Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Vektorrechnung im 3-dim Raum.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben seien die 4 Vektoren $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -7\\ -3\\ 3 \end{array} \right)$ , $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 3\\ 5 \end{array} \right)$ , $\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 3\\ 4\\ -2 \end{array} \right)$ und $\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 1\\ -6\\ 7 \end{array} \right)$ . Welcher dieser Vektoren hat den größten Betrag? Nr. 4067
	$\vec{a}$
	$\vec{b}$
	$\vec{c}$
	$\vec{d}$
Lösungsweg Der Betrag eines Vektors $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z \end{array} \right)$ ist gegeben durch $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

4 erreichbare Punkte

Welche Bedeutung hat die Divergenz eines Vektorfeldes? Nr. 4099
	Die Divergenz an einem bestimmten Punkt zeigt in Richtung der größten Steigung des Feldes an diesem Punkt.
	Die Divergenz gibt Auskunft über die Wirbel eines Vektorfeldes.
	Die Divergenz zeigt, ob ein Vektorfeld im Unendlichen einen bestimmten Grenzwert erreicht.
	Die Divergenz ist eine Maß für Quellen und Senken eines Strömungsfeldes.
Lösungsweg Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec F$ ist definiert als $div \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$ wobei $F_x$ , $F_y$ und $F_z$ die x-,y- und z-Komponenten des Vektorfeldes sind. Betrachtet man z.B. ein Volumen, durch das Wasser strömt, dann kann die Flussgeschwindigkeit als Vektorfeld angegeben werden. An den Grenzen des Volumens, an denen Wasser hineinströmt ist die Divergenz positiv. Umgekehrt ist die Divergenz negativ an den Stellen, an welchen das Wasser aus dem Volumen hinausströmt. Somit ist die Divergenz ein Maß für Quellen und Senken.

4 erreichbare Punkte

Ein Parallelepiped wird aufgespannt von den Längenvektoren $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 10\\ 0\\ 0 \end{array} \right)m$ , $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4\\ 4\\ 0 \end{array} \right)m$ und $\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 3\\ 2\\ 7 \end{array} \right)m$ . Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds. Nr. 4070
	$30m^3$
	$235,31m^3$
	$280m^2$
	$16,73m^3$
Lösungsweg Das Volumen eines Parallelepipeds ist gegeben durch den Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren, welche es aufspannen: $\|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\| = 280m^3$ Anmerkung: Das Ergebnis des Spatprodukts ändert sich nicht, wenn man die Vektoren zyklisch vertauscht. Man könnte also auch $\|(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}\|$ oder $\|(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}\|$ berechnen.

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Gradienten des Skalarfeldes $f = x^2 + 4xy - 2y^3$ . Nr. 4096
	$grad(f) = \left( 2x + 4y \qquad ,\qquad 4x -6y^2 \qquad ,\qquad x^2 + 4xy -2y^3 \right)^T$
	$grad(f) = \left( 6x \qquad ,\qquad -2y \qquad ,\qquad 0 \right)^T$
	$grad(f) = \left( 2x + 4y \qquad ,\qquad 4x -6y^2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T$
	$grad(f) = \left( 2x \qquad ,\qquad -6y^2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T$
Lösungsweg Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor $grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T$

4 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Aussagen über ein allgemeines Skalarfeld $f$ ist wahr? Nr. 4102
	$div(grad(f)) = 0$
	$rot(grad(f)) = 0$
Lösungsweg $div(grad) = \bigtriangleup$ ist der Laplace-Operator. $\bigtriangleup f$ ist nicht zwangsweise $0$ (kann es aber natürlich sein, je nachdem wie $f$ aussieht). Die Rotation eines Gradientfelds verschwindet immer, ganz egal wie $f$ aussieht. Betrachten wir $rot(grad(f)) = \vec\nabla \times (\vec\nabla f)$ mit $\vec\nabla = \left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right)$ wobei $\partial_x$ , $\partial_y$ und $\partial_z$ für die partiellen Ableitungen stehen. Für die x-Komponente erhalten wir $rot(grad(f))_x = \partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f$ Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen, somit erhalten wir $\partial_y \partial_z f - \partial_y \partial_z f = 0$ Für y- und z-Komponente kann analog vorgegangen werden.

