Der Gradient des Skalarfeldes ist

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T = \left( 1 \qquad ,\qquad 2z^2 \qquad ,\qquad 2y^2 \right)^T\)

Im gefragten Punkt zeigt der größte Anstieg also in Richtung \(grad(f) = \left( 1 \qquad ,\qquad 2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T\)

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T\)

Der Gradient ist also ein Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen des Skalarfelds sind. Er gibt in jedem Punkt die Richtung der größten Steigung des Skalarfelds an, und der Betrag des Gradienten ist gleich ebendieser Steigung in dem betrachteten Punkt.

In Komponentenschreibweise gilt hier der Definition nach für eine feste Komponente \(i\)

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1} {\overset{3}{\sum}} \underset{l,m=1} {\overset{3}{\sum}} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\),

wobei \(\varepsilon_{ijk}\)  den total antisymmetrische \(\varepsilon\)-Tensor darstellt. Benutzt man nun, dass der  \(\varepsilon\)-Tensor die Identität

\(\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}= \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

erfüllt, so lässt sich folgern

\(\underset{j,l,m=1}{\overset{3}{\sum}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{j}\partial_{i}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{i}\partial_{j}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\),

wobei im letzten Schritt für den ersten Term der Satz von Schwarz benutzt wurde.

Demnach lässt sich schreiben

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})-\Delta\vec{F}\),

wobei 

\(\Delta\vec{F}=(\vec{\nabla}\vec{\nabla})\vec{F}\)

den sogenannten Laplace Operator bezeichnet.

\(div(grad) = \bigtriangleup\) ist der Laplace-Operator. \(\bigtriangleup f\) ist nicht zwangsweise \(0\) (kann es aber natürlich sein, je nachdem wie \(f\) aussieht).

Die Rotation eines Gradientfelds verschwindet immer, ganz egal wie \(f\) aussieht. Betrachten wir

\(rot(grad(f)) = \vec\nabla \times (\vec\nabla f)\)

mit \(\vec\nabla = \left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right)\) wobei \(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) für die partiellen Ableitungen stehen.

Für die x-Komponente erhalten wir

\(rot(grad(f))_x = \partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen, somit erhalten wir

\(\partial_y \partial_z f - \partial_y \partial_z f = 0\)

Für y- und z-Komponente kann analog vorgegangen werden.

Sei \(\vec{x}\) ein Vektor und \( \vec{x}'=D\vec{x}\) der zugehörige gedrehte Vektor. Eine der zentralen Eigenschaften von Drehmatrizen ist 

\(DD^{\dagger}=D^{\dagger}D=\mathbf{1}\),

wobei \(D^{\dagger}\) die Transponierte der Matrix \(D\) bezeichnet.

Infolgedessen lässt sich berechnen

\(\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle=\langle D\vec{x},D\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\underset{=1}{\underbrace{D^{\dagger}D}}\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\vec{x}\rangle\).

Das heißt für die Länge der Vektoren gilt

\(l':=\sqrt{\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle}=\sqrt{\langle\vec{x},\vec{x}\rangle}=:l\).

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist gegebn durch

\(cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Die Rotation eines Vektorfelds ist gegeben durch das Kreuzprodukt

\(rot(\vec F) = \vec\nabla \times \vec F\)

mit dem Nabla-Operator \(\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial y} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial z} \right)^T\).

Die gesuchte Rotation ist demnach

\(rot \vec F = \left( \begin{array}{c} 0-6 \\ 16z-0 \\ 24x^2-0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)\)

Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)\)ist gegeben durch

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)