Die Divergenz eines Rotationsfeldes ist immer \(0\), ganz egal wie \(\vec F\) aussieht. Anders gesagt: Wirbel sind quellfrei (sie verlaufen schließlich im Kreis, anstatt aus Quellen zu kommen und in Senken zu verschwinden).

Die Divergenz eines Vektorfeldes \(\vec A\) ist definiert als

\(div \vec A = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z\)

Die Rotation von \(\vec F\) ist gegeben durch

\(rot(\vec F) = \left( \begin{array}{c} \partial_y F_z - \partial_z F_y \\ \partial_z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_y F_x \end{array} \right)\)

\(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) stehen hier für die partiellen Ableitungen.

Wenden wir die Divergenz auf die Rotation von \(\vec F\) an, erhalten wir

\(div(rot(\vec F)) = \partial_x \partial_y F_z - \partial_x \partial_z F_y + \partial_y \partial_z F_x - \partial_y \partial_x F_z + \partial_z \partial_x F_x - \partial_z \partial_y F_x\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen. Man sieht, dass sich dann je zwei Terme aufheben und wir erhalten tatsächlich

\(div(rot(\vec F)) = 0\)

In Komponenten- alias Indexschreibweise hat man per Definition

\(\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\partial_{i}\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}G_{k}\)

und somit aufgrund der Leibnizregel

\(\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}((\partial_{i}F_{j})G_{k}+F_{j}(\partial_{i}G_{k}))\).

Unter Ausnützung der Tatsache, dass Summationsindizes beliebig umbenannt werden können, und der Zyklizität des \(\vareps\)-Tensors lässt sich der erste Term umschreiben:

\(\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{i}F_{j})G_{k} = \underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}G_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}F_{k}\)

Ähnlich findet man für den zweiten Term mit der Eigenschaft \(\vareps_{ijk} = -\vareps_{jik}\)

\(\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}(\partial_{i}G_{k}) = -\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}F_{j}\varepsilon_{jik}\partial_{i}G_{k}\)\( = -\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}F_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}G_{k}\)

Infolgedessen findet man

\(\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\vec{G}(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}(\vec{\nabla}\times\vec{G})\).

\(div(grad) = \bigtriangleup\) ist der Laplace-Operator. \(\bigtriangleup f\) ist nicht zwangsweise \(0\) (kann es aber natürlich sein, je nachdem wie \(f\) aussieht).

Die Rotation eines Gradientfelds verschwindet immer, ganz egal wie \(f\) aussieht. Betrachten wir

\(rot(grad(f)) = \vec\nabla \times (\vec\nabla f)\)

mit \(\vec\nabla = \left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right)\) wobei \(\partial_x\), \(\partial_y\) und \(\partial_z\) für die partiellen Ableitungen stehen.

Für die x-Komponente erhalten wir

\(rot(grad(f))_x = \partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f\)

Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen, somit erhalten wir

\(\partial_y \partial_z f - \partial_y \partial_z f = 0\)

Für y- und z-Komponente kann analog vorgegangen werden.

Die Definition des Skalarproduktes liefert zunächst:

\(\vec{r}(t)\dot{\vec{r}}(t)=\underset{i,j}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{j}(t)\vec{e}_{i}\vec{e}_{j}\)\(=\underset{i,j}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{j}(t)\delta_{ij}=\underset{i}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{i}(t)\).

Andererseits gilt:

\(\mid\vec{r}(t)\mid\frac{d\mid\vec{r}(t)\mid}{dt}=\sqrt{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)r_{i}(t)}\frac{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)\dot{r}_{i}(t)}{\sqrt{\underset{i}{\sum}r_{i}(t)r_{i}(t)}}\).

Die beiden Ausdrücke sind also äquivalent.

Die Divergenz eines Vektorfeldes \(\vec F\) ist definiert als

\(div \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)

wobei \(F_x\), \(F_y\) und \(F_z\) die x-,y- und z-Komponenten des Vektorfeldes sind.

