Diversitas 2018 Preis Gefördert vom MA23 Wien

Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Anwendung in der Geometrie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden g_1 und g_2

g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\\end{pmatrix}
g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}0\\2\\3\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}4\\2\\-3\\\end{pmatrix}

Nr. 2758
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Sei P_1 = (2;0;1) ein Punkt der Geraden g_1 und P_2 = (1;1;1) ein solcher der Geraden g_2.

Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum VektoR

\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\1\\4\\\end{pmatrix}..
Welchen Abstand haben diese beiden Geraden voneinander?

Nr. 2755
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Handelt es sich bei \cos (x) \sin (y) \; dx + \sin (x) \cos (y) \; dy um ein totales Differential?

Nr. 4155
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Sei P_1 = (1;2;3) ein Punkt der Geraden g_1 und P_2 = (3;4;1) ein solcher der Geraden g_2.

Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum Vektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}.
Welchen Abstand haben diese beiden Geraden voneinander?

Nr. 2754
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P_1 und P_2.

Welcher Punkt ergibt sich für \lambda = -2?

P_1 = \begin{pmatrix}5\\2\\1\\\end{pmatrix}
 P_2 = \begin{pmatrix}-3\\1\\-2\\\end{pmatrix}

Nr. 2750
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden g_1 und g_2

g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix}

 g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\\end{pmatrix} + \lambda_2

\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}

Nr. 2760
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?

P_1=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0\\4 \end{array}\right) \qquad  P_2=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1\\1 \end{array}\right) \qquad  P_3=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2\\-2 \end{array}\right) \qquad

Nr. 4400
Lösungsweg

5 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei Ebenen

E_1:\qquad 5x-y-5z = 8

und

E_2: \vec r = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5  \end{array}\right) + 

s\cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0  \end{array}\right) +
t\cdot \left(\begin{array}{c}  6 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)

Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Nr. 4107
Lösungsweg

4 erreichbare Punkte


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