\(div(grad) = \bigtriangleup\) ist der Laplace-Operator. \(\bigtriangleup f\) ist nicht zwangsweise \(0\) (kann es aber natürlich sein, je nachdem wie \(f\) aussieht).

Die Rotation eines Gradientfelds verschwindet immer, ganz egal wie \(f\) aussieht. Betrachten wir

\(rot(grad(f)) = \vec\nabla \times (\vec\nabla f)\)

mit \(\vec\nabla = \left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right)\) wobei \(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) für die partiellen Ableitungen stehen.

Für die x-Komponente erhalten wir

\(rot(grad(f))_x = \partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen, somit erhalten wir

\(\partial_y \partial_z f - \partial_y \partial_z f = 0\)

Für y- und z-Komponente kann analog vorgegangen werden.

Die Divergenz eines Rotationsfeldes ist immer \(0\), ganz egal wie \(\vec F\) aussieht. Anders gesagt: Wirbel sind quellfrei (sie verlaufen schließlich im Kreis, anstatt aus Quellen zu kommen und in Senken zu verschwinden).

Die Divergenz eines Vektorfeldes \(\vec A\) ist definiert als

\(div \vec A = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z\)

Die Rotation von \(\vec F\) ist gegeben durch

\(rot(\vec F) = \left( \begin{array}{c} \partial_y F_z - \partial_z F_y \\ \partial_z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_y F_x \end{array} \right)\)

\(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) stehen hier für die partiellen Ableitungen.

Wenden wir die Divergenz auf die Rotation von \(\vec F\) an, erhalten wir

\(div(rot(\vec F)) = \partial_x \partial_y F_z - \partial_x \partial_z F_y + \partial_y \partial_z F_x - \partial_y \partial_x F_z + \partial_z \partial_x F_x - \partial_z \partial_y F_x\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen. Man sieht, dass sich dann je zwei Terme aufheben und wir erhalten tatsächlich

\(div(rot(\vec F)) = 0\)

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren, welche es aufspannen.

\(\vec{v} \times \vec{w} =\left( \begin{array}{c} 75\\ -27\\ -69 \end{array} \right)m^2\)

\(|\vec{v}\times \vec{w}| = 105,4m^2\)

Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)\)ist gegeben durch

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)

Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)\)ist gegeben durch

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)

Der Gradient des Skalarfeldes ergibt

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T = \left( 4 \qquad , \qquad -2z \qquad , \qquad -2y +12z \right)^T\)

und im gefragten Punkt

\(grad(f) = \left( 4 \qquad , \qquad -4 \qquad , \qquad 24 \right)^T\)

Die größte Steigung ist nun der Betrag dieses Vektors.

\(\sqrt{(4^2)+(-4^2)+(24^2)}= 24,66\)

In Komponentenschreibweise gilt hier der Definition nach für eine feste Komponente \(i\)

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1} {\overset{3}{\sum}} \underset{l,m=1} {\overset{3}{\sum}} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\),

wobei \(\varepsilon_{ijk}\)  den total antisymmetrische \(\varepsilon\)-Tensor darstellt. Benutzt man nun, dass der  \(\varepsilon\)-Tensor die Identität

\(\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}= \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

erfüllt, so lässt sich folgern

\(\underset{j,l,m=1}{\overset{3}{\sum}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{j}\partial_{i}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{i}\partial_{j}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\),

wobei im letzten Schritt für den ersten Term der Satz von Schwarz benutzt wurde.

Demnach lässt sich schreiben

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})-\Delta\vec{F}\),

wobei 

\(\Delta\vec{F}=(\vec{\nabla}\vec{\nabla})\vec{F}\)

den sogenannten Laplace Operator bezeichnet.

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T\)