2 erreichbare Punkte

Gegeben seien ein skalares Feld $U=U(x,y,z)$ und ein Vektorfeld $\vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$ . Auf welche Form lässt sich der Ausdruck $rot(U\vec{F})$ bringen, welcher auch als $\vec{\nabla}\times(U\vec{F})$ geschrieben werden kann? Nr. 4157
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla}U$
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})+\vec{F}\times\vec{\nabla}U$
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=\vec{F}(\vec{\nabla}\times U)-U\times\vec{\nabla}\vec{F}$
	$\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla} \times U$
Lösungsweg In Komponentenschreibweise gilt per Definition für eine feste Komponente $i$ des Ausdrucks $(\vec{\nabla}\times(U\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}(UF_{k})$ $=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{j}UF_{k}+U\partial_{j}F_{k})$ , wobei das Objekt den $\varepsilon_{ijk}$ den total antisymmetrischen $\varepsilon$ -Tensor bezeichnet. Nützt man nun aus, dass sich Summationsindizes beliebig umbennenen lassen, so lässt sich der erste Term in der obigen Gleichung wie folgt umschreiben $\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}UF_{k}=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ikj}F_{j}\partial_{k}U$ $=-\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}\partial_{k}U$ . Infolgedessen erhält man das Ergebnis $\vec{\nabla}\times(U\vec{F})=U(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}\times\vec{\nabla}U$ .

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien die beiden Vektorfelder $\vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$ und $\vec{G}=\vec{G}(x,y,z)$ . Auf welche Form lässt sich der Ausdruck $div(\vec{F}\times\vec{G})$ bringen, welcher auch als $\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})$ geschrieben werden kann? Nr. 4156
	$\vec{\nabla}\vec{G}\times\vec{F}+\vec{\nabla}\vec{F}\times\vec{G}$
	$\vec{\nabla}\vec{G}\times\vec{F}-\vec{\nabla}\vec{F}\times\vec{G}$
	$\vec{G}(\vec{\nabla}\times\vec{F})+\vec{F}(\vec{\nabla}\times\vec{G})$
	$\vec{G}(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}(\vec{\nabla}\times\vec{G})$
Lösungsweg In Komponenten- alias Indexschreibweise hat man per Definition $\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\partial_{i}\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}G_{k}$ und somit aufgrund der Leibnizregel $\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}((\partial_{i}F_{j})G_{k}+F_{j}(\partial_{i}G_{k}))$ . Unter Ausnützung der Tatsache, dass Summationsindizes beliebig umbenannt werden können, und der Zyklizität des $\vareps$ -Tensors lässt sich der erste Term umschreiben: $\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}(\partial_{i}F_{j})G_{k} = \underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}G_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}F_{k}$ Ähnlich findet man für den zweiten Term mit der Eigenschaft $\vareps_{ijk} = -\vareps_{jik}$ $\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}F_{j}(\partial_{i}G_{k}) = -\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}F_{j}\varepsilon_{jik}\partial_{i}G_{k}$ $= -\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}F_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}G_{k}$ Infolgedessen findet man $\vec{\nabla}(\vec{F}\times\vec{G})=\vec{G}(\vec{\nabla}\times\vec{F})-\vec{F}(\vec{\nabla}\times\vec{G})$ .

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei das Skalarfeld $f = x + y^2z^2$ . In welche Richtung zeigt der größte Anstieg im Punkt $P = (0,0,1)$ ? Nr. 4098
	$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)$
	$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right)$
	$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)$
	$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$
Lösungsweg Der Gradient des Skalarfeldes ist $grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T = \left( 1 \qquad ,\qquad 2z^2 \qquad ,\qquad 2y^2 \right)^T$ Im gefragten Punkt zeigt der größte Anstieg also in Richtung $grad(f) = \left( 1 \qquad ,\qquad 2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T$

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