\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Mit

\(\vec{v} =v\hat{\vec{x}}\)

Berechnung von r und |r|

\(\vec{r} = (4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) m\)

\(|\vec{r}| = \sqrt{4^2+3^2} m = 5m\)

\(\hat{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{|r|} = \frac{(4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) m}{5 m} = 0,8 \hat{\vec{x}} - 0,6 \hat{\vec{y}}\)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2} = \)\(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3,5 \cdot 10^{-6} (4 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}} \times (4 \hat{\vec{x}} - 3 \hat{\vec{y}}) ) }{5^2 } \ \ \frac{N}{A^2} \ \ \frac{C m/s^2}{m^2} \) \(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(12000 \hat{\vec{z}}) ) }{5^2} \ \ \frac{N}{Am} =3,36 \cdot 10^{-11} \hat{\vec{z}} T\)

1. Das Magnetfeld einer bewegten Ladung

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(\hat{\vec{r}}\)ist der Einheitsvektor, der von der Laudung q zum Punkt P des Felds zeigt; q bewegt sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}, der Proportionalitätsfaktor \mu_0 heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums):

\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} Tm/A = 4 \pi \cdot 10^{-7} N/A^2\)

Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz)  

\(d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I (d\vec{L} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Im Inneren einer dicht gewickelten Ringspule

\(\vec{B} = \frac{\mu_0}{2 \pi}\frac{nI}{r}\)

\(B_S = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{1/2 L} (\sin(45) - \sin(-45))\)\( = \frac{1,2 \cdot 10^{-6}}{(4\pi)} \frac{2,5}{(1/2) (0,04 m)} (\sin(45) - \sin(-45)) = 1,7 \cdot 10^{-5} T\)

\(B = 4B_S = 4 \cdot (1,7 \cdot 10^{-5} T) = 6,8 \cdot 10^{-5} T\)

1. Summe der Beträge

Das Magnetfeld im Mittelpunkt der Leiterschleife ist gleich der Summe der Beträge der vier Seitenabschintte.

Annahme: alle vier Felder sind gleich und alle Felder zeigen aus der Papierebene heraus.

2. Magnetfeld eines geraden Leiterabschnitts (siehe Abbildung)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r} (\cos\phi_2 - \cos\phi_1)\)

Mithilfe des Feldstärke einer einzelnen Seite und multipliziert mit 4, ergibt das Gesamtfeld.

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(d\vec{L} = -dL \sin \theta \hat{\vec{x}} + dL \cos \theta \hat{\vec{y}}\)

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})= I (-r \sin \theta \hat{\vec{x}} + r \cos \theta \hat{\vec{y}}) \times B \hat{\vec{z}} =\)\( IrB ( \sin \theta d\theta \hat{\vec{y}} + \cos \theta d\theta \hat{\vec{x}})\)

Integriere nun jede Komponente von \(dF\) von \(\theta = 0\) bis \(\theta = \pi\)

\( F = \int dF = IrB \hat{\vec{x}} \int_0{^\pi} cos \theta d\theta + IrB \hat{\vec{y}} \int_0{^\pi} sin \theta d\theta = IrB \hat{\vec{x}} \cdot (0) + IrB \hat{\vec{y}} \cdot (2) = 2IrB\hat{\vec{y}}\)

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf ein Stromelement

\(d\vec{F} =I (d\vec{L} \times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(d\vec{L}\) ... Länge des Stromelement

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(v_d = \frac{L}{\Delta t}\)

mit

\(L = n2\pi r_{LS}= 5 \cdot 2 \pi (0,06 m) = 1,8 m\)

und

\(\Delta t = \frac{L}{v_d} = \frac{1,8 m}{1,4 \cdot 10^{-4} m/s } = 1,3 \cdot 10^4 s\)

\(q = I \Delta t = (6 A) \cdot (1,3 \cdot 10^4 s) = 7,8 \cdot 10^5 C\)

1. Elektrischer Strom

Der elektrische Strom ist definiert als die Rate des Flusses elektrischer Ladungen durch eine Querschnittsfläche, wobei \Delta t gegen null geht:

\(I = \frac{\Delta q}{\Delta t}=q(n/V)A v_d \)

Mit

\(q = -e\);

\((n/V)\)...Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen

\(A\)...Querschnittsfläche

\(v_d\)...Driftgeschwindigkeit.