Zunächst werden die Ortsvektoren in kartesischen Koordinaten dargestellt:

\(\vec r_1=\left( \begin{array}{c} r_1\, \sin\theta_1\, \cdot\, \cos\varphi_1 \\ r_1\, \sin\theta_1\, \cdot\, \sin\varphi_1 \\ r_1\, \cos\theta_1 \end{array} \right)\) ,  \(\vec r_2=\left( \begin{array}{c} r_2\, \sin\theta_2\, \cdot\, \cos\varphi_2 \\ r_2\, \sin\theta_2\, \cdot\, \sin\varphi_2 \\ r_2\, \cos\theta_2 \end{array} \right)\)

Der Winkel zwischen \(\vec r_1\) und \(\vec r_2\) wird mit folgender dem Skalarprodukt berechnet:

\(\vec r_1\cdot \vec r_2 = |\vec r_1|\,\cdot\,|\vec r_2|\, \cdot\, \cos\alpha\ \Rightarrow\ \cos\alpha=\frac{\vec r_1\cdot \vec r_2}{|\vec r_1|\,\cdot\,|\vec r_2|}\)

Wobei

\(\left| \vec r_1 \right| = r_1\) und \(\left| \vec r_2\right| =r_2\)

Bei der skalaren Multiplikation werden stets die beiden Beträge multipliziert, weshalb sich diese aus dem Quotienten wegkürzen lassen:

\(\frac{\vec r_1 \cdot \vec r_2}{r_1\cdot r_2} = \)

\(\frac{1}{r_1\cdot r_2}\,\left( \begin{array}{c} r_1 \sin (40^\circ) \, \cdot\, \cos (30^\circ) \\ r_1\, \sin (40^\circ) \, \cdot\, \sin (30^\circ) \\ r_1 \cos (40^\circ) \end{array} \right) \quad\)\(\cdot\frac{1}{r_1\cdot r_2} \left( \begin{array}{c} r_2 \sin (90^\circ) \, \cdot\, \cos (30^\circ) \\ r_2\, \sin (90^\circ) \, \cdot\, \sin (30^\circ) \\ r_2 \cos (90^\circ) \end{array} \right) =\)

\(\sin(40^\circ)\,\cdot\,\cos(30^\circ)\,\cdot\,\cos(30^\circ) +\, \sin(40^\circ)\,\cdot\,\sin(30^\circ)\,\cdot\,\sin(30^\circ) = \)

\(= \sin(40^\circ)\, \cdot\, \left[\cos^2(30^\circ)+\sin^2(30^\circ) \right] = \sin(40^\circ)\)

weil

\(\cos^2(x) + \sin^2(x)=1\)

\(\cos\alpha=\frac{\vec r_1\cdot \vec r_2}{|\vec r_1|\,\cdot\,|\vec r_2|} = \sin(40^\circ)\)

und damit:

\(\alpha = \arccos \left(\sin(40^\circ)\right) = 50^\circ\)

Umrechnung in Radiant:

\(50^\circ=\frac{50}{180}\pi\, \mathrm{rad} = \frac{5}{18}\pi \,\mathrm{rad} \approx 0,873\, \mathrm{rad}\)

Alternativer Lösungsweg (kurz und für Fortgeschrittene):

Da die beiden Azimuth-Winkel \(\varphi_1 = \varphi_2\) gleich sind, befinden sich die Vektoren in der Ebene, die durch diesen Winkel definiert ist. Diese Ebene steht senkrecht zur \(xy\mathrm{-Ebene}\) unter einem Winkel von \(\varphi=30^\circ\) zur \(x\mathrm{-Achse}\) (innerhalb dieser Ebene). Bonusaufgabe: Skizze machen und Winkel einzeichnen!

Da die beiden Vektoren also stets in der selben Ebene liegen, solange \(\varphi_1 = \varphi_2 = const.\) gilt, ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren die Differenz der beiden Polarwinkel:

\(\alpha=\theta_2 - \theta_1 = 50^\circ\)

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren, welche es aufspannen.

\(\vec{v} \times \vec{w} =\left( \begin{array}{c} 75\\ -27\\ -69 \end{array} \right)m^2\)

\(|\vec{v}\times \vec{w}| = 105,4m^2\)

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor

\(grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T\)

Der Gradient ist also ein Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen des Skalarfelds sind. Er gibt in jedem Punkt die Richtung der größten Steigung des Skalarfelds an, und der Betrag des Gradienten ist gleich ebendieser Steigung in dem betrachteten Punkt.