B_z \hat{\vec{z}}) = q v_y B_y (\hat{\vec{\vec{y}}} \times \hat{\vec{y}}) + q v_y B_z (\hat{\vec{y}} \times \hat{\vec{z}}) = q v_y B_z \hat{\ve{x}}\)\(= ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N\) \({\vec{x}} \)...Einheitsvektor in x Richtung 1. Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}\) 2. Elektrische Ladung Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab. Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e. \(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\) 3. Lorenzkraft Bewegt sich eine elektrische Ladung $q~$ mit der Geschwindigkeit $\vec v$ durch ein magnetisches Feld \(\vec{B}\), die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft: \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\) der Betrag der Lorenzkraft \(\|{\vec{v} \times \vec{B}\| = \|\vec{v}\| \|\vec{B}\| \sin\theta\) \(\|\vec{F} \|= q \|\vec{v}\| \|\vec{B}\| \sin\theta\) 4.Einheit der Magnetfeldstärke Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

An der Nordhalbkugel hat das Erdmagnetfeld an einer bestimmten Stelle eine Stärke von $0,6 \ \ G$ (Einheit Gauß) und ist nach unten, sowie nach Norden gerichtet, wobei es einen Winkel von etwa $70^\circ$ mit der Horizontalen einschließt.

Ein Proton $(q=+e)$ bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\\ 10^7\\0\end{pmatrix} m/s $ horizontal nach Norden. Berechne die auf das Proton wirkende magnetische Kraft

a) mittels $|F| = q|v||B|\sin \theta$ und

b) vektoriell als $\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})$, indem v und B in Komponentenschreibweise mit den Einheitsvektoren $\hat{\vec{x}}$, $\hat{\vec{y}} $und $\hat{\vec{Z}} $formuliert werden

Nr. 2841

a) $F= 9,0 \cdot 10^{-17} N$

b) $F = ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N$

a) $F= 9N$

b) $F = ( - 9 \hat{\vec{x}}) N$

Lösungsweg

a)

$F = q v (-B \sin \theta) = - (1,6\cdot 10^{-19} C) \cdot (10 \cdot 10^6 m/s) = 9,0 \cdot 10^{-17} N$

b)

$\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B}) = - 1,6 \cdot 10^{-19} \left( \begin{pmatrix}0\\ 10^7\\ 0\end{pmatrix}\ \ m/s \times\begin{pmatrix}0\\ 10 \cdot 10^6 \\ 10 \cdot 10^6 \end{pmatrix}\ \ T\right) =$$ (- 9,0 \cdot 10^{-17} N) \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N$

$\vec{v} = v_y \hat{\vec{y}}$

$\vec{B} = B_y \hat{\vec{y}} + B_z \hat{\vec{z}}$

${\vec{y}}$...Einheitsvektor in y Richtung

${\vec{z}}$...Einheitsvektor in z Richtung

$F = q (v x B) = $$q (v_y \hat{\vec{y}}) \times (B_y \hat{\vec{y}} + B_z \hat{\vec{z}}) = q v_y B_y (\hat{\vec{\vec{y}}} \times \hat{\vec{y}}) + q v_y B_z (\hat{\vec{y}} \times \hat{\vec{z}}) = q v_y B_z \hat{\ve{x}}$$= ( - 9,0 \cdot 10^{-17} \hat{\vec{x}}) N$

${\vec{x}} $...Einheitsvektor in x Richtung
1. Kreuzprodukt

$\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}y_1 \cdot z_2 -z_1 \cdot y_2\\- (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\x_1 \cdot y_2 y_1\cdot x_2\\\end{pmatrix}$

2. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

$e = 1,6 \cdot 10^{-19} C$

3. Lorenzkraft

Bewegt sich eine elektrische Ladung $q~$ mit der Geschwindigkeit $\vec v$ durch ein magnetisches Feld $\vec{B}$, die die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorenzkraft:

