\(div(grad) = \bigtriangleup\) ist der Laplace-Operator. \(\bigtriangleup f\) ist nicht zwangsweise \(0\) (kann es aber natürlich sein, je nachdem wie \(f\) aussieht).

Die Rotation eines Gradientfelds verschwindet immer, ganz egal wie \(f\) aussieht. Betrachten wir

\(rot(grad(f)) = \vec\nabla \times (\vec\nabla f)\)

mit \(\vec\nabla = \left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right)\) wobei \(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) für die partiellen Ableitungen stehen.

Für die x-Komponente erhalten wir

\(rot(grad(f))_x = \partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen, somit erhalten wir

\(\partial_y \partial_z f - \partial_y \partial_z f = 0\)

Für y- und z-Komponente kann analog vorgegangen werden.

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T\)

Der Gradient ist also ein Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen des Skalarfelds sind. Er gibt in jedem Punkt die Richtung der größten Steigung des Skalarfelds an, und der Betrag des Gradienten ist gleich ebendieser Steigung in dem betrachteten Punkt.

Das Volumen eines Parallelepipeds ist gegeben durch den Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren, welche es aufspannen:

\(|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = 280m^3\)

Anmerkung: Das Ergebnis des Spatprodukts ändert sich nicht, wenn man die Vektoren zyklisch vertauscht. Man könnte also auch \(|(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}|\) oder \(|(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}|\) berechnen.

Die partiellen Ableitungen des Vektorfelds lauten

\( \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xy\\ r^{2}-x^{2}\\ 0 \end{array}\right)\), \(\frac{\partial\vec{v}}{\partial y}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} y^{2}-r^{2}\\ -xy\\ 0 \end{array}\right)\), \( \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} yz\\ -xz\\ 0 \end{array}\right)\).

Basierend darauf berechnet man

\(\vec{\nabla}\vec{v}=\overset{3}{\underset{j=1}{\sum}}\frac{\partial v_{j}}{x_{j}}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}(xy-yx)=0\)

bzw.

\(\vec{\nabla}\times\vec{v}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xz\\ yz\\ r^{2}+z^{2} \end{array}\right)\).

In Komponentenschreibweise gilt hier der Definition nach für eine feste Komponente \(i\)

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1} {\overset{3}{\sum}} \underset{l,m=1} {\overset{3}{\sum}} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\),

wobei \(\varepsilon_{ijk}\)  den total antisymmetrische \(\varepsilon\)-Tensor darstellt. Benutzt man nun, dass der  \(\varepsilon\)-Tensor die Identität

\(\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}= \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

erfüllt, so lässt sich folgern

\(\underset{j,l,m=1}{\overset{3}{\sum}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_{j}\partial_{l}F_{m}\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{j}\partial_{i}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\)\(=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{i}\partial_{j}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})\),

wobei im letzten Schritt für den ersten Term der Satz von Schwarz benutzt wurde.

Demnach lässt sich schreiben

\(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})-\Delta\vec{F}\),

wobei 

\(\Delta\vec{F}=(\vec{\nabla}\vec{\nabla})\vec{F}\)

den sogenannten Laplace Operator bezeichnet.

In Komponentenschreibweise gilt per Definition für eine feste Komponente \(i\) des Ausdrucks

\((\vec{\nabla}\times(U\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}(UF_{k})\)\(=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{j}UF_{k}+U\partial_{j}F_{k})\),

wobei das Objekt den \(\varepsilon_{ijk}\) den total antisymmetrischen \(\varepsilon\)-Tensor bezeichnet. Nützt man nun aus, dass sich Summationsindizes

beliebig umbennenen lassen, so lässt sich der erste Term in der obigen Gleichung wie folgt umschreiben

\(\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}UF_{k}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ikj}F_{j}\partial_{k}U\)\(=-\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}\partial_{k}U\).

Infolgedessen erhält man das Ergebnis

\(\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla}U\).

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist gegebn durch

\(cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Die Definition des Skalarproduktes liefert zunächst:

\(\vec{r}(t)\dot{\vec{r}}(t)=\underset{i,j}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{j}(t)\vec{e}_{i}\vec{e}_{j}\)\(=\underset{i,j}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{j}(t)\delta_{ij}=\underset{i}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{i}(t)\).

Andererseits gilt:

\(\mid\vec{r}(t)\mid\frac{d\mid\vec{r}(t)\mid}{dt}=\sqrt{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)r_{i}(t)}\frac{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{i}(t)}{\sqrt{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)r_{i}(t)}}\).

Die beiden Ausdrücke sind also äquivalent.