Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Vektorrechnung im 3-dim Raum.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bleibt die Länge eines Vektors bei einer Drehung erhalten? Nr. 4177
	Ja
	Nein
Lösungsweg Sei $\vec{x}$ ein Vektor und $\vec{x}'=D\vec{x}$ der zugehörige gedrehte Vektor. Eine der zentralen Eigenschaften von Drehmatrizen ist $DD^{\dagger}=D^{\dagger}D=\mathbf{1}$ , wobei $D^{\dagger}$ die Transponierte der Matrix $D$ bezeichnet. Infolgedessen lässt sich berechnen $\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle=\langle D\vec{x},D\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\underset{=1}{\underbrace{D^{\dagger}D}}\vec{x}\rangle=\langle\vec{x},\vec{x}\rangle$ . Das heißt für die Länge der Vektoren gilt $l':=\sqrt{\langle\vec{x}',\vec{x}'\rangle}=\sqrt{\langle\vec{x},\vec{x}\rangle}=:l$ .

2 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfelds $\vec F = \left( \begin{array}{c} 7x^2 + 9 + 8z^2 \\ 8x^3 - 7 +6z \\ 2z \end{array} \right)$ Nr. 4101
	$rot \vec F = \left( \begin{array}{c} 14x \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$
	$rot\vec F = 14x +2$
	$rot \vec F = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)$
	$rot\vec F = 24x^2 + 14x + 16z + 8$
Lösungsweg Die Rotation eines Vektorfelds ist gegeben durch das Kreuzprodukt $rot(\vec F) = \vec\nabla \times \vec F$ mit dem Nabla-Operator $\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial y} \qquad , \qquad \frac{\partial}{\partial z} \right)^T$ . Die gesuchte Rotation ist demnach $rot \vec F = \left( \begin{array}{c} 0-6 \\ 16z-0 \\ 24x^2-0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 16z \\ 24x^2 \end{array} \right)$

4 erreichbare Punkte

Ein Parallelogramm wird von den Längenvektoren $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 6\\ 9\\ 3 \end{array} \right)m$ und $\vec{w} = \left( \begin{array}{c} 3\\ -7\\ 6 \end{array} \right)m$ aufgespannt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. Nr. 4069
	$20,92m^2$
	$105,4m^2$
	$165m^2$
	$12,884m^2$
Lösungsweg Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren, welche es aufspannen. $\vec{v} \times \vec{w} =\left( \begin{array}{c} 75\\ -27\\ -69 \end{array} \right)m^2$ $\|\vec{v}\times \vec{w}\| = 105,4m^2$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Gradienten des Skalarfeldes $f = x^2 + 4xy - 2y^3$ . Nr. 4096
	$grad(f) = \left( 2x + 4y \qquad ,\qquad 4x -6y^2 \qquad ,\qquad x^2 + 4xy -2y^3 \right)^T$
	$grad(f) = \left( 6x \qquad ,\qquad -2y \qquad ,\qquad 0 \right)^T$
	$grad(f) = \left( 2x + 4y \qquad ,\qquad 4x -6y^2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T$
	$grad(f) = \left( 2x \qquad ,\qquad -6y^2 \qquad ,\qquad 0 \right)^T$
Lösungsweg Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor $grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T$

4 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Aussagen über ein allgemeines Vektorfeld $\vec F = \left( \begin{array}{c} F_x \\ F_y \\ F_z \end{array} \right)$ ist wahr? Nr. 4103
	$grad(div(\vec F)) = 0$
	$div(rot(\vec F )) = 0$
Lösungsweg Die Divergenz eines Rotationsfeldes ist immer $0$ , ganz egal wie $\vec F$ aussieht. Anders gesagt: Wirbel sind quellfrei (sie verlaufen schließlich im Kreis, anstatt aus Quellen zu kommen und in Senken zu verschwinden). Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec A$ ist definiert als $div \vec A = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z$ Die Rotation von $\vec F$ ist gegeben durch $rot(\vec F) = \left( \begin{array}{c} \partial_y F_z - \partial_z F_y \\ \partial_z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_y F_x \end{array} \right)$ $\partial_x$ , $\partial_y$ und $\partial_z$ stehen hier für die partiellen Ableitungen. Wenden wir die Divergenz auf die Rotation von $\vec F$ an, erhalten wir $div(rot(\vec F)) = \partial_x \partial_y F_z - \partial_x \partial_z F_y + \partial_y \partial_z F_x - \partial_y \partial_x F_z + \partial_z \partial_x F_x - \partial_z \partial_y F_x$ Der Satz von Schwarz besagt, dass partielle Ableitungen vertauscht werden dürfen. Man sieht, dass sich dann je zwei Terme aufheben und wir erhalten tatsächlich $div(rot(\vec F)) = 0$