$\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})$

der Betrag der Lorenzkraft

$|{\vec{v} \times \vec{B}| = |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta$

$|\vec{F} |= q |\vec{v}| |\vec{B}| \sin\theta$

4.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit $1 G = 10^{-4} T$

2 erreichbare Punkte

Berechne das Magnetfeld im Mittelpunkt einer quadratischen Leiterschleife mit der Seitenlänge \(L = 40 cm\), durch die ein Strom von \(2,5 A \) fließt. Nr. 2855
	\(B = 6,8 \cdot 10^{-5} T\)
	\(B = 6,8 T\)
Lösungsweg \(B_S = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{1/2 L} (\sin(45) - \sin(-45))\)\( = \frac{1,2 \cdot 10^{-6}}{(4\pi)} \frac{2,5}{(1/2) (0,04 m)} (\sin(45) - \sin(-45)) = 1,7 \cdot 10^{-5} T\) \(B = 4B_S = 4 \cdot (1,7 \cdot 10^{-5} T) = 6,8 \cdot 10^{-5} T\) 1. Summe der Beträge Das Magnetfeld im Mittelpunkt der Leiterschleife ist gleich der Summe der Beträge der vier Seitenabschintte. Annahme: alle vier Felder sind gleich und alle Felder zeigen aus der Papierebene heraus. 2. Magnetfeld eines geraden Leiterabschnitts (siehe Abbildung) \(B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\cos\phi_2 - \cos\phi_1)\) Mithilfe des Feldstärke einer einzelnen Seite und multipliziert mit 4, ergibt das Gesamtfeld.

Berechne das Magnetfeld im Mittelpunkt einer quadratischen Leiterschleife mit der Seitenlänge $L = 40 cm$, durch die ein Strom von $2,5 A $ fließt.

Nr. 2855

$B = 6,8 \cdot 10^{-5} T$

$B = 6,8 T$

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Ein Zyklotron arbeitet mit einem Magnetfeld von \(0,340 T\), der maximale Radius beträgt \(0,7 m\). Das Proton trägt Ladung \(q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\) und Masse \(m = 1,67 \cdot 10^{-27}\) . Gib die Zyklotronfrequenz \(f\) an. Nr. 2847
	\(f= 5,2 MHz\)
	\(f= 5,2 Hz\)
Lösungsweg \(F = ma_n\) \(v \|qB\| = m\frac{v^2}{r}\) \(\omega r \|qB\| = m\frac{\omega^2r^2}{r}\) \(\omega = \frac{\|qB\|}{m} = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} C) \cdot (0,340 T)}{1,67 \cdot 10^{-27} kg} = 3,26 \cdot 10^7 rad/s\) \(f = \frac{\omega}{2 \pi} = 5,2 \cdot 10^6 Hz\) 1. Das zweite Newton’schen Axiom \(F = m a \rightarrow v \|qB\| = \frac{mv^2}{r}\) \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\) 2. Zentripetalbeschleunigung \(A_n = -a_{ZP} = v^2/r\) mit \(\omega = 2 \pi f = \frac{\|qB\|}{m}\) 3. Tipp Wende das Zweite Newtonsche Axiom an mit \(\vec{F} = q({\vec{v} \times \vec{B})\). Berechne dann mithilfe der beziehung \(v = r\omega\) die Frequenz und die Geschwindigkeit

Ein Zyklotron arbeitet mit einem Magnetfeld von $0,340 T$, der maximale Radius beträgt $0,7 m$. Das Proton trägt Ladung $q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} C$ und Masse $m = 1,67 \cdot 10^{-27}$ .

Gib die Zyklotronfrequenz $f$ an.