\(I\)...Strom

\(\Delta q \)... gesamte freie Ladung

\(\Delta t\)...Zeit

2. Bewegte Ladung ergibt sich aus

\(q = I \Delta t\)

\(\rightarrow v_d = \frac{L}{\Delta t}\)

\(L\)...Länge des Leiters

mit

\(L = n2\pi r_{LS}\)

3. Driftgeschwindigkeit

Ein elektrischer Strom I in einem Leiter kommt dadurch zustande, dass negative Ladungsträger (Elektronen), ständig beschleunigt von einem elektrischen Feld im Leiter und wieder abgebremst durch Zusammenstöße mit Gitterionen, langsam den Leiter entlang driften. Typische Driftgeschwindigkeiten \(v_d\) von Elektronen in Metalldrähten liegen bei wenigen Millimetern pro Sekunde. Für Ladungsträger, die sich in Positiver Richtung bewegen gilt

\(v_d = \frac{I}{Aq(n/v)}\)

Mit \(q = -e\); \((n/V)\) ist die Anzahldichte der freien Elektronenn n die Anzahl der Windungen, \(A\) die Querschnittsfläche und \(v_d\) die Driftgeschwindigkeit.

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

Mit

\(\vec{v} =v\hat{\vec{x}}\)

Berechnung von r und |r|

\(\vec{r} = (-5 \hat{\vec{x}} + 5 \hat{\vec{y}}) m\)

\(|\vec{r}| = \sqrt{5^2+5^2} m = 5\sqrt{2}m\)

\(\hat{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{|r|} = \frac{(-5 \hat{\vec{x}} +5 \hat{\vec{y}}) m}{5 \sqrt{2}m} \)

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2} = \)\(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3,5 \cdot 10^{-6} (2,5 \cdot 10^3 \hat{\vec{x}} \times (-5 \hat{\vec{x}} +5 \hat{\vec{y}}) }{(5\sqrt{2})^2 } \ \ \frac{N}{A^2} \ \ \frac{C m/s^2}{m^2} \) \(= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(12500 \hat{\vec{z}}) ) }{(5\sqrt{2})^2} \ \ \frac{N}{Am} =0,000025 \hat{\vec{z}} T = 25 \hat{\vec{z}} \mu T\)

1. Das Magnetfeld einer bewegten Ladung

\(B = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q (\vec{v} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(\hat{\vec{r}}\)ist der Einheitsvektor, der von der Laudung q zum Punkt P des Felds zeigt; q bewegt sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}, der Proportionalitätsfaktor \mu_0 heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums):

\(\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} Tm/A = 4 \pi \cdot 10^{-7} N/A^2\)

Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz)  

\(d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I (d\vec{L} \times \hat{\vec{r}})}{r^2}\)

\(2\pi r = v T\)

also

\(T = \frac{2\pi r }{v} = \frac{2 \pi \cdot (0,42 m)}{ 1,62 \cdot 10^7 m/s} = 1,54 \cdot 10^{-7} s = 154 ns\)

1. Bewegung von Punktladungen

Ein Teilchen mit der Masse m und der Ladung q dass sich mit der Geschwindigkeit v in einer Ebene senkrecht zur Richtung eines homogenen Magnetfelds bewegt, beschreibt eine Kreisbahn. Periode und Frequenz der Kreisbewegung hängen weder vom Radius der Bahn noch von der Geschwindigkeit des Teilchens ab.

Bewegung auf Kreisbahn

\(\frac{q}{m} v B = \frac{v^2}{r}\)

Zyklotronperiode \(T = \frac{2 \pi m}{|q\vec{B}|}\)

Zyklotronfrequenz \(f = \frac{1}{T} = \frac{|q\vec{B}|}{2 \pi m}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

\(v = \frac{r |qB|}{m} = \frac{(0,42 m) (1,6 \cdot 10^{-19} C) (0,600 T)}{2,48 \dot 10^{-27}} = 1,62 \cdot 10^7 m/s\)

1. Geschwindigkeit berechnet man mit dem zweiten Newton’schen Axiom

\(F = m a \rightarrow v |qB| = \frac{mv^2}{r}\)

2. Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)

Die magnetische Kraft zeigt in die Richtung von \((\vec{L} \times \vec{B})\), diese ist die positive z-Richtung.

Die magnetische Kraft ist gegeben durch

\( |\vec{F}| =| I (\vec{L} \times \vec{B})| = I |L| |B| \sin(30) = (5 A) (0,005 m) (0,03 T) (\sin(30)) = 3,75 \cdot 10^{-5} \hat{\vec{z}} N \)
 

\(\hat{\vec{z}}\)...Einheitsvektor in z-Richtung

1. Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung: positive und negative. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab.

Die elektrische Ladung ist quantisiert, und ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e. Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons ist +e.

\(e = 1,6 \cdot 10^{-19} C\)

2. Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiterabschnitt:

\(\vec{F}= I (\vec{L}\times \vec{B})\)

\(I\) ... Strom

\(\vec{L}\) ... Länge des Leiterabschnittes

\(\vec{B}\) ... magnetisches Feld

der Betrag

 \(|{\vec{L} \times \vec{B}| = |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

\(|\vec{F}| = I |\vec{L}| |\vec{B}| \sin\theta \)

3.Einheit der Magnetfeldstärke

Die SI-Einheit der Magnetfeldstärke ist ein Tesla (T). Häuftig verwendet wird auch die Einheit Gauß (G) mit \(1 G = 10^{-4} T\)