2 erreichbare Punkte

Sei $\vec{F}=\vec{F}(x,y,z)$ ein allgemeines Vektorfeld. Auf welche Weise lässt sich der Ausdruck $rot(rot \vec{F})$ , welcher auch als $\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})$ notiert werden kann, noch schreiben? Nr. 4158
	$\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})- (\vec{\nabla}\vec{\nabla}) \vec{F}$
	$\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})+\Delta \vec{F}$
	$\vec{\nabla} (\vec{\nabla} \vec{F}) - \Delta \vec{F}$
	$\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})+\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})$
Lösungsweg In Komponentenschreibweise gilt hier der Definition nach für eine feste Komponente $i$ $\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}))_{i}=\underset{j,k=1} {\overset{3}{\sum}} \underset{l,m=1} {\overset{3}{\sum}} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\partial_{j}\partial_{l}F_{m}$ , wobei $\varepsilon_{ijk}$ den total antisymmetrische $\varepsilon$ -Tensor darstellt. Benutzt man nun, dass der $\varepsilon$ -Tensor die Identität $\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}= \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$ erfüllt, so lässt sich folgern $\underset{j,l,m=1}{\overset{3}{\sum}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_{j}\partial_{l}F_{m}$ $=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{j}\partial_{i}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})$ $=\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}(\partial_{i}\partial_{j}F_{j}-\partial_{j}\partial_{j}F_{i})$ , wobei im letzten Schritt für den ersten Term der Satz von Schwarz benutzt wurde. Demnach lässt sich schreiben $\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{F})-\Delta\vec{F}$ , wobei $\Delta\vec{F}=(\vec{\nabla}\vec{\nabla})\vec{F}$ den sogenannten Laplace Operator bezeichnet.

4 erreichbare Punkte

Welche Bedeutung hat die Divergenz eines Vektorfeldes? Nr. 4099
	Die Divergenz an einem bestimmten Punkt zeigt in Richtung der größten Steigung des Feldes an diesem Punkt.
	Die Divergenz gibt Auskunft über die Wirbel eines Vektorfeldes.
	Die Divergenz zeigt, ob ein Vektorfeld im Unendlichen einen bestimmten Grenzwert erreicht.
	Die Divergenz ist eine Maß für Quellen und Senken eines Strömungsfeldes.
Lösungsweg Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec F$ ist definiert als $div \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$ wobei $F_x$ , $F_y$ und $F_z$ die x-,y- und z-Komponenten des Vektorfeldes sind. Betrachtet man z.B. ein Volumen, durch das Wasser strömt, dann kann die Flussgeschwindigkeit als Vektorfeld angegeben werden. An den Grenzen des Volumens, an denen Wasser hineinströmt ist die Divergenz positiv. Umgekehrt ist die Divergenz negativ an den Stellen, an welchen das Wasser aus dem Volumen hinausströmt. Somit ist die Divergenz ein Maß für Quellen und Senken.

4 erreichbare Punkte

Welche Bedeutung hat der Gradient eines Skalarfelds? Nr. 4095
	Der Betrag des Gradienten an einem bestimmten Punkt gibt die größte Steigung des Skalarfeldes an diesem Punkt an.
	Der Gradient an einem bestimmten Punkt zeigt in die Richtung, in der das Skalarfeld konstant bleibt.
	Der Gradient an einem bestimmten Punkt zeigt in Richtung der größten Steigung des Skalarfeldes an diesem Punkt.
	Der Gradient an einem bestimmten Punkt zeigt in Richtung des größten Gefälles des Skalarfeldes an diesem Punkt.
Lösungsweg Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor $grad(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial y} \; ,\; \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T$ Der Gradient ist also ein Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen des Skalarfelds sind. Er gibt in jedem Punkt die Richtung der größten Steigung des Skalarfelds an, und der Betrag des Gradienten ist gleich ebendieser Steigung in dem betrachteten Punkt.

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