Nr. 2847

$f= 5,2 MHz$

$f= 5,2 Hz$

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Zwei stromdurchflossene gerade Leiter verlaufen parallel mit $10\ cm$ Abstand zueinander. Ihre Ströme fließen in die selbe Richtung mit je $40\ A$. Welche Arbeit muss aufgewendet werden, um diese Leiter entlang einer Länge von $35\ m$ auf $30\ cm$ auseinander zu bringen? Nr. 4381
	$-5,6\ mJ$
	$12,3\ mJ$
	$1,23\ mJ$
	$56\ mJ$
	$-15\ mJ$
Lösungsweg Wir bezeichnen den Leiterabstand als $x$. Nun kann nach dem Ampère'schen Kraftgesetz die Kraft $F$ zwischen den beiden Leitern der Länge $l=35\ m$ durch folgende Formel beschrieben werden: *$F=\frac{\mu_0I^2l}{2\pix}$* Somit ergibt sich daraus die Arbeit W: $W=\int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$ wobei hier $x_1=10 \ cm$ und $x_2=30\ cm$ ist. Jetzt muss nur noch integriert werden. $W=\frac{\mu_0I^2l}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}$ $W=\frac{\mu_0I^2l}{2\pi}ln\frac{x_2}{x_1}$ Einsetzen der Werte liefert mit der magnetischen Feldkonstante $\mu_0 = 1,2566\ldots \cdot 10^{-6}\ \frac{N}{A^2} \ \approx \ 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{N}{A^2}$ eine Arbeit von etwa $0,0123 \ J = 12,3\ mJ$

5 erreichbare Punkte

Ein Elektron \((q= -e)\) mit einer Kinetischen Energie von \(5 keV\) bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius \(r= 2 mm\), die sich in einem senkrecht zur Bahn gerichteten Magnetfeld mit einer Feldstärke von \(0,487 T\) befindet. Berechne die Frequenz \(f\) und die Periode \(T\) der Kreisbewegung. Nr. 2851
	\(f = 7,4 MHz\) \(T = 1\)
	\(f = 7,4 Hz\) \(T = 1\)
Lösungsweg \(\omega = \frac{\|qB\|}{m} = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} C) \cdot (0,487 T)}{1,67 \cdot 10^{-27} kg} = 4,66 \cdot 10^7 rad/s\) \(f = \frac{\omega}{2 \pi} = 7,4 \cdot 10^6 Hz = 7,4 MHz\) \(T = \frac{1}{f} = \frac{1}{7,4 \cdot 10^6 Hz} = 3,4 10^{-9}\) 1. Bewegung von Punktladungen Ein Teilchen mit der Masse m und der Ladung q dass sich mit der Geschwindigkeit v in einer Ebene senkrecht zur Richtung eines homogenen Magnetfelds bewegt, beschreibt eine Kreisbahn. Periode und Frequenz der Kreisbewegung hängen weder vom Radius der Bahn noch von der Geschwindigkeit des Teilchens ab. Bewegung auf Kreisbahn \(\frac{q}{m} v B = \frac{v^2}{r}\) Zyklotronperiode \(T = \frac{2 \pi m}{\|q\vec{B}\|}\) Zyklotronfrequenz \(f = \frac{1}{T} = \frac{\|q\vec{B}\|}{2 \pi m}\) 2. Einheit der Magnetfeldstärke Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\) 3. Maßeinheiten \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\)... Elementarladung \(1,67 \cdot 10^{-27}\)... Masse des Elektrons \( 1 eV = 1,6 \cdot 10^{-19} J\)

Ein Elektron $(q= -e)$ mit einer Kinetischen Energie von $5 keV$ bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius $r= 2 mm$, die sich in einem senkrecht zur Bahn gerichteten Magnetfeld mit einer Feldstärke von $0,487 T$ befindet.

Berechne die Frequenz $f$ und die Periode $T$ der Kreisbewegung.

