Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Vektorrechnung im 3-dim Raum.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben seien ein skalares Feld $U=U(x,y,z)$ und ein Vektorfeld $\vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$ . Auf welche Form lässt sich der Ausdruck $rot(U\vec{F})$ bringen, welcher auch als $\vec{\nabla}\times(U\vec{F})$ geschrieben werden kann? Nr. 4157
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla}U$
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})+\vec{F}\times\vec{\nabla}U$
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=\vec{F}(\vec{\nabla}\times U)-U\times\vec{\nabla}\vec{F}$
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla} \times U$
Lösungsweg In Komponentenschreibweise gilt per Definition für eine feste Komponente $i$ des Ausdrucks $(\vec{\nabla}\times(U\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}(UF_{k})$ $=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{j}UF_{k}+U\partial_{j}F_{k})$ , wobei das Objekt den $\varepsilon_{ijk}$ den total antisymmetrischen $\varepsilon$ -Tensor bezeichnet. Nützt man nun aus, dass sich Summationsindizes beliebig umbennenen lassen, so lässt sich der erste Term in der obigen Gleichung wie folgt umschreiben $\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}UF_{k}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ikj}F_{j}\partial_{k}U$ $=-\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}\partial_{k}U$ . Infolgedessen erhält man das Ergebnis $\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla}U$ .

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien die 4 Vektoren $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -7\\ -3\\ 3 \end{array} \right)$ , $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 3\\ 5 \end{array} \right)$ , $\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 3\\ 4\\ -2 \end{array} \right)$ und $\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 1\\ -6\\ 7 \end{array} \right)$ . Welcher dieser Vektoren hat den größten Betrag? Nr. 4067
	$\vec{a}$
	$\vec{b}$
	$\vec{c}$
	$\vec{d}$
Lösungsweg Der Betrag eines Vektors $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)$ ist gegeben durch $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei das Vektorfeld $\vec{v}(\vec{r})=\frac{1}{r}(\vec{\omega}\times\vec{r})$ , wobei gelte $\vec{\omega}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \omega_{0} \end{array}\right)$ mit $\omega_{0}=konst.$ Wie lauten die Werte für Divergenz und Rotation, d.h. für $\vec{\nabla}\vec{v}$ und $\vec{\nabla}\times\vec{v}$ ? Nr. 4173
	$\vec{\nabla}\vec{v}=0$ und $\vec{\nabla}\times\vec{v}=0$
	$\vec{\nabla}\vec{v}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}$ und $\vec{\nabla}\times\vec{v}=0$
	$\vec{\nabla}\vec{v} =0$ und $\vec{\nabla}\times\vec{v}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xz\\ yz\\ r^{2}+z^{2} \end{array}\right)$
	$\vec{\nabla}\vec{v} =0$ und $\vec{\nabla}\times\vec{v}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} yz\\ xz\\ r^{2}+y^{2} \end{array}\right)$
Lösungsweg Die partiellen Ableitungen des Vektorfelds lauten $\frac{\partial\vec{v}}{\partial x}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xy\\ r^{2}-x^{2}\\ 0 \end{array}\right)$ , $\frac{\partial\vec{v}}{\partial y}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} y^{2}-r^{2}\\ -xy\\ 0 \end{array}\right)$ , $\frac{\partial\vec{v}}{\partial z}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} yz\\ -xz\\ 0 \end{array}\right)$ . Basierend darauf berechnet man $\vec{\nabla}\vec{v}=\overset{3}{\underset{j=1}{\sum}}\frac{\partial v_{j}}{x_{j}}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}(xy-yx)=0$ bzw. $\vec{\nabla}\times\vec{v}=\frac{\omega_{0}}{r^{3}}\left(\begin{array}{c} xz\\ yz\\ r^{2}+z^{2} \end{array}\right)$ .

4 erreichbare Punkte

Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -6\\ 7\\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{w} = \left( \begin{array}{c} 7\\ -8\\ 3 \end{array} \right)$ . Welcher der folgenden Vektoren hat den größten Betrag? Nr. 4068
	$\vec{v}$
	$\vec{w}$
	$\vec{v} + \vec{w}$
	$\vec{v} - \vec{w}$
Lösungsweg Der Betrag eines Vektors $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)$ ist gegeben durch $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Divergenz des Vektorfelds $\vec F = \left( \begin{array}{c} 7x^2 + 9 + 8z^2 \\ 8x^3 - 7 +6z \\ 2z \end{array} \right)$ Nr. 4100
	$div \vec F = \left( \begin{array}{c} 14x \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$
	$div\vec F = 14x +2$
	$div \vec F = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)$
	$div\vec F = 24x^2 + 14x + 16z + 8$
Lösungsweg Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec F$ ist definiert als $div \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$ wobei $F_x$ , $F_y$ und $F_z$ die x-,y- und z-Komponenten des Vektorfeldes sind.

4 erreichbare Punkte

Welche Bedeutung hat der Gradient eines Skalarfelds? Nr. 4095
	Der Betrag des Gradienten an einem bestimmten Punkt gibt die größte Steigung des Skalarfeldes an diesem Punkt an.
	Der Gradient an einem bestimmten Punkt zeigt in die Richtung, in der das Skalarfeld konstant bleibt.
	Der Gradient an einem bestimmten Punkt zeigt in Richtung der größten Steigung des Skalarfeldes an diesem Punkt.
	Der Gradient an einem bestimmten Punkt zeigt in Richtung des größten Gefälles des Skalarfeldes an diesem Punkt.
Lösungsweg Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor $grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T$ Der Gradient ist also ein Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen des Skalarfelds sind. Er gibt in jedem Punkt die Richtung der größten Steigung des Skalarfelds an, und der Betrag des Gradienten ist gleich ebendieser Steigung in dem betrachteten Punkt.

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfelds $\vec F = \left( \begin{array}{c} 7x^2 + 9 + 8z^2 \\ 8x^3 - 7 +6z \\ 2z \end{array} \right)$ Nr. 4101
	$rot \vec F = \left( \begin{array}{c} 14x \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$
	$rot\vec F = 14x +2$
	$rot \vec F = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)$
	$rot\vec F = 24x^2 + 14x + 16z + 8$
Lösungsweg Die Rotation eines Vektorfelds ist gegeben durch das Kreuzprodukt $rot(\vec F) = \vec\nabla \times \vec F$ mit dem Nabla-Operator $\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial y} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial z} \right)^T$ . Die gesuchte Rotation ist demnach $rot \vec F = \left( \begin{array}{c} 0-6 \\ 16z-0 \\ 24x^2-0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)$

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Bleibt die Länge eines Vektors bei einer Drehung erhalten? Nr. 4177
	Ja
	Nein
Lösungsweg Sei $\vec{x}$ ein Vektor und $\vec{x}'=D\vec{x}$ der zugehörige gedrehte Vektor. Eine der zentralen Eigenschaften von Drehmatrizen ist $DD^{\dagger}=D^{\dagger}D=\mathbf{1}$ , wobei $D^{\dagger}$ die Transponierte der Matrix $D$ bezeichnet. Infolgedessen lässt sich berechnen $\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle=\langle D\vec{x},D\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\underset{=1}{\underbrace{D^{\dagger}D}}\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\vec{x}\rangle$ . Das heißt für die Länge der Vektoren gilt $l':=\sqrt{\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle}=\sqrt{\langle\vec{x},\vec{x}\rangle}=:l$ .

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