Nr. 2851

$f = 7,4 MHz$

$T = 1$

$f = 7,4 Hz$

$T = 1$

Lösungsweg

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Ein einfach geladenes (\(q = 1e\)) Molekül mit Masse \(m = 5,35\cdot 10^{-25}kg\) wird in einer Potentialdifferenz von \(U = 50kV\) beschleunigt. Danach tritt es in ein homogenes Magnetfeld ein, welches normal auf die Flugrichtung des Moleküls steht. Wie stark muss das Magnetfeld sein, damit das Molekül auf eine Kreisbahn mit Radius \(r = 1m\) abgelenkt wird? Nr. 4150
	\(B = 0,54T\)
	\(B = 0,29nT\)
	\(B = 400T\)
	\(B = 731mT\)
Lösungsweg Aus dem Energieerhaltungssatz können wir folgern, dass die durch die Spannung verrichtete elektrische Arbeit in die kinetische Energie des Moleküls umgewandelt wird: \(E_{kin} = W_{el}\) \(\frac{mv^2}{2} = qU\) So erhalten wir die Geschwindigkeit des Moleküls \(v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}\) Um auf die gewünscht Kreisbahn zu gelangen, muss die Lorentzkraft der Zentripetalkraft dieser Kreisbahn entsprechen: \(F_L = F_Z\) \(qvB = \frac{mv^2}{r}\) Aufgelöst nach der magnetischen Flussdichte \(B\) erhalten wir \(B = \frac{mv}{qr}\) Nun kann man die oben erhaltene Geschwindigkeit in den Ausdruck für die magnetische Flussdichte einsetzen und erhält \(B = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2mU}{q}}\) Einsetzen der Werte ergibt dann \(B = 7,31\cdot10^{-1}T\) Der hier beschrieben Prozess ist die Funktionsweise eines Massenspektrometers.

Wie lautet die Maxwellgleichung für Magnetfelder (auch Gauß'sches Gesetz für Magnetfelder genannt)? Nr. 4399
	\(\vec\nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\)
	\(\vec\nabla \times \vec H=\frac{\partial\vec D}{\partial t}+\vec j\)
	\(\vec\nabla\cdot \vec B=0\)
	\(\vec\nabla\cdot \vec D= \rho\)
	\(\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}\)
Lösungsweg Das Gauß'sche Gesetz für Magnetfelder besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte quellenfrei ist. Eine andere Formulierung ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Die quellfreiheit wird mathematisch durch die Divergenz ausgedrückt: \(\mathrm{div}\vec B=\vec\nabla\cdot \vec B=0\)

Zwei stromdurchflossene gerade Leiter verlaufen parallel mit \(10\ cm\) Abstand zueinander. Ihre Ströme fließen in die selbe Richtung mit je \(40\ A\). Welche Arbeit muss aufgewendet werden, um diese Leiter entlang einer Länge von \(35\ m\) auf \(30\ cm\) auseinander zu bringen? Nr. 4381
	\(-5,6\ mJ\)
	\(12,3\ mJ\)
	\(1,23\ mJ\)
	\(56\ mJ\)
	\(-15\ mJ\)
Lösungsweg Wir bezeichnen den Leiterabstand als \(x\). Nun kann nach dem Ampère'schen Kraftgesetz die Kraft \(F\) zwischen den beiden Leitern der Länge \(l=35\ m\) durch folgende Formel beschrieben werden: *\(F=\frac{\mu_0I^2l}{2\pix}\)* Somit ergibt sich daraus die Arbeit W: \(W=\int_{x_1}^{x_2} F(x) dx\) wobei hier \(x_1=10 \ cm\) und \(x_2=30\ cm\) ist. Jetzt muss nur noch integriert werden. \(W=\frac{\mu_0I^2l}{2\pi}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}\) \(W=\frac{\mu_0I^2l}{2\pi}ln\frac{x_2}{x_1}\) Einsetzen der Werte liefert mit der magnetischen Feldkonstante \(\mu_0 = 1,2566\ldots \cdot 10^{-6}\ \frac{N}{A^2} \ \approx \ 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{N}{A^2}\) eine Arbeit von etwa \(0,0123 \ J = 12,3\ mJ\)

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